रेखाओं $\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{-1}=\frac{z-4}{1}and\frac{x}{-3}=\frac{y+9}{2}=\frac{z-2}{4}$ के बीच की सबसे छोटी दूरी ज्ञात कीजिए। 

संकल्पना:

विषमतलीय रेखा $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}and\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न द्वारा दी गयी है:

$SD=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|}{\sqrt{\left\{{\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)}^2+{\left(b_1{c}_2-b_2{c}_1\right)}^2+{\left(c_1{a}_2-c_2{a}_1\right)}^2\right\}}}$

गणना:

दिया गया है: रेखाओं के समीकरण $\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{-1}=\frac{z-4}{1}and\frac{x}{-3}=\frac{y+9}{2}=\frac{z-2}{4}$ हैं। 

दिए गए समीकरण की तुलना $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}and\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$के साथ करने पर हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ x1 = 6, y1 = 7, z1 = 4, a1 = 3, b1 = -1 और c1 = 1

उसीप्रकार, x2 = 0, y2 = - 9, z2 = 2, a2 = -3, b2 = 2 और c2 = 4

इसलिए, $\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-6& -16& -2\\ 3& -1& 1\\ -3& 2& 4\end{array}\right|$

चूँकि हम जानते हैं कि दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी निम्न दी द्वारा गयी है:$SD=\frac{\left|\begin{array}{ccc}{x}_2-x_1& y_2-y_1& z_2-z_1\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|}{\sqrt{\left\{{\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)}^2+{\left(b_1{c}_2-b_2{c}_1\right)}^2+{\left(c_1{a}_2-c_2{a}_1\right)}^2\right\}}}$

$SD=3\sqrt{30}units$

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।