Scalar and Vector Product MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Scalar and Vector Product - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

భావన:

రెండు నాభిశ్రుతిలు క్రాస్/నాభిశ్రుతి లబ్ధం ఇలా నిర్వచించబడింది:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\mathrm{A}\right|\times \left|\mathrm{B}\right|\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \times ̂\mathrm{n}$

ఇక్కడ θ అనేది $⃗\mathrm{A}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}⃗\mathrm{B}$ మధ్య కోణం.

ఇక్కడ $̂\mathrm{n}$ అనేది యూనిట్ నాభిశ్రుతి 

$\overrightarrow{\mathrm{A}}={\mathrm{a}}_1̂\mathrm{i}+{\mathrm{a}}_2̂\mathrm{j}+{\mathrm{a}}_3̂\mathrm{k}$ మరియు $\overrightarrow{\mathrm{B}}={\mathrm{b}}_1̂\mathrm{i}+{\mathrm{b}}_2̂\mathrm{j}+{\mathrm{b}}_3̂\mathrm{k}$ అయితే, వాటి క్రాస్ ఉత్పత్తి:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\begin{array}{ccc}̂\mathrm{i}& ̂\mathrm{j}& ̂\mathrm{k}\\ {\mathrm{a}}_1& {\mathrm{a}}_2& {\mathrm{a}}_3\\ {\mathrm{b}}_1& {\mathrm{b}}_2& {\mathrm{b}}_3\end{array}\right|$ .

లెక్కింపు:

వీలు,

$\overrightarrow{a}=(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})$

$\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})$

$\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left|\begin{array}{ccc}̂\mathrm{i}& ̂\mathrm{j}& ̂\mathrm{k}\\ 3& 4& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right|$

= î(4 + 0) - ĵ (3 - 0) + k̂(- 3 - 4)

⇒ $(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})\times (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}$

ఇప్పుడు,

$|4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}|=\sqrt{4^2+3^2+7^2}$

⇒ $|4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}|=\sqrt{74}$

$\Rightarrow \sqrt{74}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$

$\Rightarrow \sqrt{74}=5\sqrt{3}\sin \theta$

అందువలన,

$\sin \theta =\frac{\sqrt{74}}{5\sqrt{3}}$

పద్ధతి:

 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{\mathrm{b}}$  దిశ = ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}})$

సాధన:

ఇచ్చిన కోణం $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{i}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ మరియు ప్రొజెక్షన్​ $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$యొక్క దిశ -2

సమాచారం ప్రకారం, 

 $\overrightarrow{a}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{\mathrm{b}}$= ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}})$ యొక్క దిశ

⇒ - 2 = ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$

⇒ - 2 = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

⇒ - 2 = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|({\displaystyle \frac{-1}{2}})$

⇒  $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=4$

కావునn $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{i}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ మధ్యకోణం $\overrightarrow{a}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{b}$ దిశ -2, అయిన $|\overrightarrow{a}|=$ 4

పద్ధతి:

 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{\mathrm{b}}$  దిశ = ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}})$

సాధన:

ఇచ్చిన కోణం $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{i}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ మరియు ప్రొజెక్షన్​ $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$యొక్క దిశ -2

సమాచారం ప్రకారం, 

 $\overrightarrow{a}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{\mathrm{b}}$= ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}})$ యొక్క దిశ

⇒ - 2 = ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$

⇒ - 2 = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

⇒ - 2 = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|({\displaystyle \frac{-1}{2}})$

⇒  $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=4$

కావునn $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{i}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ మధ్యకోణం $\overrightarrow{a}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{b}$ దిశ -2, అయిన $|\overrightarrow{a}|=$ 4

భావన:

రెండు నాభిశ్రుతిలు క్రాస్/నాభిశ్రుతి లబ్ధం ఇలా నిర్వచించబడింది:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\mathrm{A}\right|\times \left|\mathrm{B}\right|\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \times ̂\mathrm{n}$

ఇక్కడ θ అనేది $⃗\mathrm{A}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}⃗\mathrm{B}$ మధ్య కోణం.

ఇక్కడ $̂\mathrm{n}$ అనేది యూనిట్ నాభిశ్రుతి 

$\overrightarrow{\mathrm{A}}={\mathrm{a}}_1̂\mathrm{i}+{\mathrm{a}}_2̂\mathrm{j}+{\mathrm{a}}_3̂\mathrm{k}$ మరియు $\overrightarrow{\mathrm{B}}={\mathrm{b}}_1̂\mathrm{i}+{\mathrm{b}}_2̂\mathrm{j}+{\mathrm{b}}_3̂\mathrm{k}$ అయితే, వాటి క్రాస్ ఉత్పత్తి:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\begin{array}{ccc}̂\mathrm{i}& ̂\mathrm{j}& ̂\mathrm{k}\\ {\mathrm{a}}_1& {\mathrm{a}}_2& {\mathrm{a}}_3\\ {\mathrm{b}}_1& {\mathrm{b}}_2& {\mathrm{b}}_3\end{array}\right|$ .

లెక్కింపు:

వీలు,

$\overrightarrow{a}=(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})$

$\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})$

$\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left|\begin{array}{ccc}̂\mathrm{i}& ̂\mathrm{j}& ̂\mathrm{k}\\ 3& 4& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right|$

= î(4 + 0) - ĵ (3 - 0) + k̂(- 3 - 4)

⇒ $(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})\times (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}$

ఇప్పుడు,

$|4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}|=\sqrt{4^2+3^2+7^2}$

⇒ $|4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}|=\sqrt{74}$

$\Rightarrow \sqrt{74}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$

$\Rightarrow \sqrt{74}=5\sqrt{3}\sin \theta$

అందువలన,

$\sin \theta =\frac{\sqrt{74}}{5\sqrt{3}}$

పద్ధతి:

 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{\mathrm{b}}$  దిశ = ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}})$

సాధన:

ఇచ్చిన కోణం $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{i}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ మరియు ప్రొజెక్షన్​ $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{b}$యొక్క దిశ -2

సమాచారం ప్రకారం, 

 $\overrightarrow{a}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{\mathrm{b}}$= ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}})$ యొక్క దిశ

⇒ - 2 = ${\displaystyle \frac{1}{|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}}(|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$

⇒ - 2 = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$

⇒ - 2 = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|({\displaystyle \frac{-1}{2}})$

⇒  $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=4$

కావునn $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{i}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ మధ్యకోణం $\overrightarrow{a}$ ప్రొజెక్షన్​ అయిన $\overrightarrow{b}$ దిశ -2, అయిన $|\overrightarrow{a}|=$ 4

భావన:

రెండు నాభిశ్రుతిలు క్రాస్/నాభిశ్రుతి లబ్ధం ఇలా నిర్వచించబడింది:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\mathrm{A}\right|\times \left|\mathrm{B}\right|\times \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \times ̂\mathrm{n}$

ఇక్కడ θ అనేది $⃗\mathrm{A}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}⃗\mathrm{B}$ మధ్య కోణం.

ఇక్కడ $̂\mathrm{n}$ అనేది యూనిట్ నాభిశ్రుతి 

$\overrightarrow{\mathrm{A}}={\mathrm{a}}_1̂\mathrm{i}+{\mathrm{a}}_2̂\mathrm{j}+{\mathrm{a}}_3̂\mathrm{k}$ మరియు $\overrightarrow{\mathrm{B}}={\mathrm{b}}_1̂\mathrm{i}+{\mathrm{b}}_2̂\mathrm{j}+{\mathrm{b}}_3̂\mathrm{k}$ అయితే, వాటి క్రాస్ ఉత్పత్తి:

$\overrightarrow{\mathrm{A}}\times \overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\begin{array}{ccc}̂\mathrm{i}& ̂\mathrm{j}& ̂\mathrm{k}\\ {\mathrm{a}}_1& {\mathrm{a}}_2& {\mathrm{a}}_3\\ {\mathrm{b}}_1& {\mathrm{b}}_2& {\mathrm{b}}_3\end{array}\right|$ .

లెక్కింపు:

వీలు,

$\overrightarrow{a}=(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})$

$\overrightarrow{b}=(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})$

$\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}=\left|\begin{array}{ccc}̂\mathrm{i}& ̂\mathrm{j}& ̂\mathrm{k}\\ 3& 4& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right|$

= î(4 + 0) - ĵ (3 - 0) + k̂(- 3 - 4)

⇒ $(3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j})\times (\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k})=4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}$

ఇప్పుడు,

$|4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}|=\sqrt{4^2+3^2+7^2}$

⇒ $|4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}-7\overrightarrow{k}|=\sqrt{74}$

$\Rightarrow \sqrt{74}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin \theta$

$\Rightarrow \sqrt{74}=5\sqrt{3}\sin \theta$

అందువలన,

$\sin \theta =\frac{\sqrt{74}}{5\sqrt{3}}$