nth roots of Unity MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for nth roots of Unity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్లోడ్ కరెన్
Last updated on Apr 8, 2025
Latest nth roots of Unity MCQ Objective Questions
nth roots of Unity Question 1:
\(\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, - \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \) =
Answer (Detailed Solution Below)
nth roots of Unity Question 1 Detailed Solution
సిద్ధాంతం-
- eiθ = cosθ + isinθ ,ఇక్కడ i ఊహాత్మక సంఖ్య.
- ఏకత్వపు సంకీర్ణ మూలాల మొత్తం సున్నా.
గణన-
\(\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, - \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \)
⇒ \(-\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( -{\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, + \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \)
⇒ \(-\sum\limits_{k = 1}^6 {\left(i^{2} {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, + \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \) (i2 = -1)
⇒ \(-i\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}\, + \,i\,\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \)
⇒ \(-i\sum_{k=1}^{6} (e^{i\frac{2\pi k}{7}}) \)
సమీకరణం యొక్క n మూలాల మొత్తం 0 అని తెలుసు
⇒ \(1 + e^\frac{{i2\pi }}{7} + e^\frac{{i4\pi }}{7}+ e^\frac{{i6\pi }}{7} + e^\frac{{i8\pi }}{7}+ e^\frac{{i10\pi }}{7}+ e^\frac{{i12\pi }}{7} = 0\)
⇒ \(1 + \sum_{k=1}^{6}(e^\frac{{2\pi k}}{7}) = 0 \)
⇒\( \sum_{k=1}^{6}(e^\frac{{2\pi k}}{7}) = -1 \)
∴ \(-i\sum_{k=1}^{6} (e^{i\frac{2\pi k}{7}}) \)
= -i (-1)
= i
∴ \(\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, - \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} =i \)
Top nth roots of Unity MCQ Objective Questions
nth roots of Unity Question 2:
\(\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, - \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \) =
Answer (Detailed Solution Below)
nth roots of Unity Question 2 Detailed Solution
సిద్ధాంతం-
- eiθ = cosθ + isinθ ,ఇక్కడ i ఊహాత్మక సంఖ్య.
- ఏకత్వపు సంకీర్ణ మూలాల మొత్తం సున్నా.
గణన-
\(\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, - \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \)
⇒ \(-\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( -{\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, + \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \)
⇒ \(-\sum\limits_{k = 1}^6 {\left(i^{2} {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, + \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \) (i2 = -1)
⇒ \(-i\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}\, + \,i\,\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} \)
⇒ \(-i\sum_{k=1}^{6} (e^{i\frac{2\pi k}{7}}) \)
సమీకరణం యొక్క n మూలాల మొత్తం 0 అని తెలుసు
⇒ \(1 + e^\frac{{i2\pi }}{7} + e^\frac{{i4\pi }}{7}+ e^\frac{{i6\pi }}{7} + e^\frac{{i8\pi }}{7}+ e^\frac{{i10\pi }}{7}+ e^\frac{{i12\pi }}{7} = 0\)
⇒ \(1 + \sum_{k=1}^{6}(e^\frac{{2\pi k}}{7}) = 0 \)
⇒\( \sum_{k=1}^{6}(e^\frac{{2\pi k}}{7}) = -1 \)
∴ \(-i\sum_{k=1}^{6} (e^{i\frac{2\pi k}{7}}) \)
= -i (-1)
= i
∴ \(\sum\limits_{k = 1}^6 {\left( {\sin \,\frac{{2\pi k}}{7}\, - \,i\,\cos \,\frac{{2\pi k}}{7}} \right)} =i \)
nth roots of Unity Question 3:
ఈ క్రింది వాటిలో ఏది \(\frac{1}{2} + \frac{{i\sqrt 3 }}{2}\) యొక్క 4 వ మూలము అవుతుంది