लंबाई L और द्रव्यमान M की एक पतली एकसमान छड़ ऊर्ध्वाधर तल में घूर्णन के लिए स्वतंत्र है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। ऊर्ध्वाधर तल में इसके दोलन का आवर्तकाल है:

Question

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This question was previously asked in

UPPSC AE Mechanical 2019 Official Paper I (Held on 13 Dec 2020)

Answer 1

व्याख्या:

मान लीजिए कि छड़ को प्रति-घड़ी की दिशा में कोण θ से विस्थापित किया जाता है। प्रतिक्रियाशील बलयुग्म दक्षिणावर्त दिशा में कार्य करता है।

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बिंदु O के परितः आघूर्ण लेने पर;

\(I\ddot\theta+Mg\left(\frac{l}{2}\right)\theta=0\)

जहाँ I दोलन बिंदु के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण है, M छड़ का द्रव्यमान है, L छड़ की लंबाई है।

बिंदु O के परितः छड़ का जड़त्व आघूर्ण (I) \(\frac{Ml^2}{3}\) है

\(\frac{Ml^2}{3}\ddot\theta+Mg\left(\frac{l}{2}\right)\theta=0\)

\(\frac{l}{3}\ddot\theta+\left(\frac{g}{2}\right)\theta=0\)

\(\ddot\theta+\left(\frac{3g}{2l}\right)\theta=0\)

इस समीकरण की \(\ddot \theta +ω^2 \theta=0\) से तुलना करने पर

\(\omega = \sqrt {\frac{{3g}}{{2l}}} \)

आवर्तकाल T दिया गया है

\(T = \frac{{2\pi }}{w}\)

ω और θ का मान रखने पर

\(T = 2\;\pi \sqrt {\frac{2l}{3g}} \)

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