Set Theory and types of Sets MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Set Theory and types of Sets - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

దశ 1: A లోని మూలకాలను కనుగొనండి

భావన :

• రోస్టర్ రూపం: ఈ పద్ధతిలో, జంట కలుపుల లోపల కామాలతో వేరు చేయబడిన మూలకాలను వ్రాయడం ద్వారా సమితి వివరించబడుతుంది{}
• సమితి-నిర్మాణ రూపం: ఈ పద్ధతిలో, సమితులను నిర్వచించే జంట కలుపులలో ఒక నియమం వ్రాయబడుతుంది.

గణన:

ఇవ్వబడింది: $A=\left\{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5}\right\}$

ఇక్కడ, మనం సమితి A యొక్క సమితి-నిర్మాణ రూపాన్ని కనుగొనాలి.

మనం చూడగలిగినట్లుగా, సమితి A యొక్క అన్ని మూలకాలను దీని ద్వారా సూచించవచ్చు: $\frac{n}{n+1}$ అంటే n అనేది సహజ సంఖ్య మరియు 1 ≤ n ≤ 4

సమితి-నిర్మాణ రూపంలో అన్ని మూలకాలు ఒకే ఉమ్మడి ఆస్తిని కలిగి ఉన్నాయని కూడా మనకు తెలుసు.

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమితికి సంబంధించిన సమితి-నిర్మాణ రూపం $A=\left\{x:x=\frac{n}{n+1}and1\le n\in N\le 4\right\}$

ఉపయోగించిన భావన:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

లెక్కింపు:
n(M) అనేది గణితాన్ని బోధించగల ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య మరియు n(P) భౌతిక శాస్త్రాన్ని బోధించే ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య.
ఇవ్వబడింది: n(M ∪ P) = 20, n(M ∩ P) = 4, n(M) = 12
భౌతిక శాస్త్రాన్ని మాత్రమే బోధించగల ఉపాధ్యాయుల సంఖ్యను మనం లెక్కించాలి అంటే, n(P) - n(P ∩ M)
ఇప్పుడు, n(P ∪ M) = n(P) + n(M) - n(P ∩ M)
⇒ 20 = n(P) + 12 - 4
⇒ n(P) = 20 - 8 = 12
⇒ n(P) - n(P∩M) = 12 - 4 = 8

అందువల్ల, భౌతికశాస్త్రం మాత్రమే బోధించగల ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య 8.

ఇవ్వబడింది:

హిందీ తరగతి విద్యార్థులు = 17, ఇంగ్లీష్ తరగతి విద్యార్థులు = 30.

రెండు తరగతులు వేరువేరు సమయాల్లో జరుగుతాయి మరియు 8 మంది విద్యార్థులు రెండు కోర్సులలోనూ చేరారు.

గణనలు:

17 + 30 - 8

= 47 - 8

= 39

∴ సమాధానం 39.

ఇచ్చిన:

చరిత్ర విద్యార్థులు = 20, భౌగోళిక విద్యార్థులు = 80.

రెండు తరగతులు వేర్వేరు గంటలలో కలుస్తాయి మరియు రెండు కోర్సుల్లో 10 మంది విద్యార్థులు నమోదు చేయబడ్డారు.

లెక్కలు:

20 + 80 - 10

= 100 - 10

= 90

∴ సమాధానం 90.

భావన:

A మరియు B లను రెండు సమితులుగాఉండనివ్వండి, A అనేది B యొక్క ఉపసమితి మరియు A అనేది Bకి సమానం కానప్పుడు, A అనేది B యొక్క సరైన ఉపసమితి అని చెప్పబడుతుంది.  అయితే ఇది A ⊂ Bగా సూచించబడుతుంది.

గణన:

ఇవ్వబడింది: A = {1, 3, 4} మరియు B = {x : x ∈ R మరియు x² - 7x + 12 = 0}

ముందుగా సమితి B యొక్క రోస్టర్ రూపాన్ని కనుగొనండి

అలా చేయడానికి మనం x² - 7x + 12 = 0 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనాలి.

⇒ x² - 3x - 4x + 12 = 0

⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) = 0

⇒ (x - 4) × (x - 3) = 0

⇒ x = 3, 4

⇒ B = {3, 4}

మనం స్పష్టంగా చూడగలిగినట్లుగా, B యొక్క అన్ని మూలకాలు సమితి A లో ఉన్నాయి కానీ A ≠ B అంటే B ⊂ A

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 3.

భావన :

పరిచ్చేదన:

A మరియు B రెండు సమితులు అనుకొనుము. A మరియు B యొక్క పరిచ్చేదన అనేది A మరియు B రెండు సెట్లలో ఉన్న అన్ని మూలకాల సమితి.

A మరియు B యొక్క పరిచ్చేదన A ∩ B అంటే A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B} ద్వారా సూచించబడుతుంది

గమనిక : A అనేది n(A) = m అయ్యేట్లుగా శూన్య సమితి కాకపోతే, A యొక్క సరైన ఉపసమితుల సంఖ్యలు 2 m - 1 ద్వారా ఇవ్వబడతాయి.

గణన:

ఇవ్వబడింది: A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} మరియు B = {2, 4, 6, 7, 9}

 A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}

⇒ A ∩ B = {2, 4, 7, 9}

A ∩ Bలో ఉన్న మూలకాల సంఖ్య = 4

అనగా n(A ∩ B) = 4

A అనేది n(A) = m అయ్యేట్లుగా శూన్య సమితి కాకపోతే, 

A యొక్క సరైన ఉపసమితుల సంఖ్యలు 2 m - 1 ద్వారా ఇవ్వబడ్డాయి.

కాబట్టి, A ∩ B యొక్క సరైన ఉపసమితుల సంఖ్య = 2 ⁴ - 1 = 15 

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 2

భావన:

• పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉన్న సమితిని పరిమిత సమితి అంటారు.
• అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉన్న సమితిని అపరిమిత సమితి అంటారు
• మూలకం లేని సమితిని శూన్య సమితి అంటారు.

గణన:

ఇవ్వబడింది: B = {x : x ∈ N అయ్యే విధంగా x2  + 11x + 30 = 0}

ముందుగా x2  + 11x + 30 = 0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం

⇒ x2  + 5x + 6x + 30 = 0

⇒ x(x + 5) + 6(x + 5) = 0

⇒ (x + 6) (x + 5) = 0

⇒ x = - 5 లేదా - 6

ఇచ్చిన సమితి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం x సహజ సంఖ్య. కానీ 

x = - 5 లేదా x = - 6 సహజ సంఖ్య కాదని మనకు తెలుసు

కాబట్టి, ఇచ్చిన సమితి శూన్య సమితి అంటే B = ϕ

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 1.

భావన:

ఘాత సమితి:

A ని సమితిగా ఉండనివ్వండి, ఆపై A యొక్క అన్ని ఉపసమితుల సమితిని A యొక్క ఘాత సమితి అంటారు మరియు ఇది P(A)తో సూచించబడుతుంది.

గమనిక: A అనేది m మూలకాలతో కూడిన పరిమిత సమితి అయితే. అప్పుడు A యొక్క ఘాత సమితి యొక్క మూలకాల సంఖ్య (కార్డినాలిటీ) n (P(A)) = 2m.

గణన:

ఇవ్వబడినది: A అనేది ఖాళీ కాని సమితి అంటే A యొక్క ఘాత సమితి P(A) = {ϕ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, { 1, 3}, {1, 2, 3}}

ఇక్కడ, మనం A సమితిని కనుగొనాలి

మనకు తెలిసినట్లుగా, A సమితి అయితే, A యొక్క ఘాత సమితి P(A) = {X : X ⊆ A} ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

కాబట్టి, A యొక్క ఘాత సమితి నిర్వచనం నుండి A = {1, 2, 3} అని మనం స్పష్టంగా చూడవచ్చు.

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 3.

ఉపయోగించిన భావన:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

లెక్కింపు:
n(M) అనేది గణితాన్ని బోధించగల ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య మరియు n(P) భౌతిక శాస్త్రాన్ని బోధించే ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య.
ఇవ్వబడింది: n(M ∪ P) = 20, n(M ∩ P) = 4, n(M) = 12
భౌతిక శాస్త్రాన్ని మాత్రమే బోధించగల ఉపాధ్యాయుల సంఖ్యను మనం లెక్కించాలి అంటే, n(P) - n(P ∩ M)
ఇప్పుడు, n(P ∪ M) = n(P) + n(M) - n(P ∩ M)
⇒ 20 = n(P) + 12 - 4
⇒ n(P) = 20 - 8 = 12
⇒ n(P) - n(P∩M) = 12 - 4 = 8

అందువల్ల, భౌతికశాస్త్రం మాత్రమే బోధించగల ఉపాధ్యాయుల సంఖ్య 8.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

If A = {1, 2, 3, 4},

B = {1, 3, 5, 8}

C = {3, 4, 5}

సాధన:

B ∩ C = {3, 5}

⇒  A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5}

ఇచ్చినది:

గణితం, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం అనే మూడు సబ్జెక్టులలో 105 మంది విద్యార్థులతో కూడిన తరగతిలో ప్రతి విద్యార్థి కనీసం ఒక సబ్జెక్టు చదువుతారు. గణితంలో 47, భౌతిక శాస్త్రంలో 50, మరియు రసాయన శాస్త్రంలో 52 మంది విద్యార్థులు, గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో 16 మంది, గణితం మరియు రసాయన శాస్త్రంలో 17 మంది, భౌతిక శాస్త్రం మరియు రసాయన శాస్త్రంలో 16 మంది విద్యార్థులు రెండు సబ్జెక్టులను చదువుతున్నారు.

గణనలు:

మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య M ⋃ P ⋃ C = 105

గణితం మాత్రమే చదివే విద్యార్థులు సంఖ్య  M = 47 

భౌతిక శాస్త్రం మాత్రమే చదివే విద్యార్థులు సంఖ్య P = 50

రసాయన శాస్త్రం మాత్రమే చదివే విద్యార్థులు సంఖ్య C = 52

గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రం చదివే విద్యార్థులు సంఖ్య M ⋂ P = 16

గణితం మరియు రసాయన శాస్త్రం చదివే విద్యార్థులు సంఖ్య M ⋂ C = 17

భౌతిక శాస్త్రం మరియు రసాయన శాస్త్రం చదివే విద్యార్థులు సంఖ్య P ⋂ C = 16

మనకు తెలిసినట్లుగా, M ⋃ P ⋃ C = M + P + C – ( M ⋂ P) – (M ⋂ C) – (C ⋂ P) + (M ⋂ P ⋂ C)

105 = 47 + 50 + 52 – 16 – 17 – 16 + (M ⋂ P ⋂ C)

(M ⋂ P ⋂ C) = 105 – 100

(M ⋂ P ⋂ C) = 5

గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రం మాత్రమే చదువుతున్న విద్యార్థులు = (M ⋂ P) - (M ⋂ P ⋂ C) = 16 - 5 = 11

గణితం మరియు రసాయన శాస్త్రం మాత్రమే చదువుతున్న విద్యార్థులు = (M ⋂ C) - (M ⋂ P ⋂ C) = 17 - 5 = 12

రసాయన శాస్త్రం మరియు భౌతిక శాస్త్రం మాత్రమే చదువుతున్న విద్యార్థులు = (C ⋂ P) - (M ⋂ P ⋂ C) = 16 - 5 = 11

రెండు సబ్జెక్టులు నేర్చుకుంటున్న మొత్తం విద్యార్థులు సంఖ్య = 11 + 12 + 11 = 34

∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 4.

భావన :

A అనేది ఖాళీ కాని సమితి అయితే మరియు A m మూలకాలను కలిగి ఉంటే, A యొక్క లెక్కింపు n(A) = m ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

గణన :

ఇవ్వబడింది: A = {x : x ∈ N మరియు x ≤ 5} మరియు B = {y : y ∈ R మరియు y2 + y - 2 = 0}

A సమితిని A = {1, 2, 3, 4, 5} అని తిరిగి వ్రాయవచ్చు

మనకు తెలిసినట్లుగా, A అనేది ఖాళీ కాని సమితి అయితే మరియు A m మూలకాలను కలిగి ఉంటే, A యొక్క లెక్కింపు n(A) = m ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది

⇒ n(A) = 5

అదేవిధంగా, B = {y : y ∈ R మరియు y2 + y - 2 = 0}

ముందుగా y2 + y - 2 = 0 అనే వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం

⇒ y² + 2y - y - 2 = 0

⇒ y(y + 2) - 1(y + 2) = 0

⇒ (y - 1) (y + 2) = 0

⇒ y = 1, - 2 ∈ R

⇒ B = {- 1, 2}

⇒ n(B) = 2

కాబట్టి, n(A) > n(B)

కాబట్టి, ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

ఇవ్వబడింది:

గణితం, భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం అనే మూడు సబ్జెక్టులలో 105 మంది విద్యార్థులతో కూడిన తరగతిలో ప్రతి విద్యార్థి కనీసం ఒక సబ్జెక్టు చదువుతారు. మ్యాథ్స్‌లో 47, ఫిజిక్స్‌లో 50, మరియు రసాయన శాస్త్రంలో 52 మంది విద్యార్థులు, గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో 16 మంది, గణితం మరియు రసాయన శాస్త్రం రెండింటిలో 17 మంది, భౌతిక శాస్త్రం మరియు రసాయన శాస్త్రం రెండింటిలో 16 మంది విద్యార్థులు చదువుతున్నారు.

గణనలు:

అన్ని సబ్జెక్టులలోని మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య (M ⋃ P ⋃ C) = 105

గణిత విద్యార్థులు M = 47

భౌతిక శాస్త్రం విద్యార్థులు P = 50

రసాయన శాస్త్రం విద్యార్థులు C = 52

గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో విద్యార్థులు (M ⋂ P) = 16

గణితం మరియు రసాయన శాస్త్ర విద్యార్థులు (M ⋂ C) = 17

భౌతిక శాస్త్రం మరియు రసాయన శాస్త్రం విద్యార్థులు (P ⋂ C) = 16

మనకు తెలిసినట్లుగా,

M ⋃ P ⋃ C = M + P + C – (M ⋂ P) – (M ⋂ C) – (C ⋂ P) + (M ⋂ P ⋂ C)

⇒ 105 = 47 + 50 + 52 – 16 – 17 – 16 + (M ⋂ P ⋂ C)

⇒ (M ⋂ P ⋂ C) = 105 – 100

⇒ (M ⋂ P ⋂ C) = 5

అన్ని సబ్జెక్టులు చదివే విద్యార్థులు 5.

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 1 అవుతుంది.

ఇవ్వబడింది:

A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {3, 4, 5 ,6}

భావన:

A మరియు B రెండు సమితులు అయితే A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}
గణన:

మన దగ్గర ఉంది,

A = {1, 2, 3, 4} మరియు B = {3, 4, 5 ,6}

మనకు తెలిసినట్లుగా, A మరియు B రెండు సమితిలు అయితే A ∩ B = {x : x ∈ A మరియు x ∈ B}

⇒ A ∩ B = {3, 4}

మనకు తెలిసినట్లుగా, పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉన్న ఏదైనా సమితి పరిమిత సమితిగా చెప్పబడుతుంది.

A ∩ B పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలను కలిగి ఉందని మనం చూడవచ్చు

అంటే A ∩ B అనేది పరిమిత సమితి.

కాబట్టి, ఎంపిక 1 సరైనది.