Bernoulli Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Bernoulli Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

बर्नोली प्रमेय:

• यह बताता है कि प्रवाहित द्रव की कुल यांत्रिक ऊर्जा, जिसमें द्रव दाब से संबंधित ऊर्जा, ऊँचाई की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा और द्रव गति की गतिज ऊर्जा शामिल है, स्थिर रहती है।
• यह ऊर्जा संरक्षण पर आधारित है।

बर्नोली प्रमेय की धारणाएँ अर्थात बर्नोली प्रमेय मान्य है:

• प्रवाह आदर्श है अर्थात अश्यान।
• प्रवाह स्थिर है अर्थात समय परिवर्तन शून्य है।
• प्रवाह असंपीड्य है अर्थात ρ स्थिर है।
• प्रवाह अघूर्णी है अर्थात ωx = ωy = ωz = 0
• गुरुत्वाकर्षण और दाब बलों को छोड़कर अन्य सभी बाहरी बल शून्य होने चाहिए।
• प्रणाली की ऊर्जा स्थिर है इसलिए ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होना चाहिए।

बर्नोली समीकरण:

बर्नोली समीकरण गति के ऑयलर समीकरण को समाकलित करके प्राप्त किया जाता है जो निम्न द्वारा दिया गया है

ऑयलर समीकरण:

\(\frac{{dp}}{ρ } + gdz + vdv = 0\;\;\;\;\;(1)\)

गति के ऑयलर समीकरण में गुरुत्वाकर्षण और दाब के कारण बलों को ध्यान में रखा जाता है और जिसे गति को ध्यान में रखते हुए एक द्रव तत्व की धारा रेखा के साथ व्युत्पन्न किया जाता है।

उपरोक्त समीकरण (1) को समाकलित करना:

\(\smallint \frac{{dp}}{ρ } + \smallint gdz + \smallint vdv = 0\)

\(\frac{p}{ρ } + gz + \frac{{{v^2}}}{2} = C\)

\(\frac {P}{ρ g}+ \frac {v^2}{2g}+ Z = Constant\)

इस समीकरण को बर्नोली समीकरण कहा जाता है।

जहाँ

\(\frac{p}{ρg}\) = दाब शीर्ष या प्रति इकाई भार दाब ऊर्जा

\(\frac{v^2}{2g}\) = गतिज शीर्ष या प्रति इकाई भार गतिज ऊर्जा

z = स्थितिज शीर्ष या प्रति इकाई भार स्थितिज ऊर्जा।

P = दिए गए भाग पर द्रव का दाब V = दिए गए भाग पर प्रवाह वेग Z = दिए गए भाग पर स्थितिज शीर्ष ρ = द्रव का घनत्व

व्याख्या:

बर्नोली समीकरण:

बर्नोली समीकरण यूलर के गति समीकरण को समाकलित करके प्राप्त किया जाता है जो दिया गया है-

\(\frac{{dp}}{ρ } + gdz + vdv = 0\) ....(1)

यूलर के गति समीकरण में, गुरुत्वाकर्षण और दाब के कारण बलों को ध्यान में रखा जाता है और जो एक धारा रेखा के साथ एक द्रव तत्व की गति पर विचार करके व्युत्पन्न किया जाता है।

उपरोक्त समीकरण (1) को समाकलित करना:

\(\smallint \frac{{dp}}{ρ } + \smallint gdz + \smallint vdv = 0\)

\(\frac{p}{ρ } + gz + \frac{{{v^2}}}{2} = C\)

\(\frac{p}{{ρ g}} + \frac{{{v^2}}}{{2g}} + z = C\) ....(2)

जहाँ p/ρg = दाब शीर्ष या प्रति इकाई भार दाब ऊर्जा, v2/2g = गतिज शीर्ष या प्रति इकाई भार गतिज ऊर्जा z = स्थितिज शीर्ष या प्रति इकाई भार स्थितिज ऊर्जा।

बर्नोली समीकरण के व्युत्पन्न में निम्नलिखित मान्यताएँ की जाती हैं:

1. प्रवाह आदर्श है।
2. प्रवाह स्थिर है अर्थात समय परिवर्तन शून्य है।
3. प्रवाह असंपीड्य है अर्थात ρ स्थिरांक है।
4. प्रवाह अघूर्णी है अर्थात ωx = ωy = ωz = 0।

बर्नोली का समीकरण द्रव प्रवाह प्रणालियों पर लागू होता है जहाँ ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत मान्य होते हैं। यह लागू होता है:
1. वेंट्यूरीमीटर: दाब अंतर का विश्लेषण करके प्रवाह दर मापन के लिए उपयोग किया जाता है।
2. ओरीफिस मीटर: एक ओरीफिस में दाब गिरावट का उपयोग करके द्रव निर्वहन को मापता है।
3. पिटोट-ट्यूब: स्थिर और स्थैतिक दाब के आधार पर द्रव वेग को मापता है।

तीनों ही मामलों में, बर्नोली का समीकरण आदर्श प्रवाह स्थितियों (अदृश्य और असंपीड्य तरल पदार्थ) को मानते हुए, दाब, वेग और ऊँचाई को जोड़ता है।

संकल्पना:

सातत्य समीकरण:

A1V1 = A2V2

बर्नौली समीकरण:

\(\frac{P}{{\rho g}} + \frac{{{V^2}}}{{2g}} + z = {\rm{\;constant}}\)

गणना:

दिया गया:

P1 = 2.5 kPa, P2 = 1.5 kPa, V1 = 2 m/s, V2 = ?

बर्नौली का समीकरण:

\(\frac{{{P_1}}}{{\rho g}} + \frac{{V_1^2}}{{2g}} + {Z_1} = \frac{{{P_2}}}{{\rho g}} + \frac{{V_2^2}}{{2g}} + {Z_2}\)

\(\therefore \frac{{{P_1}}}{{\rho g}} + \frac{{{V_1^2}}}{{2g}} = \frac{{{P_2}}}{{\rho g}} + \frac{{{V_2^2}}}{{2g}}\)

\(\therefore \frac{{{2.5 \times 10^3}}}{{1000 \times g}} + \frac{{{2^2}}}{{2g}} = \frac{{{1.5 \times 10^3}}}{{1000 \times g}} + \frac{{{V_2^2}}}{{2g}}\)

\(\therefore 2.5 + 2 = 1.5 + \frac{{{V_2^2}}}{{2}}\)

\(\therefore V_2^2=6\)

\(\therefore V_2=\sqrt6~m/s\)

संकल्पना:

बरनौली का समीकरण:

"एक आदर्श असम्पीड्य तरल पदार्थ में जब प्रवाह स्थिर और निरंतर होती है, तो दबाव ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज (या आधार) ऊर्जा का योग प्रवाह की दिशा के साथ स्थित होता है।"

\({P\over ρ g}+{v^2\over 2g}+z=Constant\)

जहाँ \({P\over ρ g}=Pressure\, head\)

\({v^2\over 2g}=Kinetic\, head\)

z = आधार रेखा से शीर्ष

ρ = तरल पदार्थ का घनत्व 

g = गुरुत्वाकर्षण के कारण लगने वाले त्वरण 

v = तरल पदार्थ का वेग 

गणना:

दिए गए आकड़े:

पाइप का व्यास (D) = 6 cm

दबाव (P) = 200 × 10³ N/m²

औसत वेग (v) = 2.0 m/s

प्रति इकाई वजन कुल शीर्ष या कुल ऊर्जा (H) =?

\(Total\, head(H)={P\over ρ g}+{v^2\over 2g}+z\)

\(Total\, head(H)={200\times 10^3\over 1000\times 9.81}+{2^2\over 2\times 9.81}+6\)

\(Total\, head(H)=20.387+0.203+6=26.59\, m\)

\(Total\, head(H)=26.59\, m\)

प्रति इकाई वजन कुल शीर्ष या कुल ऊर्जा (H) = 26.59 m

अवधारणा:

बर्नौली का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है:

\(\frac{P}{{\rho g}} + \frac{{{V^2}}}{{2g}} + Z = Constant\)

जहाँ,

\(\frac{P}{{\rho g}} = \) दबाव शीर्ष, \(\frac{{{V^2}}}{{2g}} = \) गतिज शीर्ष,   Z = डेटम शीर्ष

गणना:

दिया गया है:

d = 5 cm, P = 20 N/cm²,  V = 2 m/s

गतिज शीर्ष = \(\frac{V^2}{2g}=\frac{2^2}{2\times9.81}=0.204\;m\)

व्याख्या:

बर्नौली का समीकरण

बर्नौली के समीकरण में कहा गया है कि एक असंपीड्य द्रव के स्थिर, आदर्श प्रवाह में, द्रव के किसी भी बिंदु पर कुल ऊर्जा स्थिर होती है। कुल ऊर्जा में दबाव ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा या आधार ऊर्जा होती है।

\(\frac{p}{\rho } + \frac{{{v^2}}}{2} + gZ =Constant\)

• बर्नौली का समीकरण इस धारणा पर लिया गया था कि द्रव श्यानताहीन होता है और इसलिए घर्षण रहित होता है।
• बरनौली समीकरण को प्रवाहित द्रवों के लिए उपयुक्त ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत का कथन माना जा सकता है।
• यह बताता है कि, एक स्थिर प्रवाह में, एक धारारेखा के साथ एक तरल पदार्थ में ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखा के सभी बिंदुओं पर समान होता है।
• इसे शीर्ष रूप (प्रति यूनिट वजन की कुल ऊर्जा) में दर्शाया जाता है।
• बर्नौली के समीकरण को यूलर के गति के समीकरण को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है।
• लेकिन सभी वास्तविक तरल में श्यानता है और इसलिए प्रतिरोध प्रवाह प्रदान करता है।
• इस प्रकार तरल प्रवाह में हमेशा कुछ ह्रास होते हैं और इसलिए बर्नौली के समीकरण के आवेदन में इन ह्रास को ध्यान में रखा जाता है।

एक संपीड़ित द्रव के लिए, द्रव का घनत्व (ρ) स्थिर नहीं होता है।

सामान्य बर्नौली का समीकरण है:

\(\int\frac{dp}{ρ}~+~\int Vdv~+~\int gdz~=~constant~(c)\\ \int Vdv~=~\frac{V^2}{2}\\ \int gdz~=~gz\)

रुद्धोष्म स्थितियों के लिए:

हम जानते हैं कि,

 \(\frac{P}{ρ ^k}~=~C\\ ρ~=~(\frac{P}{C})^{\frac{1}{k}}\)

अब ρ का मान रखने ,\(\int \frac{dP}{\rho}~=~\int \frac{dP}{P^{\frac{1}{k}}}~C^{\frac{1}{k}}~=~\int P^{\frac{-1}{k}} ~C^{\frac{1}{k}}~dP~=~(\frac{P^{\frac{-1}{k}~+~1}}{\frac{-1}{k}~+~1})~C^{\frac{1}{k}}~=~(\frac{k}{k~-~1})~\frac{P}{\rho}\)

\(i.e.~\int \frac{dP}{\rho}~=~(\frac{k}{k~-~1})~\frac{P}{\rho}\)

∴ बर्नौली का समीकरण है:

\((\frac{k}{k~-~1})~(\frac{P}{\rho })~+~\frac{V^2}{2}~+~gz~=~C\)

⇒ \((\frac{k}{k~-~1})~(\frac{P}{\rho g})~+~\frac{V^2}{2g}~+~z~=~C\)

स्पष्टीकरण:

बर्नोली का समीकरण

\(\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}+z=Constant\)

कहा पे,

\(\frac{v^2}{2g}\) = वेग शीर्ष

\(\frac{P}{\rho g}\) = दबाव शीर्ष

z = डेटम शीर्ष

डेटम शीर्ष और दबाव शीर्ष के योग को पीज़ोमेट्रिक शीर्ष कहा जाता है।

पीज़ोमेट्रिक शीर्ष और वेग शीर्ष का योग बर्नौली के समीकरण के अनुसार प्रवाह के दौरान स्थिर है।

तो, दो बिंदुओं के वेग के बीच एक स्थिर पीज़ोमेट्रिक के लिए शीर्ष स्थिर रहेगा।

स्पष्टीकरण :

बर्नौली का समीकरण यूलर के गति के समीकरण को समाकल करके प्राप्त किया जाता है जो कि निम्न द्वारा दिया जाता है-

यूलर का समीकरण:

\(\frac{{dp}}{ρ } + gdz + vdv = 0\;\;\;\;\;(1)\)

यूलर के गति के समीकरण में गुरुत्वाकर्षण और दबाव के कारण बल को विचार में लिया जाता है और जिसे प्रवाह की दिशा के साथ तरल पदार्थ के तत्व की गति को लेकर व्यक्त किया गया है। 

उपरोक्त समीकरण(1) को समाकल करने पर:

\(\smallint \frac{{dp}}{ρ } + \smallint gdz + \smallint vdv = 0\)

\(\frac{p}{ρ } + gz + \frac{{{v^2}}}{2} = C\)

\(\frac{p}{{ρ g}} + \frac{{{v^2}}}{{2g}} + z = C\;\;\;\;(2)\)

इस समीकरण को बर्नौली समीकरण कहते हैं।

जहां \(\frac{p}{ρg}\) = दवाब शीर्ष या दवाब ऊर्जा प्रति इकाई वजन, \(\frac{v^2}{2g}\) = गतिज शीर्ष या गतिज ऊर्जा प्रति इकाई वजन z = विभव शीर्ष या इकाई वजन द्वारा स्थितिज ऊर्जा।

बर्नौली के समीकरण के अवकलज में निम्नलिखित धारणाएँ बनाई गई हैं:

1. प्रवाह आदर्श यानी गैर श्यान है।
2. प्रवाह स्थिर है अर्थात समय परिवर्तन शून्य है।
3. प्रवाह असंपीड्य है अर्थात ρ स्थिरांक है।
4. प्रवाह अघूर्णी है अर्थात ωx = ωy = ωz = 0
5. गुरुत्वाकर्षण और दबाव बल ही लिए जाते हैं इसलिए अन्य सभी बाहरी बल शून्य होने चाहिए।
6. प्रणाली की ऊर्जा स्थिर है इसलिए ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होना चाहिए।

स्पष्टीकरण:

बर्नौली का समीकरण​:

\(\frac{P}{\rho g} + \frac{{{v^2}}}{{2g}} + Z = Constant\)

• इसे ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है।
• यह कहता है कि, एक स्थिर प्रवाह में, एक सुवीही के साथ एक तरल पदार्थ में ऊर्जा के सभी रूपों का योग इस सुवीही के सभी बिंदुओं पर समान है।
• यह दाबोच्चता के रूप में (प्रति इकाई वजन कुल ऊर्जा) निरुपित किया जाता है।

बर्नौली का समीकरण निम्न मान्यताओं के आधार पर व्युत्पन्न किया जाता है:

1. तरल इनविसिड है अर्थात् शून्य श्यानता।
2. प्रवाह स्थिर-अवस्था में है।
3. प्रवाह असंपीड्य है।
4. प्रवाह अघूर्णी है।
5. प्रवाह सुवीही के साथ है।
6. केवल गुरुत्वाकर्षण और दाब बल तरल पर कार्यरत हैं, कोई अन्य बाह्य बल नहीं।

Important Points

यद्यपि प्रवाह घूर्णी हो, हम अभी भी बर्नौली के समीकरण को लागू कर सकते हैं, लेकिन केवल सुवीही के साथ।

अवधारणा:

किसी बिंदु A पर कुल ऊर्जा (m में) = ​\(\frac{Pa}{\rho g}+\frac{V^{2}}{2g}\)​+z

जहाँ, ​

\(\frac{V^{2}}{2g}\) वेग शीर्ष है। 

गणना:

दिया गया है,

व्यास = 0.3 m

विशिष्ट गुरुत्व =0.8

प्रवाह वेग = 1.5 m/s 

बिंदु A पर दाब = 20 kN/m² या 20 kPa

आधार शीर्ष = 3 m

इसलिए, बिंदु A पर कुल ऊर्जा (m में) = \(\frac{Pa}{\rho g}+\frac{V^{2}}{2g}\)+z

= \(\frac{20*1000}{0.8*1000*9.81 g}+\frac{1.5^{2}}{2*9.81}+3\) 

= 2.54 +0.11 + 3 =5.65 m, जो विकल्प 3 के निकट है। 

संकल्पना:

बरनौली के समीकरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

Pρg+V22g+Z=Constant" id="MathJax-Element-43-Frame" role="presentation" tabindex="0">\(\frac{P}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=constant\)" id="MathJax-Element-67-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">

जहाँ, 

\(\frac{P}{\rho g}\) =  दबाव शीर्ष, \(\frac{V^2}{2g}\) = गतिज शीर्ष, Z = आधार शीर्ष

गणना:

दिया गया है:

दबाव शीर्ष = 50 m, गतिज शीर्ष = 4 m

चूँकि पाइप का अनुप्रस्थ-काट स्थिरांक है, इसलिए शीर्ष में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

⇒ आधार शीर्ष = 6 m

∴ कुल शीर्ष = दबाव शीर्ष + गतिज शीर्ष + आधार शीर्ष

⇒ 50 + 4 + 6 = 60 m

∴ दिए गए अनुप्रस्थ-काट पर पानी का कुल शीर्ष 60 m है। 

संकल्पना:

बर्नौली की प्रमेय:

बर्नौली के प्रमेय के अनुसार, एक धारारेखित प्रवाह में एक असंपीड्य, गैर-श्यान द्रव के प्रति इकाई द्रव्यमान में दबाव ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है। बर्नौली का समीकरण नीचे दिया गया है

\({p \over \ \rho g}+ {v^2 \over 2g}+z = constant\)

जहां p= दाब, v= वेग, z = आधार, g= गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, \(\rho\) = घनत्व

वायुमंडलीय गेज(प्रमापी) दबाव = 0

गणना:

दिया है:

चूंकि खंड 1 और 2 वायुमंडल के लिए खुले हैं, अत: P₁ = P₂ = 0, Z₁ - Z₂ = 20 m

बर्नौली के समीकरण को खंड 1 और 2 में लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

\(\frac{P_1}{\rho g}+\frac{V_1^2}{2g}+z_1=\frac{P_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2\)

\(V_2=\sqrt{2g(Z_1-Z_2)}=\sqrt{2\times 9.81 \times 20}=19.81\) m/sec