যদি 21 থেকে 199 পর্যন্ত সমস্ত জোড় সংখ্যার যোগফল n গড়বিশিষ্ট 11টি পর্যবেক্ষণের সাথে যোগ করা হয়, তাহলে নতুন সংখ্যাগোষ্ঠীর গড় মান 99 হবে। n-এর মান নির্ণয় করুন?

প্রদত্ত:

21 থেকে 199 পর্যন্ত সমস্ত জোড় সংখ্যার যোগফল 11টি পর্যবেক্ষণে যোগ করা হয় যার গড় মান n

নতুন সংখ্যাগোষ্ঠীর গড় = 99

অনুসৃত সূত্র:

(1) সমান্তর শ্রেণী-তে n সংখ্যার যোগফল

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

যেখানে, 

a, হল প্রথম পদের মান

l, হল শেষ পদের মান

n, হল পদসংখ্যা

S, হল সমান্তর শ্রেণী-তে n সংখ্যার যোগফল

(2) সমান্তর শ্রেণী-তে শেষ পদের মান

l = a + (n - 1)d

যেখানে, 

a, হল প্রথম পদের মান

d, হল দুটি পদের মধ্যে সাধারণ পার্থক্য

n, হল পদসংখ্যা

l, হল শেষ পদের মান

গণনা:

ধরি n হল 21 থেকে 199 এর মধ্যে জোড় পদের সংখ্যা।

প্রথম জোড় সংখ্যার মান (21 থেকে 199 এর মধ্যে), a = 22

শেষ জোড় সংখ্যার মান (21 থেকে 199 এর মধ্যে), l = 198

দুটি জোড় সংখ্যার মধ্যে সাধারণ পার্থক্যের মান, d = 2

এখন,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

এখন,

ধরি S হল 21 থেকে 199 এর মধ্যে সমস্ত জোড় সংখ্যার যোগফল।

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

এখন, 

11টি পর্যবেক্ষণের গড় = n

সমস্ত 11টি পর্যবেক্ষণের যোগফল = 11n

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ নির্ণেয় উত্তর হল 10

Additional Informationপ্রথম এবং শেষ পদটি জানা থাকলে সংখ্যাগুলির গড় বের করার জন্য সূত্র ব্যবহার করা হয়।

A = \(\frac{a+l}{2}\)

যেখানে, 

a, হল সমান্তর শ্রেণীর প্রথম পদ

l, হল সমান্তর শ্রেণীর শেষ পদ

A হল a থেকে l পর্যন্ত সমান্তর শ্রেণীর গড়।

দ্রষ্টব্য: উপরের সূত্রটি শুধুমাত্র সমান্তর শ্রেণীর জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে।

যদি ধারাবাহিক পদগুলির একটি অ-শূন্য ধ্রুবক হিসাবে একটি সাধারণ পার্থক্য থাকে, তবে সেই ক্রমটিকে একটি সমান্তর ক্রম বলা যেতে পারে।