Dimensional formulae and dimensional equations MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Dimensional formulae and dimensional equations - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

hc/λ-এর একক শক্তির একক, কারণ একটি ফোটনের জন্য E = hc/λ

শক্তি ভর সমতুল্যতা E = mc² ব্যবহার করে mc²এর একক শক্তি।

গণনা:

শক্তির উভয় রাশির মাত্রা সমান করে:

[hc/λ] = [ mc²]

⇒ [h/λ] = [mc]

⇒ [h/mc] = [λ] = L

∴ \(\rm \frac{h}{mc}\) এর মাত্রা দৈর্ঘ্যের সমান

সঠিক উত্তর হল কার্য ও টর্কKey Points 

• সঠিক উত্তর হল কার্য ও টর্ক.
• কার্য ও টর্ক উভয়েরই মাত্রা ML²T⁻².
• কার্য : কর্ম বল ও সরণের গুণফল। এর মাত্রা [M][L][T⁻²][L] = [ML²T⁻²].
   
• টর্ক: টর্ক বল ও লম্ব দূরত্বের গুণফল। এর মাত্রা [M][L][T⁻²][L] = [ML²T⁻²]

Additional Information 

• শক্তি ও জড়তার ভ্রামক:
  • শক্তি: শক্তি হল কর্ম করার হার। এর মাত্রা [ML²T⁻³].
  • জড়তার ভ্রামক: জড়তার ভ্রামক হল কোন বস্তুর ঘূর্ণনীয় ত্বরণের প্রতিরোধের পরিমাপ। এর মাত্রা [ML²].
• কর্ম ও কৌণিক সরণ:
  • কৌণিক সরণ: কৌণিক সরণ হল কোন বস্তুর কৌণিক অবস্থানের পরিবর্তন। এর মাত্রা [rad] (একটি মাত্রাহীন রাশি)।
  • শক্তি ও বৃত্তাকার গতির ব্যাসার্ধ:
• বৃত্তাকার গতির ব্যাসার্ধ: বৃত্তাকার গতির ব্যাসার্ধ হল দৈর্ঘ্য। এর মাত্রা [L].

সঠিক উত্তরটি হল বল/দৈর্ঘ্য।

In News

• পৃষ্ঠ টান হল তরলের একটি ভৌত বৈশিষ্ট্য যা তাদের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল অর্জন করতে সাহায্য করে।

Key Points

• পৃষ্ঠ টানকে তরলের পৃষ্ঠে ক্রিয়াশীল প্রতি একক দৈর্ঘ্যের বল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
• পৃষ্ঠ টানের সঠিক সূত্র হল বল/দৈর্ঘ্য, যা তরলের পৃষ্ঠে ক্রিয়াশীল বলকে তার ক্রিয়াশীল দৈর্ঘ্য দ্বারা ভাগ করে প্রকাশ করে।
• এটি সাধারণত নিউটন প্রতি মিটার (N/m) এককে পরিমাপ করা হয়।
• পৃষ্ঠ টান বিভিন্ন প্রাকৃতিক ঘটনায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেমন বিন্দু তৈরি এবং জলের উপর হাঁটার পোকামাকড়ের আচরণ।

Additional Information

• গুরুত্বপূর্ণ শব্দাবলী:
  • পৃষ্ঠ টান: তরলের পৃষ্ঠের স্থিতিস্থাপক প্রবণতার একটি পরিমাপ যা তাদের সর্বনিম্ন সম্ভাব্য পৃষ্ঠ ক্ষেত্রফল অর্জন করতে সাহায্য করে। এটি তরলের অণুগুলির মধ্যে আকর্ষণের কারণে হয়।
  • বল: একটি মিথস্ক্রিয়া যা, যখন প্রতিরোধ করা হয় না, তখন কোনও বস্তুর গতি পরিবর্তন করে। এটি একটি ভেক্টর রাশি যার পরিমাণ এবং দিক উভয়ই থাকে।
  • দৈর্ঘ্য: কোনও জিনিসের শেষ থেকে শেষ পর্যন্ত পরিমাপ বা বিস্তার; কোনও বস্তুর তিনটি মাত্রার মধ্যে দুটির বৃহত্তম বা তিনটির মধ্যে সবচেয়ে বড়।
  • নিউটন (N): আন্তর্জাতিক একক ব্যবস্থা (SI) এর বলের ডেরিভেটেড একক। এটি আইজ্যাক নিউটনের নামে নামকরণ করা হয়েছে ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সে তার কাজের স্বীকৃতিস্বরূপ।

ধারণা:

মাত্রা বিশ্লেষণ:

• অন্যান্য রাশির সাথে সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে ভৌত রাশির মাত্রা নির্ণয়ের জন্য মাত্রা বিশ্লেষণ ব্যবহার করা হয়।
• প্রদত্ত রাশিটিতে গুরুত্বপূর্ণ পদ:
  • কার্য (W): একটি গ্যাস অণুর দ্বারা সম্পাদিত কার্য।
    • SI একক: জুল (J)
    • মাত্রা সূত্র: [ML²T⁻²]
  • সরণ (x): গ্যাস অণুর সরণ।
    • SI একক: মিটার (m)
    • মাত্রা সূত্র: [L]
  • বোল্টজম্যান ধ্রুবক (k): একটি ভৌত ধ্রুবক যা গ্যাসের কণার গড় গতিশক্তিকে গ্যাসের তাপমাত্রার সাথে সম্পর্কিত করে।
    • SI একক: জুল প্রতি কেলভিন (J/K)
    • মাত্রা সূত্র: [ML²T⁻²K⁻¹]
  • তাপমাত্রা (T): একটি পদ্ধতিতে কণার গড় গতিশক্তির পরিমাপ।
    • SI একক: কেলভিন (K)
    • মাত্রা সূত্র: [K]

গণনা:

প্রদত্ত,

কাজের রাশি: W = α ⋅ β² ⋅ e^{−(x2)/(α k T)}

আমাদের β-এর মাত্রা খুঁজে বের করতে হবে।

রাশিটি থেকে,

W = α ⋅ β² ⋅ e^{−(x2)/(α k T)}

যেহেতু সূচকীয় ফাংশনটি মাত্রাবিহীন, তাই সূচকের মাত্রা অবশ্যই শূন্য হতে হবে।

অতএব, (x²)/(α k T)-এর মাত্রা মাত্রাহীন হতে হবে।

তাই, α-এর মাত্রা (x²)/(k T)-এর মাত্রার সাথে একই হতে হবে।

(x²)/(k T)-এর মাত্রা গণনা করা যাক:

⇒ x²-এর মাত্রা = [L]²

⇒ k-এর মাত্রা = [ML²T⁻²K⁻¹]

⇒ T-এর মাত্রা = [K]

⇒ k T-এর মাত্রা = [ML²T⁻²K⁻¹] x [K] = [ML²T⁻²]

⇒ (x²)/(k T)-এর মাত্রা = [L]² / [ML²T⁻²] = [M⁻¹T²]

⇒ α-এর মাত্রা = [M⁻¹T²]

এখন, যেহেতু W-এর মাত্রা [ML²T⁻²], এবং β²-এর মাত্রা α দ্বারা ভাগ করা W-এর মাত্রার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হতে হবে:

⇒ β²-এর মাত্রা = [ML²T⁻²] / [M⁻¹T²] = [M²L²T⁻⁴]

⇒ β-এর মাত্রা = [M¹L¹T⁻²]

∴ সঠিক উত্তরটি বিকল্প 3, [MLT⁻²]।

ধারণা :

• মাত্রার একজাতীয়তার নীতি : এই নীতি অনুসারে, একটি ভৌত সমীকরণ মাত্রিকভাবে সঠিক হবে যদি সমীকরণের উভয় পাশের সকল পদের মাত্রা একই হয়।
  • এই নীতিটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে শুধুমাত্র একই ধরণের ভৌত পরিমাণ যোগ করা , বিয়োগ করা বা তুলনা করা যায়।
  • এইভাবে, বেগকে বেগের সাথে যোগ করা যেতে পারে কিন্তু জোর করে নয় ।

ব্যাখ্যা :

দেত্তয়া আছে:

F = ax 2 + bx + c

• মাত্রিক একজাতীয়তার নীতি থেকে, সমীকরণের বাম-পাশটি সমীকরণের ডানদিকের সমান ।

বলের মাত্রিক সূত্র (F) = [MLT^-2 ]

স্থানচ্যুতির মাত্রিক সূত্র (x) = [L]

LHS = RHS

[MLT -2 ] = [b] × [L]

[b] = ML ⁰ T ^-2

তাই বিকল্প 4 সঠিক।

ধারণা:

মাত্রিক সূত্র-কে ভর, দৈর্ঘ্য, সময় এবং অ্যাম্পিয়ারের পরিপ্রেক্ষিতে ভৌত রাশির অভিব্যক্তি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
ব্যাখ্যা:

• ঘনত্ব: এটিকে প্রতি একক আয়তনের ভর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

অর্থাৎ \(Density = \frac{{Mass}}{{Volume}}\)

এখন,

ভর এর মাত্রিক সূত্র = [M]

আয়তনের মাত্রিক সূত্র = [L3]

\(Density = \frac{{\left[ M \right]}}{{\left[ {{L^3}} \right]}}\)

∴ ঘনত্ব = ML-3 T0

∴ ঘনত্বের মাত্রিক সূত্র হল [ML-3 T0]

• কিছু ভিত্তিস্বরূপ মাত্রিক সূত্র:

অনুসৃত ধারণা:

• কৃতকার্য: বল ও সরণের ডট গুণফলকে কৃতকার্য বলে।

কৃতকার্য (W) = F.s cos θ 

যেখানে F বল, s সরণ এবং θ F ও s-এর মধ্যবর্তী কোণ।

কাজের (W) মাত্রাগত সূত্র = [ML2T-2]

• শক্তি: কাজ করার ক্ষমতাকে শক্তি বলে।

শক্তি (E) = কৃতকার্য (W)

এই কারণে কার্য ও শক্তির মাত্রাগত সূত্র একই।

অর্থাৎ, শক্তির (E) মাত্রাগত সূত্র = কার্যের (W) মাত্রাগত সূত্র = [ML2T-2]

এখানে,

M = ভর 

T = শক্তি 

L = দৈর্ঘ্য 

F = বল

s = সরণ

θ  = প্রযুক্ত বল ও সরণের অভিমুখের মধ্যবর্তী কোণ 

ব্যাখ্যা:

উপরের ব্যাখ্যা থেকে পাই 

• কৃতকার্যের মাত্রাগত সূত্র ML²T^-2.
• কার্যের এসআই (SI) একক জুল।

ধারণাঃ

​

• মাত্রিক সূত্রঃ একটি ভৌতিক পরিমাপের মাত্রাগুলি তার প্রকৃতির প্রতিনিধিত্ব করে।
• ​মাত্রিক সূত্রটি বিভিন্ন ভৌতিক পরিমাপের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজতে আমাদের সহায়তা করে।​
  • উদাহরণস্বরূপ, কাজ সম্পন্ন করার জন্য মাত্রিক সূত্র এবং গতিশক্তি হল একই, সুতরাং, আমরা বলতেই পারি তারা সম্পর্কিত।
• মাত্রাহীন পরিমাপের জন্য মাত্রিক বিশ্লেষণ করা সম্ভব নয়।
  • উদাহরণস্বরূপ, আপেক্ষিক ঘনত্ব হল একটি মাত্রাবিহীন পরিমাপ যা দুটি ঘনত্বের অনুপাত। আপেক্ষিক ঘনত্বের তাপমাত্রা আমরা খুঁজে পাই না।
• মৌলিক পরিমাপের মাত্রা জানা যায় এবং অন্যান্য পরিমাপের জন্য মাত্রিক সূত্রগুলি নেওয়া হয় মৌলিক একক থেকে।
• উদাহরণঃ
  • ঘনত্বের মাত্রা আবিষ্কার -
  1. ঘনত্ব প্রকাশের রাশিটি হল ভর/আয়তন
  2. ভর হল একটি মৌলিক একক মাত্রা M
  3. আয়তন হল দৈর্ঘ্যের ঘনফল। সুতরাং, দৈর্ঘ্যের মাত্রিক সূত্রটি হল L3
  4. ঘনত্বের জন্য মাত্রিক সূত্র হল M / L3 = ML -3

​ব্যাখ্যা:

ত্বরণের সংজ্ঞা থেকে,

\(A = \frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{{d^2}x}}{{d{t^2}}}\)

\(\smallint dv = \smallint A\;dt\)

V = A × T

\(\frac{x}{T} = A\;T\)

⇒ x = A T2

মাত্রা আকারে লিখতে গেলে হয়

⇒ x = [F0AT2]

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3) অর্থাৎ M1 I-1 L2 T-2

ধারণা :

• চৌম্বক ফ্লাক্স : চৌম্বক ফ্লাক্স হল একটি প্রদত্ত পৃষ্ঠ এলাকার মধ্য দিয়ে যাওয়া চৌম্বক ক্ষেত্র রেখার সংখ্যার পরিমাপ।

চৌম্বক প্রবাহ ϕ দ্বারা দেওয়া হয়:

ϕ = BAcosθ

যেখানে B হল চৌম্বক ক্ষেত্রের শক্তি, A হল ক্ষেত্রফল ভেক্টর, এবং θ হল চৌম্বক ক্ষেত্রের রেখার সাপেক্ষে এলাকা ভেক্টর দ্বারা তৈরি কোণ।

ব্যাখ্যা :

আমরা জানি, ϕ = BAcosθ

মাত্রিক বিশ্লেষণের জন্য, ϕ = BA

A (ক্ষেত্রফল) = L ² ----(1) এর মাত্রিক সূত্র

লেঞ্জের সূত্র থেকে আমরা জানি যে F = q(v × B) ⇒ B = \(\frac{F}{qv}\)

বল, F = ভর × ত্বরণ ⇒ M ¹ L ¹ T ^-2 ----(2)

চার্জ, q = বর্তমান × সময় ⇒ I ¹ T ¹ ----(3)

বেগ, v ⇒ L ¹ T ^-1 ----(4)

প্রতিস্থাপন (1), (2), (3), এবং (4) ϕ = BA

[ϕ] = \(\frac{F}{qv}\) A = \(\frac{M^1 L^1T^{-2} }{(I^1T^1)(L^1T^{-1})} L^2 \) = M1 I-1 L2 T-2

ধারণা:

পৃষ্ঠটান:

• পৃষ্ঠটান হল এমন একটি ধর্ম যার দ্বারা তরল তার মুক্ত পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কমানোর চেষ্টা করে।
• গোলকাকার আকারে পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ন্যূনতম হয় এবং এই কারণে, বৃষ্টির ফোঁটা গোলকাকার হয়।
• পৃষ্ঠটান পরিমাপ করা হয় তরল পৃষ্ঠে টানা একটি কাল্পনিক রেখার প্রতি একক দৈর্ঘ্যে ক্রিয়াশীল বল হিসেবে।

\(Surface\;tension = \frac{{Force}}{{length}}\)

• তাপমাত্রা: যদি তাপমাত্রা বৃদ্ধি পায় তাহলে তরলের পৃষ্ঠতল উত্তেজনা কমে যায়।
• দ্রবণীয় অশুদ্ধি: কম দ্রবণীয় অশুদ্ধি এর ক্ষেত্রে, পৃষ্ঠটান কমে যায়। কিন্তু, তরলে অত্যন্ত দ্রবণীয় অশুদ্ধি থাকলে পৃষ্ঠতল উত্তেজনা বৃদ্ধি পায়।

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি যে,

\(Surface\;tension = \frac{{Force}}{{length}}\)

পৃষ্ঠটানের মাত্রিক সূত্র হল -

\(Surface\;tension = \frac{{Force}}{{length}}=\frac{[ML{T}^{-2}]}{[L]}=[M{T}^{-2}]\)

ধারণা:

• শক্তি - শক্তিকে কিছু কাজ করার ক্ষমতা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং এটি E = mc² এর সমান।
• এখানে আমাদের আছে, ভর হিসাবে m এবং আলোর বেগ হিসাবে c
• মহাকর্ষীয় ধ্রুবক - মহাকর্ষীয় ধ্রুবককে "G" দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটি থেকে আসে,

⇒ \(F = \frac {Gm_1 m_2}{r^2}\)

⇒ \(G = \frac {F r^2}{m_1 m_2}\)

এখানে, F হল বল, m₁, m₂ হল দুটি ভর এবং r হল দূরত্ব।

গণনা:

শক্তি, E = mc2  

• শক্তির মাত্রিক সূত্র

E] = [M1(LT-1)2]

⇒[E] = [M1 L2 T-2]   ------(1)

এবং \(G = \frac {F r^2}{m_1 m_2}\)

• মহাকর্ষীয় ধ্রুবকের মাত্রিক সূত্র

[G] = [M^-1 L³ T^-2 ] ------(2)

সমীকরণ (1) এবং (2) ভাগ করুন, আমাদের আছে

\(\frac{{[E]}}{{[G]}} = \frac{{[{M^1}{L^2}{T^{ - 2}}]}}{{[{M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}]}}\)

⇒ \(\left[ {\frac{E}{G}} \right]\) = [M2 L-1 T 0]

সুতরাং, সঠিক বিকল্প হল (2)

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 4) অর্থাৎ MLT-1

ধারণা:

• মাত্রা সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো ভৌত রাশিকে মৌলিক রাশি - ভর, দৈর্ঘ্য এবং সময়ের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

• ঘাত (J): যখন কোনো বস্তুর উপর একটি বল নির্দিষ্ট সময়ের জন্য ক্রিয়া করে, তখন বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনকে ঘাত বলে।

ঘাত গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা হয় : \(Δ p=FΔ t\)

যেখানে Δp হল ভরবেগের পরিবর্তন, F হল বল এবং Δt হল সময়

ব্যাখ্যা:

ঘাত দেওয়া হয়:

\(Δ p=FΔ t\)

ঘাত (J) \(= (m a)\:.t\) ----(1)

বলের (ma) মাত্রা সূত্র = M[LT^-2] ----(2) ( \(\because\) a = বেগ/সময় = \(\frac{dispalcement/time}{time}\) = \(\frac{L/T}{T}\) = LT-2 )

সময়ের (t) মাত্রা সূত্র = T ----(3)

(2) এবং (3) কে (1) এ প্রতিস্থাপন করে,

ঘাতের মাত্রা = M[LT-2] x T = MLT^-1

সঠিক উত্তর হলো বিকল্প 2): (ত্বরণ)

ধারণা:

ত্বরণ:

• ত্বরণ হলো সময়ের সাথে কোনো বস্তুর বেগের পরিবর্তনের হার।
• বেগ হলো সময়ের সাথে দূরত্বের পরিবর্তনের হার
• বেগ = \(Distance \over Time\)
• বেগের মাত্রা হল LT-1
• ত্বরণ = \(Velocity \over Time\)
• ত্বরণের মাত্রা হল LT-2

Additional Information

• ক্ষমতা P এর মাত্রা সূত্র হল [ML²T^-3]।
• ভরবেগের মাত্রা সূত্র হল [M¹ L¹ T^-1]।
• ঘনত্বের মাত্রা সূত্র হল [M¹ L^-3 T⁰]।

ধারণা:

মাত্রা:

• একটি ভৌত রাশির মাত্রা বলতে সেই রাশির এক একক গঠন করতে মৌলিক এককগুলিকে যে ঘাতে উন্নীত করতে হয় তাকে বোঝানো হয়।​

​​মাত্রার সমসত্ত্বতার নীতি:

• এই নীতি অনুসারে, একটি ভৌত সমীকরণ তখনই মাত্রাগত ভাবে সঠিক হবে, যখন সমীকরণের উভয় দিকের সমস্ত পদ সমান হবে। 
• এই নীতিটি এই বিষয়ের উপর ভিত্তি করে প্রস্তুত যে, কেবল একই প্রকারের ভৌত রাশিগুলিকে যোগ করা যাবে, বিয়োগ করা যাবে বা তুলনা করা যাবে। 
• অর্থাৎ, বেগ কে বেগের সাথে যুক্ত করা যাবে কিন্তু বলের সাথে যুক্ত করা যাবে না।  

ব্যাখ্যা:

g এর মাত্রা লেখা হবে নিম্নরূপ,

⇒ [g] = [M⁰ L¹ T^-2]     -----(1)

r এর মাত্রা লেখা হবে নিম্নরূপ,

⇒ [r] = [M0 L1 T0]     -----(2)

ঘনত্ব ρ এর মাত্রা লেখা হবে নিম্নরূপ,

⇒ [ρ] = [M¹ L^-3 T⁰]     -----(3)

 ধরা যাক k এর মাত্রা লেখা হবে নিম্নরূপ,

⇒ [k] = [M^x L^y T^z]     -----(4)

• আমরা জানি যে, কেবল একই প্রকারের ভৌত রাশিগুলিকে যোগ করা যাবে, বিয়োগ করা যাবে বা তুলনা করা যাবে। 
• অর্থাৎ krρ এর মাত্রা g এর মাত্রার সমান হবে। 

সুতরাং krρ এর মাত্রা লেখা হবে নিম্নরূপ, 

⇒ [krρ] = [g]     -----(5)

সমীকরণ 1, সমীকরণ 2, সমীকরণ 3, সমীকরণ 4 এবং সমীকরণ 5 থেকে পাওয়া যায়, 

⇒ [Mx Ly Tz]×[M0 L1 T0]×[M1 L-3 T0] = [M0 L1 T-2]

⇒ [Mx+1 Ly-2 Tz] = [M0 L1 T-2]     -----(6)

বামপক্ষ এবং সমীকরণ 6 এর ডানপক্ষের তুলনা করে পাওয়া যায়, 

⇒ x + 1 = 0

⇒ x = -1

⇒ y - 2 = 1

⇒ y = 3

⇒ z = -2

সুতরাং k এর মাত্রা লেখা হবে নিম্নরূপ,

⇒ [k] = [M-1 L3 T-2]

• অর্থাৎ, বিকল্প 4 হল সঠিক।