कुछ धनात्मक और भिन्न वास्तविक संख्याओं x, y और z के लिए, यदि $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{y}}+\sqrt{\mathrm{z}}}$, $\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{z}}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{y}}}$ का समांतर माध्य है, तो हमेशा सत्य रहने वाला संबंध है:

सबसे पहला कदम जो हम यहां करना चाहेंगे वह है हर में से मूल पद को हटाना, इसलिए अंश और हर दोनों को गुणा करने पर

अब दिए गए प्रश्न के अनुसार बनने वाला समीकरण होगा:

$\frac{1}{\surd \mathrm{x}+\surd \mathrm{z}}+\frac{1}{\surd \mathrm{x}+\surd \mathrm{y}}=\frac{2}{\surd \mathrm{y}+\surd \mathrm{z}}$

अब हर को गुणनखंडित करने पर

⇒ $\frac{\surd \mathrm{x}-\surd \mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{z}}+\frac{\surd \mathrm{x}-\surd \mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{2(\surd \mathrm{y}-\surd \mathrm{z})}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}$

अब विकल्पों पर चलते हैं और हम d को AP का सार्व अंतर मान रहे हैं

यदि x, y, z,  AP (समांतर श्रेणी) में है। तब, x - z = 2d, x - y = d, y - z = d

इसे हमारे समीकरण में रखने पर हमें 3$\sqrt{x}$ + 3$\sqrt{z}$ = 6$\sqrt{y}$ मिलता है जिसके बारे में हम नहीं जानते हैं।

यदि y, x, z, AP (समांतर श्रेणी) में है। तब, x - z = d, x - y = -d, y - z = 2d

तो $\frac{\surd \mathrm{x}-\surd \mathrm{z}}{\mathrm{d}}+\frac{\surd \mathrm{x}-\surd \mathrm{y}}{-\mathrm{d}}=\frac{2(\surd \mathrm{y}-\surd \mathrm{z})}{2\mathrm{d}}$

⇒ (√x - √z) - (√x - √y) = (√y - √z)

इसलिए, y , x, z, AP (समांतर श्रेणी) में है।