Polynomials MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Polynomials - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

கருத்து:

இந்தப் பிரச்சனை பல்லுறுப்புக்கோவைப் பிரிவு மற்றும் வகுப்பின் மூலங்கள் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை $x^2-1$ ஆல் வகுபடும் என்பதை உறுதிப்படுத்தி, f(1) = 0 மற்றும் f(-1) = 0 எனும் மதிப்புகளைப் பெறலாம், இதிலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்க்கலாம்.

கணக்கீடு:

$x^4+x^3+8x^2+ax+b$

என்பது $x^2-1$ ஆல் வகுபடும்.

கொடுக்கப்பட்ட வகுத்தல் $x^2-1$ ஐ பின்வருமாறு காரணிப்படுத்தலாம்:

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

நாம் $a$ மற்றும் b இன் மதிப்புகளைத் தேடுகிறோம், இதனால் பல்லுறுப்புக்கோவை

$x^4+x^3+8x^2+ax+b$ என்பது $x^2-1$ ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை $x^2-1$ ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை f(x) என்பது $x^2-1$ ஆல் வகுபடும் என்றால், அந்த பல்லுறுப்புக்கோவை f(1) = 0 மற்றும் f(-1) = 0 ஐக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் பயன்படுத்தலாம்.

f(1) மற்றும் f(-1) ஐக் கணக்கிடு

f(x) = $x^4+x^3+8x^2+ax+b$ என்க.

f(1) = 0 க்கு:

$f(1)=1^4+1^3+8(1^2)+a(1)+b=1+1+8+a+b=10+a+b$

எனவே $10+a+b=0$

⇒ $a+b=-10\text{(சமன்பாடு 1)}$

f(-1) = 0 க்கு:

$f(-1)=(-1{)}^4+(-1{)}^3+8(-1{)}^2+a(-1)+b=1-1+8-a+b=8-a+b$

எனவே $8-a+b=0$

⇒ $-a+b=-8\text{(சமன்பாடு 2)}$

தீர்க்க, இரண்டு சமன்பாடுகளையும் சேர்க்கவும்:

$(a+b)+(-a+b)=-10+(-8)$

⇒ $2b=-18$

⇒ $b=-9$

சமன்பாடு 1 இல் b = -9 ஐ மாற்று

$a+(-9)=-10$

⇒ $a=-1$

எனவே, சரியான விருப்பம் விருப்பம் 4.

கொடுக்கப்பட்டது:

பல்லுறுப்புக்கோவை: x² - 9x + 18

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணிப்படுத்தல்: ax² + bx + c = (x - p)(x - q)

கணக்கீடு:

நாம் x² - 9x + 18 ஐ காரணிப்படுத்த வேண்டும்.

⇒ (x - 3)(x - 6)

(x - 3)(x - 6) ஐ விரிவாக்கி சரிபார்க்க:

⇒ x² - 6x - 3x + 18

⇒ x² - 9x + 18

காரணிகள் (x - 3) மற்றும் (x - 6).

சரியான விருப்பம் விருப்பம் 2.

கருத்து:

இந்தப் பிரச்சனை பல்லுறுப்புக்கோவைப் பிரிவு மற்றும் வகுப்பின் மூலங்கள் என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை $x^2-1$ ஆல் வகுபடும் என்பதை உறுதிப்படுத்தி, f(1) = 0 மற்றும் f(-1) = 0 எனும் மதிப்புகளைப் பெறலாம், இதிலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாடுகளின் தொகுப்பைத் தீர்க்கலாம்.

கணக்கீடு:

$x^4+x^3+8x^2+ax+b$

என்பது $x^2-1$ ஆல் வகுபடும்.

கொடுக்கப்பட்ட வகுத்தல் $x^2-1$ ஐ பின்வருமாறு காரணிப்படுத்தலாம்:

$x^2-1=(x-1)(x+1)$

நாம் $a$ மற்றும் b இன் மதிப்புகளைத் தேடுகிறோம், இதனால் பல்லுறுப்புக்கோவை

$x^4+x^3+8x^2+ax+b$ என்பது $x^2-1$ ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையை $x^2-1$ ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை f(x) என்பது $x^2-1$ ஆல் வகுபடும் என்றால், அந்த பல்லுறுப்புக்கோவை f(1) = 0 மற்றும் f(-1) = 0 ஐக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்பதை நாம் பயன்படுத்தலாம்.

f(1) மற்றும் f(-1) ஐக் கணக்கிடு

f(x) = $x^4+x^3+8x^2+ax+b$ என்க.

f(1) = 0 க்கு:

$f(1)=1^4+1^3+8(1^2)+a(1)+b=1+1+8+a+b=10+a+b$

எனவே $10+a+b=0$

⇒ $a+b=-10\text{(சமன்பாடு 1)}$

f(-1) = 0 க்கு:

$f(-1)=(-1{)}^4+(-1{)}^3+8(-1{)}^2+a(-1)+b=1-1+8-a+b=8-a+b$

எனவே $8-a+b=0$

⇒ $-a+b=-8\text{(சமன்பாடு 2)}$

தீர்க்க, இரண்டு சமன்பாடுகளையும் சேர்க்கவும்:

$(a+b)+(-a+b)=-10+(-8)$

⇒ $2b=-18$

⇒ $b=-9$

சமன்பாடு 1 இல் b = -9 ஐ மாற்று

$a+(-9)=-10$

⇒ $a=-1$

எனவே, சரியான விருப்பம் விருப்பம் 4.

கொடுக்கப்பட்டவை:

p = 106, q = 105 மற்றும் r = 104

பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம்:

p ² + q ² + r ² - pq - qr - rp = 1/2 [(p - q) ² + (q - r) ² + (r - p) ² ]

கணக்கீடு:

p 2 + q 2 + r 2 - pq - qr - rp

⇒ 1/2 [(p - q)2 + (q - r)2 + (r - p)2]

⇒ 1/2 [(106 - 105) 2 + (105 - 104) 2 + (104 - 106) 2 ]

⇒ 1/2 [(1) 2 + (1) 2 + (-2) 2 ]

⇒ 1/2 [1 + 1 + 4]]

⇒ 1/2 × 6

⇒ 3 ⇒ 3

∴ சரியான பதில் விருப்பம் 4 ஆகும்.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

எந்த விருப்பம் வெளிப்பாட்டுடன் பொருந்துகிறது என்பதை சரிபார்க்க.

கணக்கீடுகள்:

1) விருப்பத்தை (4x + 2y - 5z)² விரிவுபடுத்துக:

= (4x)² + (2y)² + (-5z)² + 2(4x)(2y) + 2(4x)(-5z) + 2(2y)(-5z)

= 16x² + 4y² + 25z² + 16xy - 40zx - 20yz

இது பொருந்தவில்லை.

2) விருப்பத்தை (4x - 2y - 5z)² விரிவுபடுத்துக:

= (4x)² + (-2y)² + (-5z)² + 2(4x)(-2y) + 2(4x)(-5z) + 2(-2y)(-5z)

= 16x² + 4y² + 25z² - 16xy - 40zx + 20yz

இது பொருந்துகிறது!

3) விருப்பத்தை (4x + 2y + 5z)² விரிவுபடுத்துக:

= (4x)² + (2y)² + (5z)² + 2(4x)(2y) + 2(4x)(5z) + 2(2y)(5z)

= 16x² + 4y² + 25z² + 16xy + 40zx + 20yz

இது பொருந்தவில்லை.

4) விருப்பத்தை (4x - 2y + 5z)² விரிவுபடுத்துக:

= (4x)² + (-2y)² + (5z)² + 2(4x)(-2y) + 2(4x)(5z) + 2(-2y)(5z)

= 16x² + 4y² + 25z² - 16xy + 40zx - 20yz

இது பொருந்தவில்லை.

∴ வெளிப்பாடு 16x² + 4y² + 25z² - 16xy + 20yz - 40zx ஆனது (4x - 2y - 5z)² விருப்பத்துடன் பொருந்துகிறது.

கருத்து:

பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்கள் α மற்றும் β எனில் p(x) என்பது,

p(α) = 0 & p(β) = 0  

கணக்கீடு:

p(x) =  (k - 1)x2 + kx +1 என்க.

கேள்வியின் படி, x = -3 என்பது பூஜ்ஜியங்களில் ஒன்று

x இல் p(x) = -3 பூஜ்ஜியமாகும்.

எனவே,

(k - 1)(-3)2 + k(-3) +1 = 0

⇒ 9k - 9 - 3k + 1 = 0

⇒ 6k = 8

⇒ k = 4/3

எனவே, விருப்பம் 2 சரியான பதில்.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca

கணக்கீடு:

a = x2, b = -y2, c = z2 என வைத்துக்கொள்வோம்.

⇒ (x2 + y2 - z2)2 = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 – 2y2z2 – 2z2x2      ----(1)

a = x2, b = y2, c = -z2 என வைத்துக்கொள்வோம்.

⇒ (x2 - y2 + z2)2 = x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2y2z2 + 2z2x2      ----(2)

(1) – (2)

⇒ 4x2y2 – 4z2x2

∴ தேவைப்படும் பதில் 4x2y2 – 4x2z2

Alternate Method

x = 1, y = 2 மற்றும் z = -3 ஆகட்டும்

இப்போது இந்த மதிப்பை (x2 + y2 - z2)2 - (x2 - y2 + z2)2 இல் வைக்கவும்

(1 + 4 - 9)2 - (1 - 4 + 9)2

16 - 36 = - 20

இப்போது x = 1, y = 2 மற்றும் z = -3 ஐ விருப்பத்தில் வைக்கவும்

1)  4x2y2 - 4x2z2 = 4(1)(2)2 - 4(1)(3)2 = 16 - 36 = -20

எனவே விருப்பம் 1 சரியானதாகும் 

கொடுக்கப்பட்டது

4x⁴ + 3x³ + 2x² + x + 1

கருத்துரு

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி என்பது அதன் பூஜ்ஜியமற்ற குணகங்களைக் கொண்ட தனித்தனி உறுப்புகளின் படிகளில் மிக உயர்ந்த படியாகும்.

தீர்வு

4x⁴ இல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி = 4

3x³ இல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி = 3

2x² இல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி = 2

x இல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி = 1

எனவே, மிக உயர்ந்த படி 4 ஆகும்.

∴ பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி = 4

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

5x + 3y = 15 மற்றும் 2xy = 6

பயன்படுத்திய சூத்திரம்:

(a - b)² = (a + b)² - 4ab

கணக்கீடு:

(5x - 3y)² =  (5x + 3y)² - 4.5x.3y

⇒ 15² - 30 × 2xy

⇒ 225 - 180 = 45

(5x - 3y) = √45

⇒ $3\sqrt{5}$

∴ சரியான விருப்பம் 2 ஆகும்.

 நமக்குத் தெரியும்,

x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy)

இப்போது நம்மிடம் இருக்கிறது x3 + y3 = 22 and x + y = 5

⇒ 22 = 5(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)2 − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)2 − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

இப்போது x3 + y3 = 22 ஐ x + y = 5 உடன் பெருக்கவும்

⇒ x4 + y4 + xy(x2 + y2) = 110

⇒ x4 + y4 = 110 – xy{(x2 + y2 − 2xy + 2xy)}

⇒ x4 + y4 = 110 – xy{(x + y)2 − 2xy}

xy = 103/15 and x + y = 5

⇒ x4 + y4 = 110 – 103/15{(5)2 − 2 × 103/15}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87{(25 –  13.73}

⇒ x4 + y4 = 110 – 6.87 {(11.27)}

⇒ x4 + y4 = 110 – 77.42

⇒ x4 + y4 = 32.58

∴ Value of x4 + y4 is 33.

 Shortcut Trick

x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5(x2 + y2 – xy)

⇒ 22 = 5[(x + y)2 − 3xy)]

⇒ 22 = 5[(5)2 − 3xy)]

⇒ xy = 103/15

(x3 + y3) (x + y) = x4 + y4 + xy(x2 + y2)

(x3 + y3) (x + y)= (x4 + y4) + {xy[(x + y)2 – 2xy)]

⇒ 22 × 5 = x4  + y4  + 103/15[25 - 206/15]

⇒ x4 + y4 = 32.63 ≈ 33

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

மீதமுள்ள தேற்றம்:

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை p(x)ஐ (x−a) ஆல் வகுத்தால், மீதியானது a ஆகும்

p(a) ஆல் கொடுக்கப்பட்ட மாறிலி.

கணக்கீடு:

p(x) = 5x 3 + 5x 2 – 6x + 9

(x + 3) p(x)ஐப் பிரிப்பதால், மீதமுள்ளவை p(-3) ஆக இருக்கும்.

⇒ p(-3) = 5 × (-3)3 + 5 × (-3)2 – 6 × (-3) + 9

⇒ p(-3) = -63

கோட்பாடு:

மீதித் தேற்றம்:  p(x) என்பது ஒன்றை அல்லது அதை விடப் பெரிய படிநிலையைக் கொண்ட ஏதேனும் ஒரு பல்லுறுப்பி  மேலும் 'a' என்பது ஏதேனும் இயல் எண் ஆகும். p(x)ஐ (x - a)ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் மீதி p(a) ஆகும்.

கணக்கீடு:

நம்மிடம் உள்ளது, x + 2 = x - (-2)

எனவே, மீதித் தேற்றத்தின் மூலம், p(x)ஐ (x + 2) = (x - (-2))ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் மீதி p(-2).

இப்பொழுது, p(x) = 2x5 + 4x4 + 7x3 - x2 + 3x + 12

⇒ p(-2) = 2(-2)⁵ + 4(-2)4 + 7(-2)3 - (-2)2 + 3(-2) + 12

⇒ p(-2) = -2(32) + 4(16) - 7(8) - (4) - 6 + 12

⇒ p(-2) = -64 + 64 - 56 - 4 + 6

⇒ p(-2) = -54

எனவே, தேவையான மீதி = -54.

கணக்கீடுகள்:

x5 – 33x4 + 33x3 – 33x2 + 33x – 1

⇒ x5 – (32 + 1)x4 + (32 + 1)x3 – (32 + 1)x2 + (32 + 1)x – 1.

⇒ x5 – 32x4 – x4 + 32x3 + x3 – 32x2 – x2 + 32x + x – 1

x = 32 என்பது நமக்குத் தெரியும்

எனவே, x5 – x × x4 – x4 + x × x3 + x3 – x × x2 – x2 + x × x + x – 1

⇒ x5 – x5 – x4 + x4 + x3 – x3 – x2 + x2 + x – 1

⇒ x – 1

⇒ 32 – 1 = 31

∴ சரியான பதில் 31.

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்கள்:

(a + b)² = (a2 + b2 + 2ab)

(a - b)(a + b) = a2 - b2

கணக்கீடு:

= 25 - (x2 + y2 + 2xy)

= 5² - (x + y)²

= ( 5 + x + y ) (5 - (x + y))

∴ ( 5 + x + y ) (5 - x - y) ஆகியவை காரணிகள் ஆகும்.

f(x) = 4x6 – 5x3 – 3 எனக் கருதவும்

⇒ f(x) = 4 × (x3)2 – 5x3 – 3

இப்போது, x3 – 2 = 0

⇒ x3 = 2

x3 = 2 என f(x) இல் இட்டால் நமக்குக் கிடைப்பது,

⇒ 4 × 22 – 5 × 2 – 3

⇒ 16 – 10 – 3

⇒ 3