एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की लंबाई 2a है और उसकी ऊँचाई h है। त्रिभुज की प्रत्येक भुजा पर त्रिभुज के बाहरी ओर एक वर्ग खींचा जाता है। इस प्रकार बनी आकृति का क्षेत्रफल क्या है?

दिया गया है:

एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार की लंबाई 2a है और उसकी ऊँचाई h है।

प्रयुक्त सूत्र:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा²

गणना:

आकृति के अनुसार,

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × b × h 

⇒ 1/2 × 2a × h  (आधार = 2a)     .....(1)

पुनः, आकृति के अनुसार,

पाइथागोरस  प्रमेय के अनुसार,

⇒ AC = √DC² + AD² 

⇒ AC = √a² + h²

अब, AB और AC पर खींचे गए वर्ग का क्षेत्रफल:

भुजा² = (√a² + h²)² = (a² + h²)

अब, दोनों भुजाएँ बराबर होंगी, इसलिए

क्षेत्रफल = 2(a² + h²)     .....(2)

पुनः, आकृति के अनुसार,

BC पर खींचे गए वर्ग का क्षेत्रफल (2a)² है।

वर्ग का क्षेत्रफल = (2a)² = (4a²)    .....(3)

उपरोक्त समीकरण (1), (2) और (3) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

आकृति का क्षेत्रफल:

(1/2 × 2a × h) + 2(a² + h²) + (4a²)

⇒ ah + 2a² + 2h² + 4a²

⇒(2a² +4a²) + 2h² + ah

⇒ 6a² + 2h² + ah

∴ आकृति का क्षेत्रफल 6a2 + 2h2 + ah है।