यदि \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\) है, जिससे f(0) = 0 और f(3) = 15 है। तो k का मान ज्ञात कीजिए।

संकल्पना:

समाकलन अवकलन की प्रतिलोम प्रक्रिया है और इसलिए इसे प्रति-अवकलन कहा जाता है।

अर्थात् यदि g (x) = f’(x) है, तो \(\smallint g\left( x \right)\;dx = \smallint f'\left( x \right)\;dx = f\left( x \right) + C\)

\(\smallint \left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)\;dx = \smallint f\left( x \right)\;dx + \smallint g\left( x \right)\;dx\)

\(\smallint a{x^n}\;dx = a \times \frac{{{x^{n\; + \;1}}}}{{n + 1}} + C\)

गणना:

दिया गया है: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1\), जिससे f(0) = 0 और f(3) = 15 है।

अब, f’(x) का समाकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint f'\left( x \right)\;dx = \smallint \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - kx + 1} \right)\;dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \smallint \frac{{{x^2}}}{2}\;dx - k\smallint x\;dx + \;\smallint dx\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x + C\)

चूँकि यह दिया गया है कि, f(0) = 0 और f(3) = 15.

\(\Rightarrow f\left( 0 \right) = C = 0\)

\(\Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{6} - k \times \frac{{{x^2}}}{2} + x\)

\(\Rightarrow f\left( 3 \right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{2}\;k + 3 = 15\)