Applications of Vectors MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Applications of Vectors - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

A বিন্দুটিকে মূলবিন্দু (0,0) ধরা যাক।

তাহলে $\overrightarrow{AB}=3\hat{i}+4\hat{k}$ এবং $AC=5\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}$ স্থান ভেক্টর হবে।

তাহলে B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $(3,0,4)$ এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $(5,-2,4)$।

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দুর সূত্র ব্যবহার করে BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় $D(4,-1,4)$।

তাহলে $A$ বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য হবে

$AD=\sqrt{(4-0{)}^2+(-1-0{)}^2+(4-0{)}^2}$ $=\sqrt{33}$

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে $\overrightarrow{F}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$

II. যদি $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}এবং\overrightarrow{b}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ হয় তাহলে $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে $\overrightarrow{F}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AB}=\left(2\hat{i}+0\hat{j}-5\hat{k}\right)-\left(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\right)=\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}$

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে $\overrightarrow{F}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}=\left(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\right)\cdot \left(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\right)=2+6-2=6units$

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}\ne \lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

$\overrightarrow{\alpha }=\left(\lambda -2\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$

$\overrightarrow{\beta }=\left(4\lambda -2\right)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

$\overrightarrow{\alpha }=k\overrightarrow{\beta }$ যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

$\Rightarrow \left(\lambda -2\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=k\left[\left(4\lambda -2\right)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right]$

$\Rightarrow \left[\left(\lambda -2\right)-k\left(4\lambda -2\right)\right]\mathrm{a}+\left(1-3k\right)\mathrm{b}=0$

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

$\therefore k=\frac{1}{3}$

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

$\Rightarrow \left(\lambda -2\right)-\frac{1}{3}\left(4\lambda -2\right)=0$

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}\ne \lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

$\overrightarrow{\alpha }=\left(\lambda -2\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$

$\overrightarrow{\beta }=\left(4\lambda -2\right)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

$\overrightarrow{\alpha }=k\overrightarrow{\beta }$ যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

$\Rightarrow \left(\lambda -2\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=k\left[\left(4\lambda -2\right)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right]$

$\Rightarrow \left[\left(\lambda -2\right)-k\left(4\lambda -2\right)\right]\mathrm{a}+\left(1-3k\right)\mathrm{b}=0$

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

$\therefore k=\frac{1}{3}$

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

$\Rightarrow \left(\lambda -2\right)-\frac{1}{3}\left(4\lambda -2\right)=0$

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে $\overrightarrow{F}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$

II. যদি $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}এবং\overrightarrow{b}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ হয় তাহলে $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে $\overrightarrow{F}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AB}=\left(2\hat{i}+0\hat{j}-5\hat{k}\right)-\left(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\right)=\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}$

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে $\overrightarrow{F}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}=\left(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\right)\cdot \left(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\right)=2+6-2=6units$

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

প্রশ্নানুসারে, ভেক্টর $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমরেখ নয়।

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

$\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{a}}\ne \lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$

কোনও অ-শূন্য স্কেলার λ এর জন্য।

প্রশ্নানুসারে,

$\overrightarrow{\alpha }=\left(\lambda -2\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}$

$\overrightarrow{\beta }=\left(4\lambda -2\right)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$

তাহলে, আমরা লিখতে পারি,

$\overrightarrow{\alpha }=k\overrightarrow{\beta }$ যেখানে k ∈ R -{0}

মান বসিয়ে,

$\Rightarrow \left(\lambda -2\right)\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=k\left[\left(4\lambda -2\right)\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right]$

$\Rightarrow \left[\left(\lambda -2\right)-k\left(4\lambda -2\right)\right]\mathrm{a}+\left(1-3k\right)\mathrm{b}=0$

প্রশ্নানুসারে, যেহেতু $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}$ পরস্পর সমরেখ নয়, তাই এরা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

⇒ (λ - 2) - k(4λ - 2) = 0 এবং (1 - 3k) = 0

এখন,

⇒ 1 = 3k

$\therefore k=\frac{1}{3}$

‘k’ এর মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে,

$\Rightarrow \left(\lambda -2\right)-\frac{1}{3}\left(4\lambda -2\right)=0$

⇒ 3λ - 6 = 4λ - 2

ধারণা:

I. যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে $\overrightarrow{F}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$

II. যদি $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}এবং\overrightarrow{b}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ হয় তাহলে $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

গণনা:

প্রদত্ত: কণাটি A = (1, 2, -3) বিন্দু থেকে B = (2, 0, -5) বিন্দুতে $\overrightarrow{F}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়।

সুতরাং, কণাটির সরণ হলো:

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{AB}=\left(2\hat{i}+0\hat{j}-5\hat{k}\right)-\left(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}\right)=\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}$

আমরা জানি যে, যদি একটি কণা A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে $\overrightarrow{F}$ বলের প্রভাবে স্থানান্তরিত হয়। তাহলে A থেকে B বিন্দুতে কণাটিকে স্থানান্তর করার কাজ হলো: $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}$

$W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{d}=\left(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}\right)\cdot \left(\hat{i}-2\hat{j}-2\hat{k}\right)=2+6-2=6units$

অতএব, C বিকল্প সঠিক উত্তর।

গণনা

A বিন্দুটিকে মূলবিন্দু (0,0) ধরা যাক।

তাহলে $\overrightarrow{AB}=3\hat{i}+4\hat{k}$ এবং $AC=5\hat{i}-2\hat{j}+4\hat{k}$ স্থান ভেক্টর হবে।

তাহলে B বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $(3,0,4)$ এবং C বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $(5,-2,4)$।

দুটি বিন্দুর মধ্যবিন্দুর সূত্র ব্যবহার করে BC-এর মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক পাওয়া যায় $D(4,-1,4)$।

তাহলে $A$ বিন্দুগামী মধ্যমার দৈর্ঘ্য হবে

$AD=\sqrt{(4-0{)}^2+(-1-0{)}^2+(4-0{)}^2}$ $=\sqrt{33}$

অতএব, বিকল্প 2 সঠিক।