If α ∈ (0, π/2), then minimum value of $2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$ is

अवधारणा:

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य, हरात्मक माध्य के सूत्र:

यदि A संख्या a और b का समांतर माध्य है 

⇔ $\mathrm{A}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}$

यदि G संख्या a और b का ज्यामितीय माध्य है 

⇔ $\mathrm{G}=\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{b}}$

समांतर माध्य (AM) और ज्यामितीय माध्य (GM) के बीच संबंध

AM  ≥ GM

गणना:

Given that,

$2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$

Let a = 2x, b = $\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$

We know that,

AM  ≥  GM

$\frac{2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}}{2}\ge \sqrt{2x\times \frac{ta{n}^2\alpha }{2x}}$

⇒ $2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$ ≥ 2 tan α 

⇒  $2x+\frac{ta{n}^2\alpha }{2x}$ ∈ [2 tan α, ∞)

Hence, the minimum value is 2 tan α​.