पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरून मुक्ती वेगाच्या एक तृतीयांश वेगाने प्रक्षेपित केलेल्या वस्तूने प्राप्त केलेली कमाल उंची किती? (पृथ्वीची त्रिज्या = R)

संकल्पना:

• मुक्ती वेग: पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रातून बाहेर पडण्यासाठी आवश्यक असलेल्या किमान वेगाला मुक्तीवेग म्हणतात. हे Ve द्वारे दर्शविले जाते.

पृथ्वीवरील मुक्तीवेग याद्वारे दाखवला जातो:

$V_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=11.2km/s$

पृथ्वीच्या पृष्ठभागाच्या वर असलेल्या एका बिंदूवर गुरुत्वाकर्षण स्थितीज ऊर्जेद्वारे दिली जाते;

गुरुत्वाकर्षण संभाव्य ऊर्जा $\left(PE\right)=-\frac{GMm}{R+h}$

येथे G हा वैश्विक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, M हे पृथ्वीचे वस्तुमान आणि R ही पृथ्वीची त्रिज्या, m हे वस्तूचे वस्तुमान आणि h ही पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील उंची आहे.

गणना:

आपल्याला माहीत आहे की,

मुक्तीवेग = ve = $\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ ........(1)

येथे G हा वैश्विक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक आणि M हे पृथ्वीचे वस्तुमान आहे.

तसेच वस्तूचा वेग दिलेला आहे, v = ve/3 = $\sqrt{\frac{2GM}{9R}}$  .....(2)

वस्तूची प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = KE1 = $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m\frac{2GM}{9R}$.... (3)

वस्तूची प्रारंभिक स्थितीज ऊर्जा = PE1 = $-\frac{GMm}{R}$ ....... (4)

येथे m हे वस्तूचे वस्तुमान आहे.

h ही वस्तूने गाठलेली कमाल उंची मानू

जेव्हा, वस्तू कमाल उंचीवर पोहोचते, तेव्हा तिचा वेग शून्य होतो, त्यामुळे वस्तूची अंतिम गतिज ऊर्जा = KE2 = 0. ....... (5)

कमाल उंचीवर,

वस्तूची स्थितीज ऊर्जा (PE2) = $-\frac{GMm}{R+h}$ .......  (6)

ऊर्जा संवर्धनाच्या नियमानुसार, प्रणालीची एकूण ऊर्जा संरक्षित राहिली पाहिजे, म्हणजेच,

KE1 + PE1 = KE2 + PE2        ............  (3, 4, 5 आणि 6 वरून)

 $$\begin{gathered} \frac{1}{2}m\frac{2GM}{9R}-\frac{GMm}{R}=0-\frac{GMm}{R+h} \\ or,\frac{1}{9R}-\frac{1}{R}=-\frac{1}{R+h} \\ or,-\frac{8}{9R}=-\frac{1}{R+h} \\ or,8R+8h=9R \\ or,R=8h \\ or,h=\frac{R}{8} \end{gathered}$$         

म्हणून, वस्तूने प्राप्त केलेली कमाल उंची R/8 असेल.