স্থানাঙ্ক জ্যামিতি MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Co-ordinate Geometry - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

147x - 231y = 525

77x - 49y = 203

ব্যবহৃত সূত্র:

ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য, সমীকরণদ্বয় সমাধান করতে হবে।

গণনা:

দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 3 দিয়ে গুণ করলে:

⇒ 231x - 147y = 609

এখন, সংশোধিত দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বাদ দিলে:

⇒ (231x - 147y) - (147x - 231y) = 609 - 525

⇒ 84x + 84y = 84

⇒ x + y = 1

x + y = 1 প্রথম সমীকরণে ব্যবহার করে:

⇒ 147x - 231(1 - x) = 525

⇒ 147x - 231 + 231x = 525

⇒ 378x = 756

⇒ x = 2

x = 2, x + y = 1 এ ব্যবহার করে:

⇒ 2 + y = 1

⇒ y = -1

সুতরাং, ছেদবিন্দু হল (2, -1).

এখন দেখা যাক কোন সমীকরণ (2, -1) বিন্দুটি সিদ্ধ করে:

9x - 5y = 23 এর জন্য:

⇒ 9(2) - 5(-1) = 18 + 5 = 23

∴ সঠিক উত্তর হল  বিকল্প 1 ।

প্রদত্ত:

x, y³ - 1 এর ব্যস্তানুপাতী।

y = 4 হলে x = 3।

অনুসৃত সূত্র:

x = k / (y³ - 1)

গণনা:

প্রদত্ত: x = 3, y = 4

সূত্র ব্যবহার করে:

3 = k / (4³ - 1)

3 = k / (64 - 1)

3 = k / 63

⇒ k = 3 × 63

⇒ k = 189

y = 6 হলে x:

x = 189 / (6³ - 1)

x = 189 / (216 - 1)

x = 189 / 215

সঠিক উত্তর বিকল্প 3

প্রদত্ত:

বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক হল (1, 2), (2, 3), (x, 4)

গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 40 বর্গ একক।

অনুসৃত সূত্র:

(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \)

গণনা:

(1, 2), (2, 3), (x, 4) স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} \left| 1(3 - 4) + 2(4 - 2) + x(2 - 3) \right| \)

প্রদত্ত ক্ষেত্রফল = 40 বর্গ একক:

\( \frac{1}{2} \left| 1(-1) + 2(2) + x(-1) \right| = 40 \)

পরম মান সরিয়ে x-এর জন্য সমাধান করলে:

\( \frac{1}{2} \left| -1 + 4 - x \right| = 40 \)

উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করলে:

\( \left| 3 - x \right| = 80 \)

এই দুটি সমীকরণ দেয়:

1) \( 3 - x = 80 \)

2) \( 3 - x = -80 \)

x-এর জন্য সমাধান করলে:

1) \( 3 - x = 80 \)

⇒ \( -x = 77 \)

⇒ \( x = -77 \)

2) \( 3 - x = -80 \)

⇒ \( -x = -83 \)

⇒ \( x = 83 \)

সঠিক উত্তর হলো বিকল্প 1 (x = -77)

প্রদত্ত:

ত্রিভুজের বিন্দুগুলি: (2, 3), (3, -1), (-4, 2)

অনুসৃত সূত্র:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |\)

গণনা:

ধরা যাক (x₁, y₁) = (2, 3)
ধরা যাক (x₂, y₂) = (3, -1)
ধরা যাক (x₃, y₃) = (-4, 2)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | 2((-1) - 2) + 3(2 - 3) + (-4)(3 + 1) | \)

⇒ ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | 2(-3) + 3(-1) + (-4)(4) |\)

⇒ ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | -6 - 3 - 16 |\)

⇒ ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} | -25 |\)

⇒ ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} × 25\)

⇒ ক্ষেত্রফল = 12.5 বর্গ একক

(2, 3), (3, -1) এবং (-4, 2) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 12.5 বর্গ একক।

প্রদত্ত:

দুটি রৈখিক সমীকরণ: 2x + y = 6 এবং 2x - y = -2

অনুসৃত সূত্র:

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 x ভূমি x উচ্চতা

গণনা:

x-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

2x + y = 6 এর জন্য:

⇒ y = 0

⇒ 2x + 0 = 6

⇒ x = 3

বিন্দু: (3, 0)

2x - y = -2 এর জন্য:

⇒ y = 0

⇒ 2x - 0 = -2

⇒ x = -1

বিন্দু: (-1, 0)

দুটি রেখার ছেদ বিন্দু নির্ণয়:

দুটি সমীকরণ যোগ করলে:

2x + y + 2x - y = 6 - 2

⇒ 4x = 4

⇒ x = 1

2x + y = 6 তে x = 1 বসালে:

⇒ 2(1) + y = 6

⇒ 2 + y = 6

⇒ y = 4

বিন্দু: (1, 4)

এখন আমাদের ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি হল: (3, 0), (-1, 0) এবং (1, 4)

ভূমি ( (-1, 0) এবং (3, 0) এর মধ্যে দূরত্ব):

⇒ 3 - (-1) = 4

উচ্চতা ( (1, 4) এর y-সমন্বয়):

⇒ 4

ক্ষেত্রফল:

⇒ 1/2 x ভূমি  x উচ্চতা

⇒ 1/2 x 4 x 4

⇒ 8 বর্গ একক

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2

অনুসৃত সূত্র:

যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু (x1, y1), (x2, y2) এবং (x3, y3) তার ক্ষেত্রফল =  ½ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]

গণনা:

⇒ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × [1(-3 – 1) + (-4) (1 – 2) + 4{2 – (-3)}] = (1/2) × {(-4) + 4 + 20} = 20/2 = 10 বর্গ একক

A(4, 1), B(1, 1) এবং C(3, 5) যদি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হয়, তাহলে,

⇒ AB² = (1 - 1)² + (1 - 4)² = 9

⇒ BC² = (5 - 1)² + (3 - 1)² = 20

⇒ AC² = (5 - 1)² + (3 - 4)² = 17

প্রদত্ত:

ভরকেন্দ্রর স্থানাঙ্ক = (4,8)

শীর্ষবিন্দুর 1-এর স্থানাঙ্ক = (9,7)

শীর্ষবিন্দু 2-এর স্থানাঙ্ক = (1,4)

অনুসৃত ধারণা:

যদি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) হয়, তাহলে ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রর সূত্রটি নীচে দেওয়া হল:

একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র = ((x1 + x2+ x3)/3, (y1+ y2 + y3)/3)

ক্ষেত্রফল = (1/2) [x1 (y2 – y3 ) + x2 (y3 – y1 ) + x3(y1 – y2)]

গণনা:

ধরি, তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (a,b)

প্রশ্নানুযায়ী,

(a + 9 + 1) ÷ 3 = 4

⇒ a = 2

(b + 7 + 4) ÷ 3 = 8

⇒ b = 13

সুতরাং, তৃতীয় শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (2,13)

ত্রিভুজটির তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (9,7) , (2,13) ও (1,4)।

এই শীর্ষবিন্দুগুলি ব্যবহার করে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি

সুতরাং, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) [9(13 - 4) + 2(4 - 7) + 1(7 - 13)] = 34.5 একক2

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 34.5 একক2

সূত্র:

লাইনের ঢাল = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

প্রদত্ত:

y₂ = 2,    y₁ = -4,    x₂ = 5,    x₁ =3

গণনা:

⇒ {2 – (- 4)}/{5 – 3}

⇒ (6)/(2)

⇒ 3

প্রদত্ত:

দুটি বিন্দু (-6, y) এবং (18, 6) এর মধ্যে দূরত্ব হল 26 একক।

অনুসৃত সূত্র:

D = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

যেখানে,

দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) এর মধ্যে দূরত্ব হল D একক।

গণনা:

দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব = 26 একক

প্রথম স্থানাঙ্কর মান = (x₁, y₁) = (-6, y)

দ্বিতীয় স্থানাঙ্কের মান = (x2, y2) = (18, 6)

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ D = \(\sqrt{(18-(-6))^2 + (6-y)^2} \)

⇒ 26 = \(\sqrt{(24)^2 + (6-y)^2} \)

সমীকরণের উভয় পাশে বর্গ নিয়ে

⇒ 676 = 242 + (6 - y)2

⇒ 676 = 576 + (6 - y)2

⇒ 100 = (6 - y)2

⇒ 102 = (6 - y)2

সমীকরণের উভয় পাশে বর্গমূল নেওয়া হচ্ছে।

⇒ 10 = 6 - y

⇒ y = -4

∴ নির্ণেয় উত্তর হল -4

প্রদত্ত:

x ₁ = 4, x ₂ = 3, y ₁ = 3, y ₂ = - 2

সূত্র:

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব = √ [(x ₁ - x ₂ ) ² + (y ₁ - y ₂ ) ² ]

গণনা:

√ [(4 - 3) 2 + (3 - {-2}) 2 ]

⇒ √ [(1) ² + (5) ² ]

⇒ অভ্যন্তরীণ বিভাজনের সূত্র= {[(mx2 + nx1)/(m + n)], [(my2 + ny1)/(m + n)]}

⇒ এখানে, x1, y1 = (- 1, 0) এবং x2, y2 = (2, 6). m : n = 2 : 1

⇒ [(2 × 2) + (1 × - 1)]/(2 + 1), [(2 × 6) + (1 × 0)]/(2 + 1) = (1, 4)

ধারণা:

রাশি বিবেচনা করুন: a1x + b1y + c = 0 এবং a2x + b2y + c = 0

সিস্টেমের শর্তের অনন্য সমাধান আছে যদি a1/a2 ≠ b1/b2

সিস্টেমের শর্তের অসীম সমাধান আছে যদি a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

সিস্টেমের শর্তের কোনও সমাধান নেই যদি a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

গণনা:

সমীকরণটি হল, x – Ky = 2, 3x + 2y = 5

এখানে, a1 = 1, b1 = -k, a2 = 3, b2 = 2

1/3 ≠ -k/2

k ≠ -2/3

∴ K এর নির্ণেয় মান -2/3 এর সমান হওয়া উচিত নয়।

অনুসৃত ধারণা:

Y অক্ষে বিন্দু (x, y) এর প্রতিফলন হবে (-x, y)

এবং, X অক্ষে বিন্দু (x, y) এর প্রতিফলন হবে (x, -y)

গণনা:

অতএব, Y-অক্ষে বিন্দু (-2, -6) এর প্রতিফলন হবে (2, -6)

প্রদত্ত:

ABCD চতুর্ভূজের,

A (- 4, - 2)

B (- 3, - 5)

C (3, - 2)

D (2, 3)

ধারণা:

যদি A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), C (x₃, y₃) বিন্দুগুলি থেকে একটি ΔABC গঠিত হয়,

তাহলে, ΔABC-এর ক্ষেত্রফল = \(\dfrac{1}{2}\)[x₁ (y₂ - y₃) + x₂ (y₃ - y₂) + x₃ (y₁ - y₂)]

গণনা:

ABCD চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল = ΔABC-এর ক্ষেত্রফল + ΔADC-এর ক্ষেত্রফল

সূত্র ব্যবহার করে পাই,

ΔABC-এর ক্ষেত্রফল = \(\dfrac{1}{2}\)[- 4 (- 5 + 2) + (- 3) (- 2 + 2) + 3 (- 2 + 5)]

= (1 / 2) × (12 + 9)

= (21 / 2) বর্গ একক

ΔADC-এর ক্ষেত্রফল = \(\dfrac{1}{2}\)[- 4 (3 + 2) + (2) (- 2 + 2) + 3 (- 2 - 3)]

= (1 / 2) × (- 20 - 15)

= (35 / 2) বর্গ একক

ABCD চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল = (21 / 2) + (35 / 2) বর্গ একক

= 28 বর্গ একক