दीर्घवृत्त 4x2 + 9y2 + 16x + 18y – 11 = 0 का फोकस ज्ञात कीजिए। 

संकल्पना:

एक क्षैतिज दीर्घवृत्त का गुण \(\frac{{{(x - h)^2}}}{a^2} + \frac{{{(y - k)^2}}}{b^2} = 1\)  है जहाँ 0 < b < a निम्न रूप में हैं:

• दीर्घवृत्त का केंद्र (h, k) है। 
• दीर्घवृत्त के शीर्ष: (h - a, k) और (h + a, k) हैं। 
• दीर्घवृत्त का फोकस: (h - ae, k) और (h + ae, k) हैं। 
• दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(e = \frac{{\sqrt {{{a^2} - {b^2}} }}}{a}\) 

गणना:

दिया गया है: दीर्घवृत्त का समीकरण 4x2 + 9y2 + 16x + 18y – 11 = 0 है। 

दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण को \(\frac{{{(x + 2)^2}}}{9} + \frac{{{(y + 1)^2}}}{4} = 1\)--------(1) के रूप में पुनःलिखा जा सकता है: 

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिया गया दीर्घवृत्त एक क्षैतिज दीर्घवृत्त है। 

इसलिए, \(\frac{{{(x - h)^2}}}{a^2} + \frac{{{(y - k)^2}}}{b^2} = 1\) के संबंध में समीकरण (1) की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है,

⇒ h = - 2, k = - 1, a = 3 और b = 2

चूँकि हम जानते हैं कि, एक दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता को \(e = \frac{{\sqrt {{{a^2} - {b^2}} }}}{a}\)द्वारा ज्ञात किया गया है। 

⇒ \(e = \frac{{\sqrt {{{3^2} - {2^2}} }}}{3} = \frac{\sqrt 5}{3}\)

इसलिए, a ⋅ e = √5

चूँकि हम जानते हैं कि, एक क्षैतिज दीर्घवृत्त का फोकस निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: (h ± a, k)

इसलिए, दिए गए दीर्घवृत्त का आवश्यक फोकस: (- 2 ± √5, - 1) है। 

अतः विकल्प B सही उत्तर है।