Simple Harmonic Motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Simple Harmonic Motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

सरल आवर्त गति में अधिकतम चाल निम्न द्वारा दी जाती है:

v_{अधिकतम} = A × ω

चूँकि द्रव्यमान समान हैं, कोणीय आवृत्ति ω निम्न द्वारा दी जाती है:

ω = √(k / m)

मान लीजिए A_P और A_Q क्रमशः P और Q के आयाम हैं और ω₁ और ω₂ कोणीय आवृत्तियाँ हैं।

दिया गया है: v_{अधिकतम (P)} = v_{अधिकतम (Q)}

⇒ AP × ω1 = AQ × ω2

⇒ A_Q / A_P = ω₁ / ω₂

⇒ A_Q / A_P = √(k₁) / √(k₂)

⇒ A_Q / A_P = √(k₁ / k₂)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4: √(k₁ / k₂) है। 

उत्तर : 4

हल :

\(\mathrm{K} . \mathrm{E}=\frac{1}{2} m \omega^2\left(A^2-x^2\right)\) और

\(\text { P.E }=\frac{1}{2} m \omega^2 x^2\)

∴ कुल ऊर्जा = गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा

= \(\frac{1}{2} m \omega^2\left(A^2-x^2\right)+\frac{1}{2} m \omega^2 x^2\)

= \(\frac{1}{2} m \omega^2 A^2\)

दिया गया है: गतिज ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा

∴ A² - x² = x²

∴ A² = 2x²

∴ \(x=\sqrt{\frac{A^2}{2}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\)

∴ \(x=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}\)

संकल्पना:

सरल आवर्त दोलक की गतिज ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जाता है:

\(K.E. = \frac{1}{2}m\omega ^2 (A^2 - x^2)\;\)

सरल हार्मोनिक दोलक की स्थितिज ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जाता है;

\(P.E. = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\;\)

यहाँ हमारे पास m द्रव्यमान है, \(\omega\) कोणीय आवृत्ति है और A आयाम है और x विस्थापन है।

गणना:

दिया गया:

गतिज ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा

\(\frac{1}{2}m\omega ^2 (A^2 - x^2)= \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\)

⇒ \(A^2-x^2 = x^2\)

⇒ \(A^2 = x^2 +x^2\)

⇒ \(A^2 = 2x^2\)

⇒ \(x^2 = \frac{A^2}{2}\)

मैं   \(x = ±\rm\frac{A}{\sqrt2}\)

अत: विकल्प 3) सही उत्तर है।

गणना:
सरल आवर्त गति कर रहे एक कण की कुल ऊर्जा निम्न समीकरण द्वारा दी जाती है:

E = K + U

जहाँ E कुल ऊर्जा है, K गतिज ऊर्जा है, और U स्थितिज ऊर्जा है।

सरल आवर्त गति  में एक कण के लिए, गतिज ऊर्जा निम्नवत है:

K = (1/2)mv²

और स्थितिज ऊर्जा निम्नवत है:

U = (1/2)kx²

कुल ऊर्जा (E) गति के दौरान नियत रहती है, और यह गतिज और स्थितिज ऊर्जाओं का योग है:

E = (1/2)kA²

जहाँ A गति का आयाम है, और k स्प्रिंग नियतांक है।

इस प्रकार, कुल ऊर्जा गति के आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है।

सही उत्तर: विकल्प 4 - गति के आयाम का वर्ग है। 

गणना:

सरल आवर्त गति (SHM) में, कण का वेग और त्वरण विस्थापन द्वारा संबंधित होते हैं।

यदि कण का विस्थापन \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \) द्वारा दिया गया है, जहाँ \( A \) आयाम है, \( \omega \) कोणीय आवृत्ति है, और \( \phi \) कला स्थिरांक है, तो:

वेग \( v(t) \) समय के सापेक्ष विस्थापन का पहला अवकलज है:

\( v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \)

त्वरण \( a(t) \) समय के सापेक्ष वेग का पहला अवकलज है:

\( a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) \)

ध्यान दें कि \( a(t) \) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

\( a(t) = -\omega^2 x(t) \)

उपरोक्त समीकरणों से, हम देखते हैं कि वेग \( v(t) \) \( -\sin(\omega t + \phi) \) के समानुपाती है और त्वरण \( a(t) \) \( \cos(\omega t + \phi) \) के समानुपाती है।

चूँकि \( \sin(\omega t + \phi) \) और \( \cos(\omega t + \phi) \) \( \pi/2 \) रेडियन (या 90 डिग्री) कला से बाहर हैं, इसलिए वेग और त्वरण के बीच कलांतर \( \pi/2 \) है।

∴ सही उत्तर विकल्प 3 है

अवधारणा:

• सरल आवर्त गति तब होती है जब पुनर्स्थापन बल साम्य अवस्था से विस्थापन के समान आनुपातिक होता है।

F α -x

जहां F = बल और x = साम्यावस्था से विस्थापन।

SHM का समीकरण इसके द्वारा दिया गया है:

x = A sin(ωt + ϕ)

जहाँ x किसी भी समय t से माध्य स्थिति से दूरी है, A आयाम है, t समय है, ω कोणीय आवृत्ति है और ϕ प्रारंभिक फेज कोण है।

• आयाम (A): माध्य स्थिति से अधिकतम विस्थापन को आयाम कहा जाता है।
• आवृत्ति (f): एक सेकंड में दोलनों की संख्या को आवृत्ति कहा जाता है।
• समयावधि (T): एक दोलन पूरा करने के लिए जो समय लिया जाता है उसे समयावधि कहते हैं।

समयावधि (T) और आवृत्ति (f) के बीच का संबंध इसके द्वारा दिया गया है:

\(f=\frac{1}{T}\)

SHM की कोणीय आवृत्ति (ω) इसके द्वारा दी गई है:

\(\omega=\frac{2π}{T}\)

जहां T समयावधि है।

व्याख्या:

यदि सरल आवर्त गति को x = A cos(ωt + φ) द्वारा दर्शाया जाता है, तो 'ω' कोणीय आवृत्ति है ।

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

सरल आवर्त गति तब होती है जब प्रत्यानयन बल साम्य अवस्था से विस्थापन के समान आनुपातिक होता है।

F α -x

जहां F = बल और x = साम्यावस्था से विस्थापन।

SHM में विस्थापन का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है:

x = A Cos(ωt+ϕ) .........(i)

जहां x किसी भी समय t से माध्य स्थिति से दूरी है, A आयाम है, t समय है, और ω कोणीय आवृत्ति है।

SHM में वेग का समीकरण समीकरण (i) का अवकलन करके दिया गया है

v = dx/dt = d (A Cos(ωt+ϕ)) / dt

v = - Aω Sin(ωt+ϕ)

जहां v किसी भी समय t पर वेग है, A आयाम है, t समय है, और ω कोणीय आवृत्ति है।

उसी प्रकार वेग के समीकरण का समाकलन करके विस्थापन के समीकरण को वेग के समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है ।

गणना:

v = - Aω Sin(ωt+ϕ)

त्वरण निम्न द्वारा दिया गया है:

a = dv/dt = d (- Aω Sin(ωt+ϕ))/dt = –ω2A cos(ωt + φ)।

तो विकल्प 1 सही है।

धारणा:

• सरल आवर्त गति (SHM) : सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवधिक गति या दोलन है, जहाँ पुनर्स्थापन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है।
• • उदाहरण: एक अनवमंदित लोलक की गति,अनवमंदित स्प्रिंग -द्रव्यमान प्रणाली।

बल (F) = - k x

त्वरण (a) = - (k/m) x

जहाँ a त्वरण है, x प्रणाली की साम्यावस्था स्थिति से इसका विस्थापन है, m प्रणाली का द्रव्यमान है और k प्रणाली से जुड़ा नियतांक है।

व्याख्या:

• सरल आवर्त गति में त्वरण संदर्भ बिंदु से दूरी के समानुपाती होता है और उसकी ओर निर्देेशित होता है।

अवधारणा:

• साधारण हार्मोनिक गति तब होती है जब प्रत्यानयन बल संतुलन से  विस्थापन के समान आनुपातिक होता है।

F α -x

जहाँ F = बल और  x =संतुलन से विस्थापन।

•  एक सरल हार्मोनिक गति के लिए त्वरण का समीकरण है-

a = -ω²x

जहां a त्वरण है ω कोणीय आवृत्ति और x विस्थापन है।

• समय अवधि (T): एक दोलन पूरा करने में लगने वाला समय।

समयावधि (T) और आवृत्ति (f) के बीच का संबंध इस प्रकार है:

\(f=\frac{1}{T}\)

• SHM की कोणीय आवृत्ति (ω) निम्न द्वारा दी जाती है:

\(\omega=\frac{2π}{T}\)

जहाँ T  समय है

गणना

दिया गया है:

गति का समीकरण a = -bx,

जहां a त्वरण है, x माध्य स्थिति से विस्थापन है और b कोई स्थिरांक है।

इसकी तुलना त्वरण के समीकरण a = -ω2x से करने पर-

ω2 = b

ω = √b

\(T=\frac{2π}{\omega}\)

\(T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{b}}\)

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा

सरल आवर्त गति या SHM एक विशिष्ट प्रकार का दोलन है, जिसमें प्रत्यानयन बल कण के माध्य स्थिति से विस्थापन के अनुक्रमानुपाती होता है।

• SHM का वेग, \(v = ω \sqrt{A^2- x^2}\)
• जहाँ, x = कण का माध्य स्थिति से विस्थापन,
• A = माध्य स्थिति से कण का अधिकतम विस्थापन
• ω = कोणीय आवृत्ति

गणना:

SHM का वेग, \(v = ω \sqrt{A^2- x^2}\) --- (1)

इसकी माध्य स्थिति x = 0 पर,

मान को समीकरण 1 में रखने पर,

⇒ \(v = ω \sqrt{A^2- 0^2}\)

⇒ v = ωA, जो अधिकतम है।

अतः माध्य स्थिति पर वेग अधिकतम होता है।

चरम स्थिति में, x = ± A, v = 0

अत: चरम स्थिति पर वेग न्यूनतम या शून्य होता है।​Additional Information 

• त्वरण, a = ω2x
• चरम स्थिति में त्वरण अधिकतम होता है, x = ± A
• माध्य स्थिति में त्वरण न्यूनतम या शून्य होता है, a = 0

अवधारणा:

• सरल आवर्त गति (SHM) : सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवधिक गति या दोलन है, जहाँ प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है।

बल (F) = - k x

जहां k = प्रत्यानयन बल, x = साम्यावस्था की स्थिति से दूरी, F = माध्य स्थिति की ओर अनुभव किया गया बल

• उदाहरण: एक अनवमंदित लोलक की गति,अनवमंदित स्प्रिंग -द्रव्यमान प्रणाली।

व्याख्या:

• सरल आवर्त गति निम्न द्वारा दर्शाई जाती है,

⇒ x = A cos(ωt + φ)

जहां A = आयाम, ω = कोणीय आवृत्ति, x =विस्थापन और φ = कला नियतांक

अवधारणा:

• तरंग: यह एक विक्षोभ है जो ऊर्जा को एक स्थान से दूसरे स्थान पर स्थानांतरित करता है।
• SHM (सरल आवर्त गति): दोलनशील गति का प्रकार जिसमें प्रणाली पर प्रत्यानयन बल प्रणाली के विस्थापन के समानुपाती होता है, SHM कहलाता है।

सरल आवर्त समीकरण के लिए सामान्य अभिव्यक्ति निम्न द्वारा दी गई है:

X = A Sin (ω t)

जहां A, SHM का आयाम है,ω कोणीय आवृत्ति है और t समय है

किसी भी स्थिति में एक कण का वेग (V) निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(V = \omega \sqrt {{A^2} - {x^2}}\)

किसी भी स्थिति में कण का त्वरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

त्वरण (a) = ω2 x

व्याख्या:

• उपरोक्त आकृति से हम देख सकते हैं कि, माध्य स्थिति में, S.H.M का आयाम शून्य है

अर्थात माध्य स्थिति पर x = A = 0 जबकि x = A चरम स्थिति पर।

• कण का त्वरण माध्य स्थिति बिन्दु (x = 0) पर न्यूनतम होगा।

अधिकतम त्वरण(a) = ω2 x = 0

• कण का वेग माध्य स्थिति पर अधिकतम होगा(x = 0)।

\(Maximum\;velocity\;\left( V \right) = \omega \;\sqrt {{A^2} - {x^2}\;} = \omega \;\sqrt {{A^2} - {0^2}} = \omega \;A\)

• इसलिए विकल्प 2 सही है।

संकल्पना: 

• सरल हार्मोनिक गति (SHM):  सरल हार्मोनिक गति एक विशेष प्रकार की आवर्ती गति या दोलन है जहाँ पुनःस्थापन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्यरत होता  है। 
  • उदाहरण: अनवमंदित दोलक की गति,अनवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली

 shm का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है:

X = A Sin (ω t + θ)

जहाँ  A आयाम, ω कोणीय आवृत्ती, t समय और θ प्रारंभिक फेज कोण या फेज स्थिरांक है।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है:

x = √2 sin(ωt – π/4) = √2 sin( 2π + ωt – π/4) = √2 sin(ωt + 2π - π/4) = √2 sin(ωt + 7π/4)
इस प्रकार x = √2 sin(ωt + 7π/4)

फेज स्थिरांक = 7π/4

इसलिए विकल्प 4 सही है।

संकल्पना:

• सरल हार्मोनिक गति (SHM): सरल हार्मोनिक गति एक विशेष प्रकार की आवधिक गति या दोलन होता है, जहाँ विस्थापन पुनःस्थापन बल के समानुपातिक होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्यरत होता है।
  • उदाहरण: अनवमंदित दोलक की गति,अनवमंदित स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली
• अवधि(T): एक कण द्वारा परिक्रमा पूरा करने में लगने वाला समय अवधि कहलाता है। 

सरल हार्मोनिक गति करनेवाली एक स्प्रिंग ब्लाॅक प्रणाली की अवधि (T) निम्न द्वारा दी जाती है:

यहाँ बल (F) ब्लाॅक के वजन (mg) के बराबर होता है। 

ma = -k x

a = -(k/m) x

\({\mathbf{T}} = 2\;{\mathbf{π }}\;\sqrt {\frac{{\mathbf{m}}}{{\mathbf{k}}}} \)

जहाँ m द्रव्यमान और k स्प्रिंग स्थिरांक है।

स्पष्टीकरण: 

सरल हार्मोनिक गति की अवधि निम्न द्वारा दी जाती है

T = 2π √(m/k)

इसलिए विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

• सरल आवर्त गति (SHM) : सरल आवर्त गति एक विशेष प्रकार की आवधिक गति या दोलन है, जहाँ प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती होता है और विस्थापन के विपरीत दिशा में कार्य करता है।
• उदाहरण: एक अनवमंदित लोलक की गति,अनवमंदित स्प्रिंग -द्रव्यमान प्रणाली।

SHM का समीकरण है:

Y = A Sin (ω t + θ)

जहां A आयाम है, ω कोणीय आवृत्ति, t समय है और θ प्रारंभिक कला कोण है

व्याख्या:

दिया गया है

Y₁ = 12 Sin (50 t + π/2)

कला कोण (θ₁) = π/2

Y₂ = 12 Sin (50 t + π/3)

कला कोण (θ₂) = π/3

कला अंतर (Δ θ) = θ₁ – θ₂ = π/2 – π/3 = π/6