Variance and Standard Deviation MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Variance and Standard Deviation - मोफत PDF डाउनलोड करा

मध्य, $\mu =\frac{\sum x_i}{50}=16$

प्रमाणित विचलन $\sigma =\sqrt{\frac{\sum x_i^2}{50}-{\left(\mu \right)}^2}=16\Rightarrow \left(256\right)\times 2=\frac{\sum x_i^2}{50}$

नवीन मध्य

$\frac{\sum (x_i-4{)}^2}{50}=\frac{\sum x_i^2+16\times 50-8\sum x_i}{50}=\left(256\right)\times 2=16-8\times 16=400$

गणना

$\overline{X}=\frac{24}{5};{\sigma }^2=\frac{194}{25}$

समजा, पहिली चार निरीक्षणे x1, x2, x3, x4 आहेत.

येथे, $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=\frac{24}{5}$ ...............(1)

तसेच, $\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}=\frac{7}{2}$

⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 14

आता समीकरण (1) वरून

⇒ x5 = 10

आता, ${\sigma }^2=\frac{194}{25}$

⇒ $\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2}{5}-\frac{576}{25}=\frac{194}{25}$

$\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=54$

आता, पहिल्या 4 निरीक्षणांमधील फरक

$\mathrm{Var}=\frac{\sum _{i=1}^4{x}_i^2}{4}-{\left(\frac{\sum _{i=1}^4{x}_1}{4}\right)}^2$

⇒ $\frac{54}{4}-\frac{49}{4}=\frac{5}{4}$

म्हणून, पर्याय (3) योग्य आहे.

दिलेले आहे:

3, 5, 7, 9, 11 या 5 संख्यांच्या संचाचे प्रमाणित विचलन σ आहे.

संकल्पना:

जर प्रत्येक निरीक्षण हे एका स्थिरांकाने (k) वाढत असेल, तर प्रमाणित विचलन तेच/सारखेच राहते (बदलत नाही).

गणना:

3, 5, 7, 9, 11 या संख्यांच्या संचाचे प्रमाणित विचलन σ आहे.

देलेली पुढील माहिती गृहीत धरू : 5, 7, 9, 11, 13

येथे, प्रत्येक अंक/निरीक्षण 2 या स्थिरांकाने वाढत आहे.

जसे की आपल्याला माहीत आहे की, जर प्रत्येक निरीक्षण एका स्थिरांकाने वाढवले तर, त्याच्या प्रमाणित विचलनात बदल होत नाही.

म्हणून 5, 7, 9, 11, 13 या संख्यांच्या संचाचे प्रमाणित विचलनसुद्धा σ असेल. 

28, 32, 33, 35, 37, 41, 42, 49, 52, 57 या चढत्या क्रमाने डेटा लावा

जर n = 10 (सम)

मध्यक = [{(n/2) ^व्या + (n/2 + 1) ^व्या }/2]

मध्यक = [(10/2) ^व्या + (10/2 + 1) ^व्या /2] = (5 ^व्या + 6 ^व्या )/2 = (37 + 41)/2 = 39

⇒ x = 39

जर 32 च्या जागी 36 आणि 41 ला 63 ने बदलले तर

नवीन डेटा 33, 42, 28, 49, 36, 37, 52, 57, 35, 63 आहे

28, 33, 35, 36, 37, 42, 49, 52, 57, 63 चढत्या क्रमाने डेटा लावा

जर n = 10 (सम)

मध्यक = [{(n/2) ^व्या + (n/2 + 1) ^व्या }/2]

मध्यक = [(10/2) ^व्या + (10/2 + 1) ^व्या /2] = (5 ^व्या + 6 ^व्या )/2 = (37 + 42)/2 = 39.5

⇒ y = 39.5

⇒ x + y

⇒ ३९ + ३९.५

⇒ ७८.५

मध्यक = [(n + 1)/2] ^व्या पद

n → विषम पद

⇒ मध्यक = [(5 + 1)/2] ^व्या पद

⇒ मध्यक = 3 ^था टेर मी

सूत्र​∶ σ² = ∑(x_i – x)²/n

प्रत्येक संख्या 10 ने वाढल्याने, प्रमाण विचलन बदलणार नाही कारण (x_i - x) समान राहते.

समजा x_1, x₂, x₃, x₄ या संख्या आहेत.

x_1, x₂, x₃, x₄ ​या सर्वात लहान चार संख्यांची सरासरी​= 37

x_1, x₂, x₃, x₄ या सर्वात लहान चार संख्यांची बेरीज = 37 × 4 = 148.

x_1, x₂, x₃ या सर्वात लहान तीन संख्यांची सरासरी​ = 34

x_1, x₂, x₃ या तीन सर्वात लहान संख्यांची बेरीज = 34 × 3 = 102.

∴ सर्वात मोठ्या क्रमांकाचे मूल्य x₄ = 148 – 102 = 46.

श्रेणी (सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्यातील फरक) x₄ – x₁ = 15.

∴ लहान संख्या x₁ = 46 – 15 = 31.

आता,

x₂, x₃ यांची बेरीज = एकूण बेरीज – (सर्वात लहान आणि मोठ्या संख्येची बेरीज). 

⇒ 148 – (46 + 31)

⇒ 148 – 77

⇒ 71

आता,

मध्यक = [(n + 1)/2] ^व्या पद

n → विषम पद

⇒ मध्यक = [(5 + 1)/2] ^व्या पद

⇒ मध्यक = 3 ^था टेर मी

28, 32, 33, 35, 37, 41, 42, 49, 52, 57 या चढत्या क्रमाने डेटा लावा

जर n = 10 (सम)

मध्यक = [{(n/2) ^व्या + (n/2 + 1) ^व्या }/2]

मध्यक = [(10/2) ^व्या + (10/2 + 1) ^व्या /2] = (5 ^व्या + 6 ^व्या )/2 = (37 + 41)/2 = 39

⇒ x = 39

जर 32 च्या जागी 36 आणि 41 ला 63 ने बदलले तर

नवीन डेटा 33, 42, 28, 49, 36, 37, 52, 57, 35, 63 आहे

28, 33, 35, 36, 37, 42, 49, 52, 57, 63 चढत्या क्रमाने डेटा लावा

जर n = 10 (सम)

मध्यक = [{(n/2) ^व्या + (n/2 + 1) ^व्या }/2]

मध्यक = [(10/2) ^व्या + (10/2 + 1) ^व्या /2] = (5 ^व्या + 6 ^व्या )/2 = (37 + 42)/2 = 39.5

⇒ y = 39.5

⇒ x + y

⇒ ३९ + ३९.५

⇒ ७८.५

संकल्पना :

भिन्नतेचा गुणांक द्वारे दिला जातो: $\frac{\sigma }{\overline{x}}\times 100$ जेथे σ हे मानक विचलन आहे आणि $\overline{x}$ मध्य आहे.

गणना :

दिलेले: वितरणाचा मध्य 21 आहे आणि मानक विचलन 7 आहे.

येथे, σ = 7 आणि $\overline{x}=21$

आपल्याला माहित आहे की भिन्नतेचा गुणांक द्वारे दिलेला आहे: $\frac{\sigma }{\overline{x}}\times 100$ जेथे σ हे मानक विचलन आहे आणि $\overline{x}$ मध्य आहे.

⇒ $\frac{7}{21}\times 100=33.33$ %

आपल्याला माहित आहे की,

बहुलक म्हणजे संख्यांच्या संचातील वारंवार येणारी संख्या.

3, 1, 4, 1, 1, 6, 6, 3, 3, 1, 1, 6 अशी संख्यासंच दिलेला आहे.

या संख्यासंचामध्ये, 1 हा अंक वारंवार म्हणजेच 5 वेळेस येतो.

∴ या संख्यासंचातील बहुलक 1 हा आहे.

सूत्र​∶ σ² = ∑(x_i – x)²/n

प्रत्येक संख्या 10 ने वाढल्याने, प्रमाण विचलन बदलणार नाही कारण (x_i - x) समान राहते.

समजा x_1, x₂, x₃, x₄ या संख्या आहेत.

x_1, x₂, x₃, x₄ ​या सर्वात लहान चार संख्यांची सरासरी​= 37

x_1, x₂, x₃, x₄ या सर्वात लहान चार संख्यांची बेरीज = 37 × 4 = 148.

x_1, x₂, x₃ या सर्वात लहान तीन संख्यांची सरासरी​ = 34

x_1, x₂, x₃ या तीन सर्वात लहान संख्यांची बेरीज = 34 × 3 = 102.

∴ सर्वात मोठ्या क्रमांकाचे मूल्य x₄ = 148 – 102 = 46.

श्रेणी (सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्यातील फरक) x₄ – x₁ = 15.

∴ लहान संख्या x₁ = 46 – 15 = 31.

आता,

x₂, x₃ यांची बेरीज = एकूण बेरीज – (सर्वात लहान आणि मोठ्या संख्येची बेरीज). 

⇒ 148 – (46 + 31)

⇒ 148 – 77

⇒ 71

आता,

दिलेले आहे:

3, 5, 7, 9, 11 या 5 संख्यांच्या संचाचे प्रमाणित विचलन σ आहे.

संकल्पना:

जर प्रत्येक निरीक्षण हे एका स्थिरांकाने (k) वाढत असेल, तर प्रमाणित विचलन तेच/सारखेच राहते (बदलत नाही).

गणना:

3, 5, 7, 9, 11 या संख्यांच्या संचाचे प्रमाणित विचलन σ आहे.

देलेली पुढील माहिती गृहीत धरू : 5, 7, 9, 11, 13

येथे, प्रत्येक अंक/निरीक्षण 2 या स्थिरांकाने वाढत आहे.

जसे की आपल्याला माहीत आहे की, जर प्रत्येक निरीक्षण एका स्थिरांकाने वाढवले तर, त्याच्या प्रमाणित विचलनात बदल होत नाही.

म्हणून 5, 7, 9, 11, 13 या संख्यांच्या संचाचे प्रमाणित विचलनसुद्धा σ असेल. 

मध्यक = [(n + 1)/2] ^व्या पद

n → विषम पद

⇒ मध्यक = [(5 + 1)/2] ^व्या पद

⇒ मध्यक = 3 ^था टेर मी