x = 0 से x = a तक फैले एक बॉक्स के अंदर एक कण के लिए, विभव x पर अधिकतम होता है।

सही विकल्प-3

अवधारणा:

बॉक्स में एक कण की समस्या श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुप्रयोगों में से एक है जो एक क्वांटम यांत्रिक मॉडल के लिए एक सरलीकृत प्रणाली है जिसमें एक कण क्षैतिज रूप से एक अनंत गहरे कुएं के भीतर चल रहा है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

इस समस्या के लिए श्रोडिंगर तरंग समीकरण के हल संभावित मान देते हैं जो अनुमत ऊर्जा E और तरंग फलन ψ हैं जो कण के पास हो सकते हैं।

• एक आयामी बॉक्स में एक कण की समस्याओं को हल करने के लिए हमें कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग फलन के लिए कुछ सीमा होनी चाहिए।
• $\psi (0)=\psi (a)=0$ अर्थात बॉक्स के बाहर कण को खोजने की कोई संभावना नहीं है।
• हम बॉक्स के अंदर कण के लिए अनुमत तरंग फलन और ऊर्जा मानों को खोजने के लिए दिए गए \(0 के लिए श्रोडिंगर समय-स्वतंत्र तरंग समीकरण को हल करते हैं।
• प्राप्त अनुमत ऊर्जा मान असतत है और इसे इस प्रकार लिखा गया है:

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ जहां n एक पूर्णांक है; n = 1,2,3..

• संबंधित अनुमत तरंग फलन इस प्रकार दिया गया है-

${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi x}{a}$

अनुमत तरंग फलन ψ जो वर्ग होने पर हमें बॉक्स के भीतर एक निश्चित स्थिति पर एक दिए गए ऊर्जा स्तर पर कण को खोजने की संभावना देता है।

व्याख्या:

1-आयामी बॉक्स में एक कण एक मौलिक क्वांटम यांत्रिक सन्निकर्षण के अलावा कुछ नहीं है जो एकल कण के अनुवादक गति का वर्णन करता है जो एक अनंत गहरे कुएं के अंदर सीमित है, जिससे वह बच नहीं सकता है।

1-आयामी में दीवारों की सीमाओं पर अर्थात x = 0 और x = a पर, दो बिल्कुल कठोर, अभेद्य अनंत ऊँचाई की क्षमता हैं।

इसका अर्थ है

$V=\mathrm{\infty }$ for $x\le 0$ & $x\ge a$

$V=0$ for \(0

जहां V दीवार की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है

इसलिए, हम कह सकते हैं कि विभव x = 0 और x = a पर अधिकतम है।

इसलिए, विकल्प-3 सही उत्तर है।