Cauchy's Mean Value Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Cauchy's Mean Value Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

f(x) अंतराल [2,5] में निरंतर है और अंतराल (2,5) में अवकलनीय है। 

इसलिए कॉची माध्य मान प्रमेय से हमारे पास निम्न है

 $\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{g}(\mathrm{b})-\mathrm{g}(\mathrm{a})}\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}ϵ[\mathrm{a},\mathrm{b}]$

गणना​:

x > 1 के लिए,  

⇒ f(x) = + (x - 1) = x - 1

तो , अन्तराल [2,5] के लिए, f(x) = (x - 1) और g(x) = ln x

कॉची के माध्य मान प्रमेय से हमारे पास है,

$\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{(5-1)-(2-1)}{ln5-ln2}$

अब, f'(c) = 1  g'(c) = 1/c

$\therefore \frac{1}{1/\mathrm{c}}=\frac{4-1}{\mathrm{l}\mathrm{n}5-\mathrm{l}\mathrm{n}2}$

$\therefore \mathrm{c}=\frac{3}{\mathrm{l}\mathrm{n}2.5}=3.27$

दोनों फलन $[1,2]$ में संतत हैं और $(1,2)$ में अवकलनीय हैं।

कॉची के माध्य मान प्रमेय से हमारे पास निम्न होना चाहिए  $\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{g}(\mathrm{b})-\mathrm{g}(\mathrm{a})}$

$\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{\mathrm{f}(2)-\mathrm{f}(1)}{\mathrm{g}(2)-\mathrm{g}(1)}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\log \left(\frac{1}{\mathrm{X}}\right)$

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x},g^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{x}\\ \frac{{\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{c}\right)}{{\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{c}\right)}=\frac{\mathrm{f}\left(2\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{f}\left(2\right)-\mathrm{g}\left(1\right)}\\ \frac{\frac{1}{\mathrm{c}}}{\frac{-1}{\mathrm{c}}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2-0}{-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2-0}\end{array}$

इसलिए  $\mathrm{c}$ $1\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}2$ के बीच कोई भी मान हो सकता है।

दोनों फलन $[1,2]$ में संतत हैं और $(1,2)$ में अवकलनीय हैं।

कॉची के माध्य मान प्रमेय से हमारे पास निम्न होना चाहिए  $\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{g}(\mathrm{b})-\mathrm{g}(\mathrm{a})}$

$\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{\mathrm{f}(2)-\mathrm{f}(1)}{\mathrm{g}(2)-\mathrm{g}(1)}$

$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\log \left(\frac{1}{\mathrm{X}}\right)$

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{x},g^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1}{x}\\ \frac{{\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{c}\right)}{{\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{c}\right)}=\frac{\mathrm{f}\left(2\right)-\mathrm{f}\left(1\right)}{\mathrm{f}\left(2\right)-\mathrm{g}\left(1\right)}\\ \frac{\frac{1}{\mathrm{c}}}{\frac{-1}{\mathrm{c}}}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2-0}{-\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2-0}\end{array}$

इसलिए  $\mathrm{c}$ $1\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}2$ के बीच कोई भी मान हो सकता है।

संकल्पना:

f(x) अंतराल [2,5] में निरंतर है और अंतराल (2,5) में अवकलनीय है। 

इसलिए कॉची माध्य मान प्रमेय से हमारे पास निम्न है

 $\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{g}(\mathrm{b})-\mathrm{g}(\mathrm{a})}\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}ϵ[\mathrm{a},\mathrm{b}]$

गणना​:

x > 1 के लिए,  

⇒ f(x) = + (x - 1) = x - 1

तो , अन्तराल [2,5] के लिए, f(x) = (x - 1) और g(x) = ln x

कॉची के माध्य मान प्रमेय से हमारे पास है,

$\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{c})}=\frac{(5-1)-(2-1)}{ln5-ln2}$

अब, f'(c) = 1  g'(c) = 1/c

$\therefore \frac{1}{1/\mathrm{c}}=\frac{4-1}{\mathrm{l}\mathrm{n}5-\mathrm{l}\mathrm{n}2}$

$\therefore \mathrm{c}=\frac{3}{\mathrm{l}\mathrm{n}2.5}=3.27$