k का मान क्या है?

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो n = 6 और p = k प्राचल वाले द्विपद बंटन का अनुसरण करता है।

साथ ही, यह दिया गया है:

\( 9P(X = 4) = P(X = 2) \)

द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन है:

\( P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} \)

P(X = 4) के लिए, हमारे पास है:

\( P(X = 4) = \binom{6}{4} k^4 (1 - k)^2 = 15 k^4 (1 - k)^2 \)

P(X = 2) के लिए, हमारे पास है:

\( P(X = 2) = \binom{6}{2} k^2 (1 - k)^4 = 15 k^2 (1 - k)^4 \)

हमें दिया गया है कि:

\( 9P(X = 4) = P(X = 2) \)

P(X = 4) और P(X = 2) के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:

\( 9 \times 15 k^4 (1 - k)^2 = 15 k^2 (1 - k)^4 \)

15 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को निरस्त करने पर:

\( 9 k^4 (1 - k)^2 = k^2 (1 - k)^4 \)

\( 9 k^2 = (1 - k)^2 \)

\( 9 k^2 = 1 - 2k + k^2 \)

\( 8 k^2 + 2k - 1 = 0 \)

k के लिए हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:

\( k = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \times 8 \times (-1)}}{2 \times 8} \)

\( k = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{16} \)

\( k = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{16} \)

\( k = \frac{-2 \pm 6}{16} \)

इस प्रकार, k के दो संभावित मान हैं:

\( k = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \) या \( k = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} \)

चूँकि k एक प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए यह 0 और 1 के बीच होना चाहिए। इसलिए, मान्य हल है:

\( k = \frac{1}{4} \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।