Special Terms of Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Special Terms of Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

द्विपद गुणांकों का योग और महत्तम द्विपद गुणांक:

• $(x+y{)}^n$ के प्रसार में द्विपद गुणांकों का योग x = 1 और y = 1 प्रतिस्थापित करके परिकलित किया जाता है। परिणाम $2^n$ है।
• महत्तम द्विपद गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम गुणांकों $C(n,r)$ का विश्लेषण करते हैं जहाँ r प्रसार में पद सूचकांक है। महत्तम गुणांक मध्य पद (पदों) के पास होता है।
• मुख्य सूत्र:
  • द्विपद गुणांकों का योग: $\text{Sum}=2^n$
  • द्विपद गुणांक: $C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$
  • महत्तम द्विपद गुणांक: सम n के लिए, यह r = n/2 पर होता है। विषम n के लिए, यह r = (n-1)/2 और r = (n+1)/2 पर होता है।

गणना:

दिया गया है,

द्विपद गुणांकों का योग = $2^n=256$

हम n की गणना करते हैं:

$2^n=256$

⇒ $2^8=256$

महत्तम द्विपद गुणांक:

$n=8$ (सम) के लिए, सबसे बड़ा द्विपद गुणांक $r=n/2=8/2=4$ पर होता है।

⇒ पद सूचकांक r = 4 है, जो 5वें पद (चूँकि अनुक्रमण 0 से शुरू होता है) से मेल खाता है।

∴ सबसे बड़ा द्विपद गुणांक 5वें पद में होता है।

संप्रत्यय:

• द्विपद गुणांक: $(1+x{)}^{10}$ के प्रसार में, $x^{10-r}$ का गुणांक $a_r=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{r})$ द्वारा दिया गया है।
• हमें व्यंजक का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है: $\sum _{r=1}^{10}{r}^3{\left(\frac{a_r}{a_{r-1}}\right)}^2$
• द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए: $\frac{a_r}{a_{r-1}}=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{r})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{r-1})}=\frac{10-r+1}{r}=\frac{11-r}{r}$
• इसलिए, ${\left(\frac{a_r}{a_{r-1}}\right)}^2={\left(\frac{11-r}{r}\right)}^2$
• अंतिम व्यंजक बन जाता है: $\sum _{r=1}^{10}{r}^3\cdot {\left(\frac{11-r}{r}\right)}^2=\sum _{r=1}^{10}(11-r{)}^2\cdot r$

गणना:

हम सरलीकृत करते हैं:

$\sum _{r=1}^{10}r\cdot (11-r{)}^2$

⇒ r=1 के लिए: $1\cdot {10}^2=100$

⇒ r=2 के लिए: $2\cdot 9^2=162$

⇒ r=3 के लिए: $3\cdot 8^2=192$

⇒ r=4 के लिए: $4\cdot 7^2=196$

⇒ r=5 के लिए: $5\cdot 6^2=180$

⇒ r=6 के लिए: $6\cdot 5^2=150$

⇒ r=7 के लिए: $7\cdot 4^2=112$

⇒ r=8 के लिए: $8\cdot 3^2=72$

⇒ r=9 के लिए: $9\cdot 2^2=36$

⇒ r=10 के लिए: $10\cdot 1^2=10$

⇒ योग = 100 + 162 + 192 + 196 + 180 + 150 + 112 + 72 + 36 + 10 = 1210

∴ दिए गए योग का मान 1210 है।

गणना:

दिया गया है,

हमें समीकरण दिया गया है:

${(\frac{x+1}{x^{2/3}+1-x^{1/3}}-\frac{x+1}{x-x^{1/2}})}^{10},x>1$

कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल कीजिए:

$={(\frac{x+1}{(x^{1/3}{)}^2-x^{1/3}+1}-\frac{x+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)})}^{10}$

$={((x^{1/3}+1)-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}})}^{10}$

$={(x^{1/3}+1-1-x^{-1/2})}^{10}={(x^{1/3}-x^{-1/2})}^{10}$

सामान्य पद T{r+1}\) निम्न द्वारा दिया गया है:

$T_{r+1}={}^{10}{C}_r(x^{1/3}{)}^{10-r}(-x^{-1/2}{)}^r={}^{10}{C}_r(-1{)}^r{x}^{\frac{10-r}{3}-\frac{r}{2}}$

x से स्वतंत्र पद के लिए, x का घातांक शून्य होना चाहिए:

$\frac{10-r}{3}-\frac{r}{2}=0\Rightarrow 2(10-r)-3r=0\Rightarrow 20-5r=0\Rightarrow r=4$

अभीष्ट पद T₅ है:

$T_5={}^{10}{C}_4(-1{)}^4{x}^0={}^{10}{C}_4=\frac{10!}{4!6!}=210$

∴ x से स्वतंत्र पद 210 है।

अवधारणा:

द्विपद प्रसार:

• द्विपद प्रमेय का उपयोग $(1+x{)}^n$ के रूप के व्यंजकों के प्रसार के लिए किया जाता है।
• $(1+x{)}^n$ के प्रसार में सामान्य पद $T_k=C(n,k)\cdot x^k$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ ⁿC_k द्विपद गुणांक है।
• $x^3$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हम प्रसार से संबंधित पदों की पहचान करते हैं और गुणांक को 35 के बराबर सेट करते हैं।

गणना:

$(1+x{)}^p\cdot (1+x{)}^q$ के प्रसार को दिया गया है, हमारे पास है:

प्रसार में x³ का गुणांक 35 है।

हम x³ पद के लिए द्विपद प्रसार सूत्र का उपयोग करते हैं

⇒ (p+ q)_c3 = 35 = ⁷C₃

⇒ p+q =7

∴ सही उत्तर विकल्प C है। 

अवधारणा:

• (a + b)n के द्विपद प्रसार में सामान्य पद दिया गया है: $T_{r+1}={}^n{C}_r{a}^{n-r}{b}^r$
• यदि sin θ = sin α ⇒ θ = $\mathrm{n}\pi +(-1{)}^{\mathrm{n}}\alpha$

गणना:

दिया गया है, ${(\frac{1}{x}+x\sin x)}^{10}$ के मध्य पद का मान $7\frac{7}{8}$है।

चूँकि, n = 10

⇒ मध्य पद = ${(\frac{n}{2}+1)}^{th}$ पद = 6^वाँ पद

∴ T₆ = T₅₊₁

= ${}^{10}{C}_5{\left(\frac{1}{x}\right)}^{10-5}(x\sin x{)}^5$

⇒ $\frac{63}{8}$ = ${}^{10}{C}_5(\sin x{)}^5$

⇒ $\frac{63}{8}$ = $\frac{10!}{5!5!}$ sin⁵x

⇒ $\frac{63}{8}$ = 252 sin5x

⇒ sin5x = $\frac{1}{32}$

⇒ sin x = $\frac{1}{2}$ = sin$\frac{\pi }{6}$

∴ x = $\mathrm{n}\pi +(-1{)}^{\mathrm{n}}\frac{\pi }{6}$

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् $\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right){}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् ${\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$और${\left(\frac{\mathrm{n}+3}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें ${(2\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}})}^8$ के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 8 (n सम संख्या है।)

∴ मध्य पद = $\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)=\left(\frac{8}{2}+1\right)=5\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}$

T5 = T (4 + 1) = 8C4 × (2x) (8 - 4) × ${\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^4$

T5 =  8C4 × 24

अवधारणा:

(a + b)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है: Tr + 1 = nCr ⋅ an – r ⋅ br

नोट: (a + b)n के विस्तार में अंत से rवां पद प्रारंभ से [(n + 1) – r + 1] = (n – r + 2)वां पद है।

(a + b)n के विस्तार में मध्य पद $\left(\frac{n}{2}+1\right)th$ पद है यदि n सम है।

(a + b)n के विस्तार में यदि n विषम है तो दो मध्य पद हैं जो निम्नलिखित हैं:$\left(\frac{n+1}{2}\right)thand\left(\frac{n+1}{2}+1\right)thterm$

गणना:

दिया हुआ: (x + 3)6 

यहाँ, n = 6

∵ n = 6 और यह सम संख्या है।

जैसा कि हम जानते हैं कि (a + b)n के विस्तार में मध्य पद $\left(\frac{n}{2}+1\right)th$ पद है यदि n सम है।

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर आधारित (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए इसमें केवल एक मध्य पद है अर्थात् $\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right){}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो (x + y) n के विस्तार में पदों की कुल संख्या n +1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं अर्थात् ${\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$और${\left(\frac{\mathrm{n}+3}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें ${(2\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}})}^5$ के विस्तार में मध्य पदों को ज्ञात करना है। 

यहाँ n = 5 (n विषम संख्या है।)

∴ मध्य पद =  ${\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$and ${\left(\frac{\mathrm{n}+3}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ = तीसरा और चौथा

T3 = T (2 + 1) = 5C2 × (2x) (5 - 2) × ${\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^2$  और T4 = T (3 + 1) = 5C3 × (2x) (5 - 3) × ${\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^3$ 

T3 =  5C2 × (2³x) और T4 = 5C3 × 2² × $\frac{1}{\mathrm{x}}$

T3 = 80x और  T4 = $\frac{40}{\mathrm{x}}$

अतः विस्तार का मध्य पद 80x और $\frac{40}{\mathrm{x}}$ है। 

धारणा:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

• ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

गणना:

दिया गया विस्तार ${\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{1}{3{\mathrm{x}}^2}\right)}^{10}$ है

सामान्य पद = ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{10}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\frac{10-\mathrm{r}}{2}}\times {\left(\frac{1}{3{\mathrm{x}}^2}\right)}^{\mathrm{r}}={}^{10}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times 3^{-\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\frac{10-5\mathrm{r}}{2}}$ 

x से स्वतंत्र पद के लिए x की घात शून्य होनी चाहिए

यानी $\frac{10-5\mathrm{r}}{2}=0$

⇒ r = 2

अवधारणा:

सामान्य पद: (a + b) n के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{a}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{b}}^{\mathrm{r}}$

गणना:

हम जानते हैं कि Tr+1 = Cr an-r br।

दी गई द्विपद अभिव्यक्ति (3 + ax)9 में n = 9, a = 3 और b = ax।

∴ Tr+1 = 9Cr 39-r (ax)r = 9Cr 39 ${\left(\frac{\mathrm{a}}{3}\right)}^{\mathrm{r}}$ xr

x2 और x³ के गुणांकों के लिए हमारे पास क्रमशः r = 2 और 3 होना चाहिए।

⇒ 9C2 39 ${\left(\frac{\mathrm{a}}{3}\right)}^2$ = 9C3 39 ${\left(\frac{\mathrm{a}}{3}\right)}^3$

⇒ a = $\frac{9}{7}$

संकल्पना:

हमारे पास (x + y) ⁿ = ⁿC₀ xⁿ + ⁿC₁ x^n-1 . y + ⁿC₂ x^n-2. y² + …. + ⁿC_n yⁿ है। 

सामान्य पद: (x + y) ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

गणना:

हमें ${\left({\mathrm{x}}^2-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}\right)}^{10}$ में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

हम जानते हैं कि,

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

$\Rightarrow {\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{10}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\left({\mathrm{x}}^2\right)}^{10-\mathrm{r}}\times {\left(\frac{-1}{{\mathrm{x}}^3}\right)}^{\mathrm{r}}$

$={\left(-1\right)}^{\mathrm{r}}\times {}^{10}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\left(\mathrm{x}\right)}^{20-2\mathrm{r}}\times {\left({\mathrm{x}}^3\right)}^{-\mathrm{r}}$

$={\left(-1\right)}^{\mathrm{r}}\times {}^{10}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\left(\mathrm{x}\right)}^{20-2\mathrm{r}}\times {\left(\mathrm{x}\right)}^{-3\mathrm{r}}$

$={\left(-1\right)}^{\mathrm{r}}\times {}^{10}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\left(\mathrm{x}\right)}^{20-5\mathrm{r}}$

x के स्वतंत्र पद के लिए, x का घांत शून्य होना चाहिए। 

इसलिए,  20 – 5r = 0

⇒ r = 4

${\mathrm{T}}_{\left(4+1\right)}={\left(-1\right)}^4\times {}^{10}{\mathrm{C}}_4={}^{10}{\mathrm{C}}_4$

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के द्विपद विस्तार में सामान्य पद इसके द्वारा दिया जाता है

$T_{\left(r+1\right)}={}^n{C}_r\times x^{n-r}\times y^r$

मध्य पद: (x + y)n के विस्तार में मध्य पद n के मान पर निर्भर करता है।

• यदि n सम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए केवल एक मध्य पद है यानी $\left(\frac{n}{2}+1\right){}^{th}$ पद मध्य पद है।

$T_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}={}^n{C}_{\frac{n}{2}}\times x^{\frac{n}{2}}\times y^{\frac{n}{2}}$

• यदि n विषम है तो (x + y)n के विस्तार में कुल पदों की संख्या n + 1 है। इसलिए दो मध्य पद हैं यानी ${\left(\frac{n+1}{2}\right)}^{th}$और ${\left(\frac{n+3}{2}\right)}^{th}$ दो मध्य पद हैं।

(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)k(1−x)n=∑k=0n(nk)1n−k(−x)

गणना:

दिया गया है:

(1 + 4x + 4x2)5

⇒ [(1 + 2x)2]5

⇒ (1+ 2x)10

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = $\left(\frac{n}{2}+1\right)=\left(\frac{10}{2}+1\right)$=  6th पद 

मध्य पद, T6 =  T5 + 1 =  ¹⁰C₅ (1)⁵ (2x)⁵

⇒ $\frac{10!}{5!5!}$×  32x5

⇒ 8064 x5

∴ (1 + 4x + 4x2)5  के विस्तार में मध्य पद का गुणांक 8064 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

मध्य पद: मध्य पद n के मान पर निर्भर (x + y) n का विस्तार है। 

• यदि n सम है, तो यहाँ केवल एक मध्य पद है अर्थात् $\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right){}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$ पद मध्य पद है। 
• यदि n विषम है, तो यहाँ दो मध्य पद हैं अर्थात्${\left(\frac{\mathrm{n}+1}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$और ${\left(\frac{\mathrm{n}+3}{2}\right)}^{\mathrm{t}\mathrm{h}}$  दो मध्य पद हैं। 

गणना:

यहाँ, हमें ${(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}})}^{10}$ के विस्तार में मध्य पद को ज्ञात करना हैं। 

यहाँ n = 10 (n सम संख्या है)

∴ मध्य पद = $\left(\frac{\mathrm{n}}{2}+1\right)=\left(\frac{10}{2}+1\right)=6\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}$

T₆ = T (5 + 1) = ¹⁰C₅ × (x) (10 - 5) × ${\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^5$

T₆ =  ¹⁰C5

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद निम्न दिया गया है 

 ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

गणना:

हमें ${({\mathrm{x}}^2-\frac{1}{\mathrm{x}})}^9$ के विस्तार में x का स्वतंत्र पद ज्ञात करना है। 

चूँकि हम जानते हैं,${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

⇒  ${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^9{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times ({\mathrm{x}}^2{)}^{9-\mathrm{r}}\times (\frac{-1}{\mathrm{x}}{)}^{\mathrm{r}}$

= ⁹C_r x^{18 - 2r} (-1)^r x^-r

= (-1)^r 9C_r x^{18 - 3r}

x के स्वतंत्र पद के लिए, x का घांत शून्य होना चाहिए।  

इसलिए, 18 - 3r = 0

∴ r = 6

अतः मान (-1)^6 9C₆ = 84 है। 

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)n के विस्तार में सामान्य पद को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${\mathrm{T}}_{\left(\mathrm{r}+1\right)}={}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-\mathrm{r}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{r}}$

(x + y)n के विस्तार में पदों की संख्या (n + 1) है। 

अंत से (n + 1)वां पद पहला पद है और nवां पद दूसरा पद है। 

गणना:

 $(2\mathrm{x}-\frac{\mathrm{x}}{2}{)}^{\mathrm{n}}$ के विस्तार में एक विस्तार के अंत से nवां पद दूसरा पद है। 

T_r+1 = ⁿC_r (2x)^{(n - r)} $(\frac{-\mathrm{x}}{2}{)}^{\mathrm{r}}$

T₂ =  ⁿC₁.(2x)^{(n - 1)} $(\frac{-\mathrm{x}}{2})$

= $-\mathrm{n}\times 2^{(\mathrm{n}-1-1)}\times {\mathrm{x}}^{(\mathrm{n}-1+1)}$

= $-\mathrm{n}\times 2^{(\mathrm{n}-2)}\times {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$

= $-\mathrm{n}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}.2^{(\mathrm{n}-2)}$