Area between two curves MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Area between two curves - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

स्पष्टीकरण -

प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,

4x2 = 8x + 12

⇒ x2 − 2x − 3 = 0

⇒ x = 3, −1

परिबद्ध क्षेत्रफल निम्नवत दिया गया है
\(A = \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) \, dx \)

\(A = \left[ \frac{8x^2}{2} + 12x - \frac{4x^3}{3} \right]_{-1}^{3} \)

= 44 - (4/3)

= 128/3

इसलिए सही विकल्प (2) है। 

गणना:

y(x + 4) = 16 ____(1) ,

x + y = 6___(2)

(1) और (2) को हल करने पर,

हमें x = 4, x = -2 प्राप्त होता है

क्षेत्रफल = \(\int_{-2}^4\left((6-x)-\left(\frac{16}{x+4}\right)\right) d x\)

क्षेत्रफल = 30 - 32 Iog_e 2

गणना

अभीष्ट क्षेत्र A = \(\int_{1-e}^{0} y \mathrm{dx}=\int_{1-e}^{0} \log _{e}(x+e) \mathrm{dx}\) x + e = t ⇒ dx = dt रखने पर, साथ ही जब x = 1 - e, t = 1 और जब x = 0, t = e है,

∴ \(A=\int_{1}^{e} \log _{e} t \mathrm{dt}=\left[t \log _{e} t-t\right]_{1}^{e}\)

e - e - 0 + 1 = 1

संप्रत्यय:

वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल:

• यह प्रश्न हमें x = 0 और x = 5 की सीमाओं के बीच वक्र y = |x - 2| द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए कहता है।
• फलन y = |x - 2| एक V-आकार का वक्र दर्शाता है, जिसका शीर्ष x = 2 पर है। हमें x = 0 और x = 5 के बीच इस वक्र के नीचे का क्षेत्रफल परिकलित करने की आवश्यकता है।
• फलन को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि x, 2 से कम है या 2 से अधिक है:
  • x < 2 के लिए, y = 2 - x
  • x ≥ 2 के लिए, y = x - 2
• क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हमें समाकल को दो भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है: एक x = 0 से x = 2 तक, और दूसरा x = 2 से x = 5 तक।

गणना:

हमें फलन दिया गया है:

y = |x - 2|

चरण 1: फलन के व्यवहार के आधार पर समाकल को विभाजित करें:

I = ∫₀² (2 - x) dx + ∫₂⁵ (x - 2) dx

चरण 2: x = 0 से x = 2 तक पहले समाकल की गणना करें:

∫₀² (2 - x) dx = [2x - (x²/2)]₀²

x = 2 पर:

2(2) - (2²/2) = 4 - 2 = 2

x = 0 पर:

2(0) - (0²/2) = 0

इसलिए, पहले समाकल का मान है:

2 - 0 = 2

चरण 3: x = 2 से x = 5 तक दूसरे समाकल की गणना करें:

∫₂⁵ (x - 2) dx = [(x²/2) - 2x]₂⁵

x = 5 पर:

(5²/2) - 2(5) = (25/2) - 10 = 12.5 - 10 = 2.5

x = 2 पर:

(2²/2) - 2(2) = (4/2) - 4 = 2 - 4 = -2

इसलिए, दूसरे समाकल का मान है:

2.5 - (-2) = 2.5 + 2 = 4.5

चरण 4: दो समाकलों के परिणामों को जोड़ें:

I = 2 + 4.5 = 6.5

∴ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल 6.5 वर्ग इकाई है।

सही उत्तर विकल्प (3) है।

संप्रत्यय:

दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल:

क्षेत्रफल = ∫ [f(x) - g(x)] dx

• दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा परिभाषित अंतराल पर फलनों के अंतर को समाकलित करके परिकलित किया जाता है।
• दो वक्रों y = f(x) और y = g(x) के बीच के क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र है:
• इस स्थिति में, दिए गए वक्र y = x और y = x³ हैं। हमें इन वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करने और फिर क्षेत्रफल की गणना करने के लिए समाकलन स्थापित करने की आवश्यकता है।

गणना:

हमें वक्र y = x और y = x³ दिए गए हैं। सबसे पहले, हम समीकरणों को एक दूसरे के बराबर करके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करते हैं:

x = x³

⇒ x³ - x = 0

⇒ x(x² - 1) = 0

⇒ x(x - 1)(x + 1) = 0

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन बिंदु x = -1, 0 और 1 हैं।

अब, वक्रों के बीच का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है:

क्षेत्रफल = ∫ -1 से 1 तक (x - x³) dx

हम समाकलन को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:

∫ (x - x³) dx = ∫ x dx - ∫ x³ dx

अब, प्रत्येक भाग का समाकलन करें:

∫ x dx = (x² / 2)

∫ x³ dx = (x⁴ / 4)

इसलिए, समाकलन बन जाता है:

क्षेत्रफल = [(x² / 2) - (x⁴ / 4)] का -1 से 1 तक मान।

अब, हम x = 1 और x = -1 बिंदुओं पर समाकलन का मान ज्ञात करते हैं:

x = 1 पर: (1² / 2) - (1⁴ / 4) = 1/2 - 1/4 = 1/4

x = -1 पर: ((-1)² / 2) - ((-1)⁴ / 4) = 1/2 - 1/4 = 1/4

इस प्रकार, कुल क्षेत्रफल है:

क्षेत्रफल = (1/4) - (-1/4) = 1/2

∴ वक्रों y = x और y = x³ से परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल 1/2 वर्ग इकाई है।

व्याख्या:

दिए गए वक्र y = x - 1 और y² = 2x + 6 हैं। 

इन्हे हल करने पर हमें प्राप्त होगा,

y² = 2(y + 1) + 6

⇒ y² - 2y - 8 = 0

⇒ (y - 4)(y + 2) = 0

⇒ y = -2, 4

अब, हम निम्न के द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं

A = \(\int_{-2}^{4}\left [y+1-\left ( \frac{y^{2}}{2}-3 \right ) \right ]dy \)

= \(\int_{-2}^{4}\left (4+y-\frac{y^{2}}{2} \right )dy \)

= \(\left [ 4y+\frac{y^{2}}{2} -\frac{y^{3}}{6}\right ]_{-2}^{4}\)

= \(16+8-\frac{32}{3}-\left ( -8+2+\frac{4}{3} \right )\)

∴ A = 18

धारणा:

1. परवलय का मानक समीकरण

(y - y₁)² = 4a(x - x₁)

जहाँ (x₁,y₁) शीर्ष है और फोकस (x₁ + a,y₁) है

गणना:

y² = 6 (x – 1) और y² = 3x

आरेख से

दोनों परवलयों से परिबद्ध क्षेत्र है

⇒ A = 2 × \(\left[ {\mathop \smallint \nolimits_0^{\sqrt 6 } \left( {\frac{{{{\rm{y}}^2}}}{6} + 1} \right){\rm{dy\;}} - {\rm{\;\;}}\mathop \smallint \nolimits_0^{\sqrt 6 } \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{3}{\rm{\;dy}}} \right]\)

⇒ A = 2 × \(\left[ {\left[ {\frac{{{{\rm{y}}^3}}}{{18}} + {\rm{y}}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 6 }\\ 0 \end{array} - \left[ {\frac{{{{\rm{y}}^3}}}{9}} \right]\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 6 }\\ 0 \end{array}} \right]\)

⇒ A = 2 × \(\left[ {\left[ {\frac{{6\sqrt 6 }}{{18}} + \sqrt 6 - 0{\rm{\;}}} \right] - \frac{{6\sqrt 6 }}{9} - 0{\rm{\;}}} \right]\)

⇒ A = 2 × \(\left[ { - {\rm{\;}}\frac{{6\sqrt 6 }}{{18}} + \sqrt 6 {\rm{\;}}} \right]\)

संकल्पना:

वक्र y1 = f(x) और y2 = g(x) के बीच के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

संलग्न क्षेत्रफल = \(\rm \left|\int_{x_1}^{x_2}(y_1-y_2)dx\right|\)

जहाँ, x1 और x2 वक्र y1 और y2 के प्रतिच्छेदन हैं।  

गणना:

दिया गया है

वक्र 1: y = x2 = f(x) (अर्थात्)

वक्र 2: y - x = 0

⇒ y = 8 - 6x = g(x) (अर्थात्)

वक्र 1 से y का मान रखने पर प्रतिच्छेदन (या क्षेत्रफल की सीमा) ज्ञात करने के लिए

⇒ x² - x = 0

⇒ x(x - 1) = 0

⇒ x = 0, x = 1

अब आवश्यक क्षेत्रफल (A) निम्न है

A = \(\rm \left|\int_{x_1}^{x_2}[f(x)-g(x)]dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\int_{0}^{1}[x - x^2]dx\right|\)

⇒ A = \(\rm \left|\left[{x^2\over2}-{x^3\over3}\right]_{0}^{1}\right|\)

⇒ A = \(\left| {\frac{1}{2} - \;\frac{1}{3} - \left( 0 \right)} \right|\)

⇒ A = \(\rm 1\over6\)वर्ग इकाई 

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

प्रयोग की गयी संकल्पना:

वक्र y1 = f(x) और y2 = g(x) के बीच के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

परिबद्ध क्षेत्रफल = \(\rm \int_{x_1}^{x_2} |y_2 - y_1|dx\)

जहाँ x1 और x2 वक्र y1 और y2 के प्रतिच्छेदन हैं। 

गणना:

आकृति में ΔABC और ΔAOD समरूप हैं। 

इसलिए, भाग का क्षेत्रफल = 2 × (ΔABC का क्षेत्रफल)

ΔABC के क्षेत्रफल के लिए

= \(\rm \mathop \smallint \limits_2^4 \left( {x - 2} \right)\;dx\)

= \(\rm[\frac{x^2} 2 - 2x ]^{4}_2\)     

= \( \frac {4^2}2 - 2(4) - (\frac {2^2}2 - 2\times2)\)

= 8 - 8 - 2 + 4

= 2 वर्ग इकाई

इसलिए, भाग का क्षेत्रफल = 2 × (ΔABC का क्षेत्रफल) = 2 × 2 = 4 वर्ग इकाई 

Alternate Method

त्रिभुज सूत्र का प्रयोग करने पर = 1/2 × आधार × ऊंचाई

आकृति में = 1/2 × (2 × 2)

ΔABC का क्षेत्रफल = 2

कुल परिबद्ध क्षेत्रफल = 2 × 2 = 4 वर्ग इकाई 

संकल्पना:

दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: माना कि वक्र f(x) और g(x) है। 

\({\rm{Area}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} \left[ {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{g}}\left( {\rm{x}} \right)} \right]{\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} \left[ {{\rm{Top}} - {\rm{bottom}}} \right]{\rm{dx}}\)

गणना:

दिया गया है:

परवलय का समीकरण y = x2 है और रेखा का समीकरण y = 2x + 3 है। 

परवलय समीकरण में y का मान रखने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ 2x + 3 = x²

⇒ x² – 2x - 3 = 0

⇒ x² – 3x + x - 3= 0

⇒ x(x - 3) + 1(x – 3) = 0

⇒ (x + 1) (x - 3) = 0

∴ x = -1, 3

y = x² में x का मान रखने पर

दिए गए वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु (-1, 1) और (3, 9) हैं।

अब, 

वक्र द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल \(= \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^3 \left[ {{\rm{Top}} - {\rm{bottom}}} \right]{\rm{dx}} = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^3 \left[ {\left( {2{\rm{x}} + 3} \right) - {{\rm{x}}^2}} \right]{\rm{dx\;}}\)

\( = \left[ {\frac{{2{x^2}}}{2} + 3x} \right]_{ - 1}^3 - \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{ - 1}^3\)

\(= \left[ {\left( {9 + 9} \right) - \left( {1 - 3} \right)} \right] - \left( {9 - \frac{-1}{3}} \right) = 20 - \frac{{28}}{3} = \frac{{32}}{3}{\rm{sq}}.{\rm{\;unit}}\)

संकल्पना:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}\times base \times height\)

गणना:

दी गयी रेखाएं y = x, y = 0 और x = 4 हैं। 

रेखा y = x, y = 0 और x = 4 द्वारा घेरे गए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सर्वप्रथम रेखाओं का आलेख बनाइए। 

सर्वप्रथम प्रतिच्छेदन का बिंदु ज्ञात कीजिए। 

जब y = 0 है, तो x = 0 है। 

जब x = 4 है, तो y = 4 है। 

इसलिए, प्रतिच्छेदन का बिंदु (0, 0), और (4, 4) है। 

इन रेखाओं y = x, y = 0 और x = 4 से, हमें त्रिभुज के रूप में परिबद्ध भाग प्राप्त होता है। 

त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}\times base \times height\)

⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\rm \frac{1}{2}\times 4 \times 4\)

⇒ त्रिभुज का क्षेत्रफल = 8 इकाई 

अतः रेखा y = x, y = 0 और x = 4 द्वारा घेरे गए भाग का क्षेत्रफल 8 इकाई है। 

संकल्पना:

समाकलन द्वारा वक्र के तहत क्षेत्रफल: इस वक्र के तहत क्षेत्रफल को ऊर्ध्वाधर रूप से जोड़कर ज्ञात कीजिए।

इस स्थिति में, हम वह क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं, जो आयत के ऊंचाई x = f(y) और चौड़ाई dy का योग है। 

यदि हमें y= f(x) दिया गया हैं, तो हमें इसे x=f(y) के रूप में पुनः व्यक्त करने की आवश्यकता है और हमें नीचे से शीर्ष भाग तक योग करने की आवश्यकता है। 

\({\rm{Area}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{xdy}} = \mathop \smallint \nolimits_{\rm{a}}^{\rm{b}} {\rm{f}}\left( {\rm{y}} \right){\rm{dy}}\)

गणना:

दिया गया वक्र x² = 4y है। 

∴ x = 2√y

यहाँ परवलय x2 = 4y और क्षैतिज रेखा y = 2 और y = 4 द्वारा घिरे पहले चतुर्थांश में आने वाले भाग का आवश्यक छायांकित क्षेत्रफल निम्न है

\({\rm{Area\;of\;ABCD}} = \mathop \smallint \nolimits_2^4 {\rm{xdy}}\)

\(= \mathop \smallint \nolimits_2^4 2\sqrt {\rm{y}} {\rm{\;dy}} = 2\left[ {\frac{{{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_2^4 = \frac{4}{3}\left( {{4^{\frac{3}{2}}} - {2^{\frac{3}{2}}}} \right) = \frac{{32 - 8\sqrt 2 }}{3}{\rm{sq}}.{\rm{\;unit}}\)

संकल्पना:

वक्र y = f(x) के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

A = \(\rm \int_{x_1}^{x_2}f(x) dx\)

जहाँ x₁ और x₂ अंतिम बिंदु हैं जिसके बीच क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है। 

गणना:

f(x) = y = 2e4x 

दिए गए अंतिम बिंदु x₁ = 0, x₂ = 4 है। 

वक्र का क्षेत्रफल (A) = |\(\rm \int_0^4\)2e4x dx|

⇒ A = \(\rm \left|\left[2e^{4x}\over4\right]_0^4\right|\)

⇒ A = \(\rm {1\over2}\left|\left[e^{4x}\right]_0^4\right|\)

⇒ A = \(\rm {1\over2}\left|\left[e^{16}-e^0\right]\right|\)

⇒ A = \(\boldsymbol{\rm {1\over2}\left(e^{16}-1\right)}\)

Additional Information

समाकल गुण:

• ∫ xn dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\)+ C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ ex dx = ex+ C
• ∫ ax dx = (ax/ln a) + C ; a > 0,  a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C 

अवधारणा​:

\(\rm \int\sqrt{a^2-x^2}=\frac x 2\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}sin^{-1}\frac x a\)

गणना​:

दिया गया है, वक्र निम्न है \(\rm x = \sqrt {9 - y^2}\) 

अब, Y-अक्ष का समीकरण x = 0,

⇒ y² = 9 

⇒ y = -3, 3

वक्र y = \(\rm \sqrt{9-x^2}\) और y-अक्ष द्वारा घिरा क्षेत्र

\(=\rm 2\int_0^3ydx\)

\(=\rm 2\int_0^3\rm \sqrt{9-x^2}dx\)

\(\rm =2[\frac x2\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}sin^{-1}\frac x 3]_0^3\)

\(\rm =2[\frac x2\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}sin^{-1}\frac x 3]_0^3\)

= 2[\(\rm \frac{9π}{4}-0\)]

= 4.5 वर्ग इकाई

इसलिए, विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

• फलन y = f(x) के अंतर्गत x = a से x = b तक के क्षेत्र और x-अक्ष  \(\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\) द्वारा दिया गया है, उन वक्रों के लिए जो दी गई सीमा में पूणर्तः x-अक्ष के एक ही ओर हैं।
• यदि वक्र x-अक्ष के दोनों ओर हैं, तब हम दोनों पक्षों के क्षेत्रफलों की अलग-अलग गणना करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।
• यदि हमारे पास वक्र y = f(x) और y = g(x) है, तब a \(\left|\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\right|\) दिया गया हो।

गणना: