Lagrange's Mean Value Theorem MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Lagrange's Mean Value Theorem - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఉపయోగించిన భావన

లాగ్రాంజ్ మధ్య విలువ సిద్ధాంతం: f : [a ,b] → R అనేది [a,b] మీద అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయం మరియు (a,b) మీద అవకలనీయమైనది అనుకుందాం. అప్పుడు \(f'(c) = \frac{{f(a) - f(b)}}{{a - b}}\) అయ్యేటట్లు (a,b) లో కొంత c ఉంటుంది.

గణన

f(x) = x\((x -1)^2\) ⇒ f(0) = 0

f(2) = 2 ⇒ f(0) ≠ f(2)

కాబట్టి మధ్య విలువ సిద్ధాంతం వర్తిస్తుంది

\(f'(x) = \frac{{f(2) - f(0)}}{{2 - 0}}\)

⇒ 3x² - 4x + 1 = \(\frac{2-0}{2-0}\) = 1 ⇒ 3x² - 4x = 0

⇒ x(3x - 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4/3

కాబట్టి c = 4/3

భావన:

• లాగ్రేంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, f విరామంలో [1,5] మరియు (1, 5) లో నిరంతరం ఉంటుంది కాబట్టి (1,5) మధ్య కనీసం ఒక బిందువు ఉంటుంది. దానికోసం

\(f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{(5 - 1)}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

ఇక్కడ, 1 < c < 5

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: x ∈ (1, 5) ⇒ f'(x) ≥ 9 కొరకు

x = c ∈ (1, 5) అనుకుందాం

⇒ f'(c) ≥ 9

\(⇒ f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{(5 - 1)}≥ 9\)

\(⇒\frac{f(5) - (- 3)}{4} ≥ 9\)

\(⇒\frac{f(5) + 3}{4} ≥ 9\)

⇒ f(5) + 3 ≥ 36

⇒ f(5) ≥ 33

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఆప్షన్ 1.

భావన: 

• లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, f విరామం [a,b]లో నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు (a,b)లో భేదం (తేడా) ఉంటుంది కాబట్టి (a,b) మధ్య కనీసం ఒక బిందువు ఉంటుంది.

\(f'(ε ) = \frac{f(b) - f(a)}{(b - a)}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

a < ε  < b  దగ్గర 

వివరణ:

ఇవ్వబడింది: f(b) - f(a) = (b - a) f'(ε) for f(x) = Ax2 + Bx + C in (a, b)

f(x) = Ax2 + Bx + C

⇒ f'(x) = 2Ax + B

⇒ f'(ε) = 2Aε + B

అయితే f(b) - f(a) = (b - a) f'(ε)
సమీకరణం 1 ఉపయోగించి,
\(⇒ 2Aε + B =\frac{(Ab^2 + Bb + C) - (Aa^2 + Ba + C)}{b - a}\)

\(\Rightarrow ε = \frac{b + a}{2} \in (a, b)\)

∴ ఎంపిక (3) సరైనది

కాన్సెప్ట్:

లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం:
ఒక ప్రమేయం f బంధిత అంతరంలో నిర్వచించబడితే [a, b] సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది:

• బంధిత అంతరం[a, b]లో f ప్రమేయం నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• f ప్రమేయం బంధిత అంతరం (a, b) భేదాత్మకంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు f విలువ x = c ఉంది(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

సాధన:

ఇచ్చిన ప్రమేయం f(x) = విరామం [1, 3]లో భేదం మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

f'(x) =

సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, c ∈ [1, 3] ఉంది, అలాంటిది:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3.

కాన్సెప్ట్:

లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం:
ఒక ప్రమేయం f బంధిత అంతరంలో నిర్వచించబడితే [a, b] సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది:

• బంధిత అంతరం[a, b]లో f ప్రమేయం నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• f ప్రమేయం బంధిత అంతరం (a, b) భేదాత్మకంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు f విలువ x = c ఉంది(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

సాధన:

ఇచ్చిన ప్రమేయం f(x) = విరామం [1, 3]లో భేదం మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

f'(x) =

సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, c ∈ [1, 3] ఉంది, అలాంటిది:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3.

కాన్సెప్ట్:

లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం:
ఒక ప్రమేయం f బంధిత అంతరంలో నిర్వచించబడితే [a, b] సంతృప్తికరంగా ఉంటుంది:

• బంధిత అంతరం[a, b]లో f ప్రమేయం నిరంతరంగా ఉంటుంది.
• f ప్రమేయం బంధిత అంతరం (a, b) భేదాత్మకంగా ఉంటుంది.

అప్పుడు f విలువ x = c ఉంది(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\).

సాధన:

ఇచ్చిన ప్రమేయం f(x) = విరామం [1, 3]లో భేదం మరియు నిరంతరాయంగా ఉంటుంది.

f'(x) =

సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, c ∈ [1, 3] ఉంది, అలాంటిది:

f'(c) = \(\rm \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\left(3+\frac13\right)-\left(1+\frac11\right)}{2}\)

⇒ \(\rm 1-\frac1{c^2}=\frac{\frac43}{2}=\frac23\)

⇒ \(\rm \frac1{c^2}=1-\frac23=\frac13\)

⇒ c = √3.

భావన: 

• లాగ్రాంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, f విరామం [a,b]లో నిరంతరాయంగా ఉంటుంది మరియు (a,b)లో భేదం (తేడా) ఉంటుంది కాబట్టి (a,b) మధ్య కనీసం ఒక బిందువు ఉంటుంది.

\(f'(ε ) = \frac{f(b) - f(a)}{(b - a)}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

a < ε  < b  దగ్గర 

వివరణ:

ఇవ్వబడింది: f(b) - f(a) = (b - a) f'(ε) for f(x) = Ax2 + Bx + C in (a, b)

f(x) = Ax2 + Bx + C

⇒ f'(x) = 2Ax + B

⇒ f'(ε) = 2Aε + B

అయితే f(b) - f(a) = (b - a) f'(ε)
సమీకరణం 1 ఉపయోగించి,
\(⇒ 2Aε + B =\frac{(Ab^2 + Bb + C) - (Aa^2 + Ba + C)}{b - a}\)

\(\Rightarrow ε = \frac{b + a}{2} \in (a, b)\)

∴ ఎంపిక (3) సరైనది

భావన:

• లాగ్రేంజ్ సగటు విలువ సిద్ధాంతం ప్రకారం, f విరామంలో [1,5] మరియు (1, 5) లో నిరంతరం ఉంటుంది కాబట్టి (1,5) మధ్య కనీసం ఒక బిందువు ఉంటుంది. దానికోసం

\(f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{(5 - 1)}\;\;\;\;\; \ldots \left( 1 \right)\)

ఇక్కడ, 1 < c < 5

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది: x ∈ (1, 5) ⇒ f'(x) ≥ 9 కొరకు

x = c ∈ (1, 5) అనుకుందాం

⇒ f'(c) ≥ 9

\(⇒ f'(c) = \frac{f(5) - f(1)}{(5 - 1)}≥ 9\)

\(⇒\frac{f(5) - (- 3)}{4} ≥ 9\)

\(⇒\frac{f(5) + 3}{4} ≥ 9\)

⇒ f(5) + 3 ≥ 36

⇒ f(5) ≥ 33

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఆప్షన్ 1.

ఉపయోగించిన భావన

లాగ్రాంజ్ మధ్య విలువ సిద్ధాంతం: f : [a ,b] → R అనేది [a,b] మీద అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయం మరియు (a,b) మీద అవకలనీయమైనది అనుకుందాం. అప్పుడు \(f'(c) = \frac{{f(a) - f(b)}}{{a - b}}\) అయ్యేటట్లు (a,b) లో కొంత c ఉంటుంది.

గణన

f(x) = x\((x -1)^2\) ⇒ f(0) = 0

f(2) = 2 ⇒ f(0) ≠ f(2)

కాబట్టి మధ్య విలువ సిద్ధాంతం వర్తిస్తుంది

\(f'(x) = \frac{{f(2) - f(0)}}{{2 - 0}}\)

⇒ 3x² - 4x + 1 = \(\frac{2-0}{2-0}\) = 1 ⇒ 3x² - 4x = 0

⇒ x(3x - 4) = 0 ⇒ x = 0, x = 4/3

కాబట్టి c = 4/3