উচ্চতা ও দূরত্ব MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Heights and Distances - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

30 মিটার এবং 14 মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট দুটি খুঁটির শীর্ষ একটি তার দ্বারা সংযুক্ত রয়েছে। যদি তারটি অনুভূমিকের সাথে 30° কোণ করে।

গণনা:

ধরি, তারের দৈর্ঘ্য হল h 

খুঁটি 1 এর উচ্চতা = 30 মিটার

AB = 30 - 14 = 16 মিটার

ΔABC-তে,

Sin30° = AB/AC

⇒ \(\dfrac{1}{2}\) = \(\dfrac{16}{h}\)

⇒ h = 32 মিটার

∴ তারের দৈর্ঘ্য হল 32 মিটার।

প্রদত্ত:

বৈদ্যুতিক খুঁটির ছায়া = 42 মি

গাছের উচ্চতা = 12 মি

গাছের ছায়া = 16 মি

ব্যবহৃত সূত্র:

একই সময়ে একটি বস্তুর উচ্চতা এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত স্থির থাকে।

উচ্চতা₁ / ছায়া₁ = উচ্চতা₂ / ছায়া₂

গণনা:

ধরি বৈদ্যুতিক খুঁটির উচ্চতা h মিটার।

সদৃশ ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্য অনুসারে:

খুঁটির উচ্চতা / খুঁটির ছায়া = গাছের উচ্চতা / গাছের ছায়া

⇒ h / 42 = 12 / 16

⇒ h = (12 × 42) / 16

⇒ h = 504 / 16

⇒ h = 31.5

∴ বৈদ্যুতিক খুঁটির উচ্চতা 31.5 মি।

প্রদত্ত:

খুঁটির উচ্চতা = 18 মিটার

পতাকার নিচের কোণ = 30°

পতাকার উপরের কোণ = 60°

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি সমকোণী ত্রিভুজে, উচ্চতা = ভূমি × tan(কোণ)

গণনা:

ধরা যাক, মাটির বিন্দু থেকে খুঁটির পাদদেশের দূরত্ব "x"।

খুঁটির পাদদেশ থেকে:

খুঁটির উচ্চতা = x × tan(30°)

⇒ 18 = x × (1/√3)

⇒ x = 18 × √3

পতাকার উপরের অংশ থেকে:

মোট উচ্চতা = x × tan(60°)

⇒ মোট উচ্চতা =(18 × √3) × √3

⇒ মোট উচ্চতা = 18 × 3 = 54 মিটার

পতাকার উচ্চতা = মোট উচ্চতা - খুঁটির উচ্চতা

⇒ পতাকার উচ্চতা = 54 - 18

⇒ পতাকার উচ্চতা = 36 মিটার

∴ পতাকার উচ্চতা 36 মিটার।

দেওয়া হয়েছে:

রমেশের মাটির ভবনের উচ্চতা = 8 সেমি

সুরেশের মাটির ভবনের উচ্চতা = 15 সেমি

ভবনগুলির মধ্যে দূরত্ব = 24 সেমি

হিসাব:

শীর্ষগুলির মধ্যে দূরত্ব

⇒ √{242 + 72}

⇒ √{576 + 49}

⇒ √625 = 25 সেমি

তাদের মাটির তৈরি ভবনের শীর্ষের মধ্যে দূরত্ব 25 সেমি।

দেওয়া হয়েছে:

প্রাথমিকভাবে উচ্চতা কোণ (θ ₁ ) = 30°

বৃদ্ধির পর উচ্চতা কোণ (θ ₂ ) = 60°

মাটির বিন্দু থেকে গাছের পাদদেশের দূরত্ব (d) = 300 মিটার

ব্যবহৃত সূত্র:

গাছের উচ্চতা (h) = d × tan(θ)

গণনা:

গাছের প্রাথমিক উচ্চতা (h₁):

h1 = 300 × tan(30°)

⇒ h1 = 300 × 1/√3

⇒ h1 = 300/√3

বৃদ্ধির পর গাছের উচ্চতা (h₂ ):

h2 = 300 × tan(60°)

⇒ h2 = 300 × √3

⇒ h2 = 300√3

উচ্চতা বৃদ্ধি (h₂ - h₁):

⇒ 300√3 - 300/√3

⇒ 300(√3 - 1/√3)

⇒ 300(\(\frac{3 - 1}{√3}\))

⇒ 300(2/√3) = (600 × √3) / 3

 ⇒ 200√3

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2।

দেওয়া:

BC = 18 মি

ধারণা:

সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে:

Tanθ = Perpendicular/Base

Cosθ = Base/Hypotenuse

গণনা:

গাছের উচ্চতা = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

তাই, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3

⇒ 54/√3 × √3 /√3 (হর থেকে মূল অপসারণের যুক্তিযুক্ত করা)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ গাছের উচ্চতা = 18√3।

ভুল বিন্দু : এখানে, গাছের মোট উচ্চতা (AB + AC)।

উপরের প্রশ্নটি আগের বছরের প্রশ্ন সরাসরি এনসিইআরটি দশম শ্রেণি থেকে নেওয়া হয়েছে। সঠিক উত্তর হবে 18√3

আমরা নিম্নলিখিত ধাপগুলি ব্যবহার করে উন্নতি কোণ নির্ণয় করতে পারি:

গণনা:

ধাপ 1: মাটির বিন্দু থেকে 20√3 মি দূরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকুন, যেখানে বিমানটিকে শীর্ষবিন্দু হিসাবে বিবেচনা করুন।

মাটির দুটি বিন্দুর মধ্যে উচ্চতার পার্থক্যটিকে "h" এবং দুটি বিন্দুর মধ্যে অনুভূমিক দূরত্বটিকে "d" হিসেবে আখ্যা দিন।

উন্নতি কোণ নির্ণয় করতে স্পর্শক ফাংশন ব্যবহার করুন:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) 

উন্নতি কোণের জন্য সমাধান করুন:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

এই ক্ষেত্রে, h = 20 মি এবং d = 20√3 মি, অতএব:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

সুতরাং, উন্নতি কোণ হল 30°

প্রদত্ত,  

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ AB = 10√3 মি 

প্রদত্ত, 

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = AE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 মি  

প্রয়োজনীয় উচ্চতা হ'ল = 30√3 + 20√3 = 50√3 মি। 

প্রদত্ত:

মইয়ের দৈর্ঘ্য = 5 মি

অনুসৃত ধারণা:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

দেয়াল থেকে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব \(= \sqrt{5^2 - 3^2}\)

⇒ 4 মি

এখন, এটি হয় 4 - 2.6 = 1.4 মি

সুতরাং উচ্চতা \(= \sqrt{5^2 - 1.4^2}\)

⇒ \(\sqrt{25 - 1.96}\)

⇒ \(\sqrt{23.04}\)

⇒ 4.8

অতএব, মইটি 4.8 - 3 = 1.8 মিটার উপরে সরে যাবে

∴ মইটি দেয়ালে উপরের দিকে 1.8 মিটার সরে যাবে।

প্রদত্ত 

16 মিটার এবং 9 মিটার দৈর্ঘ্যের দুটি স্তম্ভের মধ্যে দূরত্ব হল x মিটার।

যদি যথাক্রমে তাদের শীর্ষ থেকে অন্যটির নীচ অবধি দুটি উন্নতি কোণ একে অপরের পূরক কোণ হয়,

অনুসৃত ধারণা 

যদি দুটি উন্নতি কোণ একে অপরের পরিপূরক হয় তবে H = √ab

যেখানে a এবং b হল স্তম্ভগুলির দৈর্ঘ্য।

গণনা 

AB এবং CD দুটি স্তম্ভের দৈর্ঘ্য 16 মি এবং 9 মি।

ধরি B এবং D-তে উন্নতি কোণ θ এবং (90 - θ) 

ধরি দুটি স্তম্ভের মধ্যে দূরত্ব হবে x মিটার

Δ ABD তে

Tanθ = AB/BD = 16/x - - - -(i)

Δ BDC তে

Tan(90 - θ) = CD/BD = 9/x

Cotθ = 9/x - - - - (ii)

সমীকরণ i এবং ii গুণ করুন

⇒ Tanθ × Cotθ = (16/x) (9/x)

⇒ 144/x² = 1

⇒ x² = 144

⇒ x = 12 মি

দ্বিতীয় পদ্ধতি

যদি দুটি উন্নতি কোণ একে অপরের পরিপূরক হয় তবে x = √ab

যেখানে a এবং b স্তম্ভগুলির দৈর্ঘ্য।

x = \(\sqrt {16 \times 9} \)

x = √144

x = 12 মি

প্রদত্ত:

দুই দেয়ালের মধ্যে দূরত্ব = 100 মি

অনুসৃত ধারণা:

দীর্ঘতর সিঁড়িটি AC হবে কারণ যে দিকটি ছোট কোণ তৈরি করে তা বড় কোণ তৈরি করা দিকের চেয়ে বড়।

গণনা:

প্রতিটি দেয়ালের উচ্চতা ধরা যাক = h

BC + CE = BE = 100

⇒ CE = 100 - BC.......(1)

ABC ত্রিভুজে, AB/BC = tan 30° 

⇒ h/BC = 1/√3

⇒ BC = √3h.......(2)

CDE ত্রিভুজে, DE/CE = tan 60°

⇒ h/(100 - BC) = √3

h/(100 - √3h) = √3

h = 100√3 - 3h

4h = 100√3

h = 25√3 মি ...... (3)

(2) এবং (3) দ্বারা 

BC = √3h = √3 × 25√3

⇒ BC = 75 মি

আবার ABC ত্রিভুজে, BC/AC = cos 30°

⇒ 75/AC = √3/2

⇒ 150 = √3 × AC

⇒ AC = 150/√3

⇒ AC = 150/√3 ×√3/√3

∴ AC = 50√3 মি

বিকল্প পদ্ধতি

অনুপাত পদ্ধতি দ্বারা

3 + 1 = 4 = 100 মি

\(\Rightarrow 2√{3}= \frac{100}{4}\times 2√{3}\)

AC = 50√3

প্রদত্ত:

স্তম্ভের উচ্চতা = 100 মিটার

গণনা:

ত্রিভুজ ADC তে, AD/DC = tan 45°

⇒ AD/DC = 1 [tan 45° = 1]

⇒ AD = DC = 100 মিটার

ত্রিভুজ ABD তে, AD/BD = tan 30°

⇒ 100/BD = 1/√3 [tan 30° = 1/√3]

⇒ BD = 100 × √3 = 173 মিটার [√3 = 1.73]

⇒ BC = BD + DC

⇒ 173 + 100 = 273 মিটার

∴ দুটি জাহাজের মধ্যে দূরত্ব 273 মিটার

33 প্রদত্ত:

বাতিঘরের উচ্চতা = 100 মিটার

দুটি জাহাজ দ্বারা সম্মুখ কোণ = 30º এবং 45º

অনুসৃত সূত্র:

সমকোণী ত্রিভুজ ABC-তে, B-তে সমকোণ সহ, tan A = \(\dfrac{BC}{AB}\)

গণনা:

চিত্র থেকে,

tan 45º = 100/AB

⇒ AB = 100

এছাড়াও, tan 30º = 100/BD

⇒ BD = 100 √3

⇒ BD = 173; (√3 ~ 1.73)

অতএব, AD = AB + BD = 100 + 173

⇒ AD = 273

∴ দুটি জাহাজের মধ্যে দূরত্ব = 273 মিটার 

প্রদত্ত:

125 মিটার উঁচু মিনার থেকে, একটি গাড়ির অবনতি কোণ 45°

অনুসৃত ধারণা:

Tan 45° = 1

গণনা:

AB হল মিনারের উচ্চতা যা 125 মি

C হল সেই বিন্দুটি যেখানে গাড়িটি দাঁড়িয়ে আছে।

Δ ABC তে

Tan 45° = AB/BC

1 = AB/BC

AB = BC = 125 মি

মিনার এবং গাড়ির মধ্যে দূরত্ব হল 125 মি

CD = 10 একক

Δ ABC-তে

tan 45 = AB/BC

BC = AB --- (1)

ΔABD তে

tan 60 = AB/BD

⇒ √3 = AB/BD

⇒ AB = √3 BD

BC = √3 BD [সমীকরণ (1) থেকে]

BC = BD + CD

⇒ √3 BD – BD = CD

⇒ BD (√3 – 1) = 10

⇒ BD = 10/(√3 – 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ BD = 10 (√3 + 1)/2

⇒ BD = 5 (1.732 + 1)

⇒ BD = 5 × 2.732

⇒ BD = 13.66 একক

⇒ 10 একক = 10 মিনিট

⇒ 13.66 একক = 13 মিনিট 40 সেকেন্ড

সংক্ষিপ্ত কৌশল:

(√3 – 1) একক = 10 মিনিট

1 একক = 10/(√3  - 1) × [(√3 + 1)/(√3 + 1)]

⇒ 1 একক = 10 (√3 + 1)/2 = 5 (1.732 + 1) = 5 × 2.732 = 13.66

⇒ 13.66  = 13 মিনিট 40 সেকেন্ড