Higher Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Higher Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

গাণিতিক বিশ্লেষণে, ক্লেরাউটের সমীকরণ (বা ক্লেরাউট সমীকরণ) হল ${\displaystyle y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)}$ আকারের একটি অবকল সমীকরণ, যেখানে f অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনযোগ্য। এটি ল্যাগ্রাঞ্জের অবকল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

ক্লেরাউটের সমীকরণ সমাধানের জন্য, x-এর সাপেক্ষে অবকলন করতে হয়

${\displaystyle [x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)]\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0.}$

অতএব, হয় ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$ অথবা ${\displaystyle x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)=0.}$

ব্যাখ্যা:

y = px + p³.......(1)

x-এর সাপেক্ষে উভয় পাশে অবকলন করে পাই

p = x $\frac{dp}{dx}$+p+3p²$\frac{dp}{dx}$

(x+3p²)$\frac{dp}{dx}$=0

⇒ হয় $\frac{dp}{dx}$=0 অথবা x+3p²=0

এখন, যেমন x+3p2=0 ⇒ p²=$\frac{-x}{3}$

(1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

⇒y=p(x+$(\frac{-x}{3})$)

⇒y=$\frac{2x}{3}p$

এখন, উভয় পাশে বর্গ করে পাই

⇒y²=($\frac{2x}{3}p$)²

⇒ 9y²=4x²$(\frac{-x}{3})$

⇒ 27y²=-4x³

⇒27y²+4x³=0

অতএব, (2) বিকল্পটি সঠিক

ধারণা:

গাণিতিক বিশ্লেষণে, ক্লেরাউটের সমীকরণ (বা ক্লেরাউট সমীকরণ) হল ${\displaystyle y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)}$ আকারের একটি অবকল সমীকরণ, যেখানে f অবিচ্ছিন্নভাবে অবকলনযোগ্য। এটি ল্যাগ্রাঞ্জের অবকল সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্র।

ক্লেরাউটের সমীকরণ সমাধানের জন্য, x-এর সাপেক্ষে অবকলন করতে হয়

${\displaystyle [x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)]\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0.}$

অতএব, হয় ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0}$ অথবা ${\displaystyle x+f^{\prime }\left(\frac{dy}{dx}\right)=0.}$

ব্যাখ্যা:

y = px + p³.......(1)

x-এর সাপেক্ষে উভয় পাশে অবকলন করে পাই

p = x $\frac{dp}{dx}$+p+3p²$\frac{dp}{dx}$

(x+3p²)$\frac{dp}{dx}$=0

⇒ হয় $\frac{dp}{dx}$=0 অথবা x+3p²=0

এখন, যেমন x+3p2=0 ⇒ p²=$\frac{-x}{3}$

(1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই

⇒y=p(x+$(\frac{-x}{3})$)

⇒y=$\frac{2x}{3}p$

এখন, উভয় পাশে বর্গ করে পাই

⇒y²=($\frac{2x}{3}p$)²

⇒ 9y²=4x²$(\frac{-x}{3})$

⇒ 27y²=-4x³

⇒27y²+4x³=0

অতএব, (2) বিকল্পটি সঠিক