పలాయన వేగంలో మూడింట ఒక వంతు వేగంతో భూమి ఉపరితలం నుండి అంచనా వేయబడిన వస్తువు గరిష్ట ఎత్తు ఎంత? (భూమి వ్యాసార్థం=R)

భావన :

• తప్పించుకునే వేగం : భూమి యొక్క గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రం నుండి తప్పించుకోవడానికి అవసరమైన కనీస వేగాన్ని తప్పించుకునే వేగం అంటారు. ఇది V e ద్వారా సూచించబడుతుంది.

భూమిపై తప్పించుకునే వేగం దీని ద్వారా ఇవ్వబడింది:

$V_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11.2km/s$

భూమి ఉపరితలంపై ఒక బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ సంభావ్య శక్తి ఇవ్వబడింది;

గురుత్వాకర్షణ సంభావ్య శక్తి $\left(PE\right)=-\frac{GMm}{R+h}$

ఇక్కడ G అనేది సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ స్థిరాంకం, M అనేది భూమి యొక్క ద్రవ్యరాశి మరియు R అనేది భూమి యొక్క వ్యాసార్థం, m అనేది శరీర ద్రవ్యరాశి మరియు h అనేది భూమి యొక్క ఉపరితలంపై ఉన్న ఎత్తు.

గణన :

అది మాకు తెలుసు,

తప్పించుకునే వేగం = v _e = $\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ ........(1)

ఇక్కడ G అనేది సార్వత్రిక గురుత్వాకర్షణ స్థిరాంకం మరియు M అనేది భూమి యొక్క ద్రవ్యరాశి.

వస్తువు యొక్క వేగం = v = v _e /3 = $\sqrt{\frac{2GM}{9R}}$ .....(2)

వస్తువు యొక్క ప్రారంభ గతి శక్తి = KE ₁ = $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m\frac{2GM}{9R}$ .... (3 )

వస్తువు యొక్క ప్రారంభ సంభావ్య శక్తి = PE ₁ = $-\frac{GMm}{R}$ ....... (4)

ఇక్కడ m అనేది వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశి.

వస్తువు ద్వారా చేరిన గరిష్ట ఎత్తు h అని చెప్పండి

వస్తువు గరిష్ట ఎత్తుకు చేరుకున్నప్పుడు, దాని వేగం సున్నా అవుతుంది, అందుకే దాని చివరి గతి శక్తి = KE ₂ = 0. ....... (5)

గరిష్ట ఎత్తులో,

వస్తువు యొక్క సంభావ్య శక్తి (PE ₂ ) = $-\frac{GMm}{R+h}$ ....... (6)

శక్తి పరిరక్షణ చట్టం ప్రకారం, వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం శక్తి సంరక్షించబడాలి, అంటే,

KE ₁ + PE ₁ = KE ₂   + PE _{2 ............} (3,4,5 మరియు 6 నుండి)

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}m\frac{2GM}{9R}-\frac{GMm}{R}=0-\frac{GMm}{R+h} \\ or,\frac{1}{9R}-\frac{1}{R}=-\frac{1}{R+h} \\ or,-\frac{8}{9R}=-\frac{1}{R+h} \\ or,8R+8h=9R \\ or,R=8h \\ or,h=\frac{R}{8} \end{gathered}$$

ఈ విధంగా, గరిష్ట ఎత్తు R/8గా ఉంటుంది.