Conservation Laws and Cyclic Coordinates MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Conservation Laws and Cyclic Coordinates - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 5, 2025
Latest Conservation Laws and Cyclic Coordinates MCQ Objective Questions
Conservation Laws and Cyclic Coordinates Question 1:
यदि कोई कण एक वक्र पथ के अनुदिश समतल में बाहर की ओर गति करता है, जिसका वर्णन r = aθ द्वारा किया जाता है, जहाँ a और ω स्थिरांक हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सी राशि संरक्षित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Conservation Laws and Cyclic Coordinates Question 1 Detailed Solution
हल:
दिया गया है कि कण का पथ r = aθ है, कण एक सर्पिल पथ का अनुसरण कर रहा है, जहाँ r (त्रिज्यीय दूरी) θ (कोणीय स्थिति) पर रैखिक रूप से निर्भर करता है। स्थिरांक a एक आनुपातिक स्थिरांक को दर्शाता है, और ω कोणीय वेग है।
समीकरण r = aθ एक समतल में गति का वर्णन करता है जहाँ त्रिज्यीय दूरी r कोणीय विस्थापन θ के साथ बढ़ती है। इसका अर्थ है कि कण घूमते हुए मूल बिंदु से दूर जा रहा है।
गतिज ऊर्जा:
गतिज ऊर्जा T इस प्रकार दी गई है:
\( T = \frac{1}{2} m (v_r^2 + v_θ^2)\)
जहाँ vr और vθ त्रिज्यीय और कोणीय वेग हैं। चूँकि कण एक साधारण वृत्ताकार पथ में गति करने के लिए बाध्य नहीं है और r, θ के साथ बढ़ रहा है, इसलिए इस मामले में गतिज ऊर्जा आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं है क्योंकि r बदलने पर गति बदल रही है।
कोणीय संवेग:
मूल के बारे में कोणीय संवेग L इस प्रकार दिया गया है:
\(L = m r^2 \dot{θ}\)
चूँकि r = aθ है, हमारे पास है:
\(L = m (aθ)^2 \cdot ω = m a^2 ω θ^2 \)
यह दर्शाता है कि कोणीय संवेग संरक्षित नहीं है क्योंकि यह θ का एक फलन है, जो समय के साथ बढ़ रहा है।
कुल संवेग:
कुल संवेग \(\vec{p}\) इस प्रकार दिया गया है:
\( \vec{p} = m \vec{v}\)
चूँकि कण समतल में बाहर की ओर गति कर रहा है, वेग के त्रिज्यीय और कोणीय दोनों घटक बदलते हैं। इसलिए, कुल संवेग संरक्षित नहीं है।
त्रिज्यीय संवेग:
त्रिज्यीय संवेग pr इस प्रकार दिया गया है:
\(p_r = m v_r=m\dot{r}=ma\omega=\text{constant} \)
जहाँ vr वेग का त्रिज्यीय घटक है।
इस प्रकार, त्रिज्यीय संवेग संरक्षित है।
सही विकल्प 4) है।
Top Conservation Laws and Cyclic Coordinates MCQ Objective Questions
Conservation Laws and Cyclic Coordinates Question 2:
यदि कोई कण एक वक्र पथ के अनुदिश समतल में बाहर की ओर गति करता है, जिसका वर्णन r = aθ द्वारा किया जाता है, जहाँ a और ω स्थिरांक हैं, तो निम्नलिखित में से कौन-सी राशि संरक्षित है?
Answer (Detailed Solution Below)
Conservation Laws and Cyclic Coordinates Question 2 Detailed Solution
हल:
दिया गया है कि कण का पथ r = aθ है, कण एक सर्पिल पथ का अनुसरण कर रहा है, जहाँ r (त्रिज्यीय दूरी) θ (कोणीय स्थिति) पर रैखिक रूप से निर्भर करता है। स्थिरांक a एक आनुपातिक स्थिरांक को दर्शाता है, और ω कोणीय वेग है।
समीकरण r = aθ एक समतल में गति का वर्णन करता है जहाँ त्रिज्यीय दूरी r कोणीय विस्थापन θ के साथ बढ़ती है। इसका अर्थ है कि कण घूमते हुए मूल बिंदु से दूर जा रहा है।
गतिज ऊर्जा:
गतिज ऊर्जा T इस प्रकार दी गई है:
\( T = \frac{1}{2} m (v_r^2 + v_θ^2)\)
जहाँ vr और vθ त्रिज्यीय और कोणीय वेग हैं। चूँकि कण एक साधारण वृत्ताकार पथ में गति करने के लिए बाध्य नहीं है और r, θ के साथ बढ़ रहा है, इसलिए इस मामले में गतिज ऊर्जा आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं है क्योंकि r बदलने पर गति बदल रही है।
कोणीय संवेग:
मूल के बारे में कोणीय संवेग L इस प्रकार दिया गया है:
\(L = m r^2 \dot{θ}\)
चूँकि r = aθ है, हमारे पास है:
\(L = m (aθ)^2 \cdot ω = m a^2 ω θ^2 \)
यह दर्शाता है कि कोणीय संवेग संरक्षित नहीं है क्योंकि यह θ का एक फलन है, जो समय के साथ बढ़ रहा है।
कुल संवेग:
कुल संवेग \(\vec{p}\) इस प्रकार दिया गया है:
\( \vec{p} = m \vec{v}\)
चूँकि कण समतल में बाहर की ओर गति कर रहा है, वेग के त्रिज्यीय और कोणीय दोनों घटक बदलते हैं। इसलिए, कुल संवेग संरक्षित नहीं है।
त्रिज्यीय संवेग:
त्रिज्यीय संवेग pr इस प्रकार दिया गया है:
\(p_r = m v_r=m\dot{r}=ma\omega=\text{constant} \)
जहाँ vr वेग का त्रिज्यीय घटक है।
इस प्रकार, त्रिज्यीय संवेग संरक्षित है।
सही विकल्प 4) है।