बल 3î + 2ĵ + 5k̂ और 2î + ĵ - 3k̂ एक कण पर कार्य कर रहे हैं और इसे बिंदु 2î - ĵ - 3k̂ से बिंदु 4î - 3ĵ + 7k̂ तक विस्थापित कर रहे हैं। बल द्वारा किया गया कार्य क्या है?

Question

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This question was previously asked in

NIMCET 2013 Official Paper

Answer 1

संकल्पना:

यदि दो बिंदु A और B के क्रमशः स्थिति सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) हैं तो सदिश \(\rm \vec {AB}=\vec B-\vec A\)।

एक दूसरे से कोण θ पर दो सदिश \(\rm \vec A\) और \(\rm \vec B\) लिए:
- बिंदु गुणनफल को इस रूप में परिभाषित किया गया है: \(\rm \vec A.\vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta\) ।
- परिणामी सदिश \(\rm \vec A + \vec B\) के समान है।

कार्य: सदिश \(\rm \vec D\) के अनुदिश किसी वस्तु को ले जाने (विस्थापित करने) में बल (\(\rm \vec F\)) द्वारा किए गए कार्य (W) को इसके द्वारा दिया जाता है: W = \(\rm \vec F.\vec D=|\vec F||\vec D|\cos \theta\) ।

गणना:

मान लीजिए कि कण पर कार्य करने वाले बल \(\rm \vec F_1\) = 3î + 2ĵ + 5k̂ और \(\rm \vec F_2\) = 2î + ĵ - 3k̂ हैं।

∴ कण पर कार्य करने वाला परिणामी बल \(\rm \vec F=\vec F_1+\vec F_2\) होगा।

⇒ \(\rm \vec F\) = (3î + 2ĵ + 5k̂) + (2î + ĵ - 3k̂)

⇒ \(\rm \vec F\) = 5î + 3ĵ + 2k̂

चूंकि कण बिंदु 2î - ĵ - 3k̂ से बिंदु 4î - 3ĵ + 7k̂ तक स्थानांतरित किया जाता है विस्थापन सदिश \(\rm \vec D\) होगा:

\(\rm \vec D\) = (4î - 3ĵ + 7k̂) - (2î - ĵ - 3k̂)

⇒ \(\rm \vec D\) = 2î - 2ĵ + 10k̂।

और अंत में, किया गया कार्य W होगा:

W = \(\rm \vec F.\vec D\) = (5î + 3ĵ + 2k̂).(2î - 2ĵ + 10k̂)

⇒ W = (5)(2) + (3)(-2) + (2)(10)

⇒ W = 10 - 6 + 20 = 24 इकाइयाँ ।