Series Resonance MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Series Resonance - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गुणता कारक

एक अनुनादी श्रेणी परिपथ में, गुणता कारक (Q) इस बात का माप है कि सिस्टम कितना कम अवमंदित है और अनुनाद कितना तेज है।

यह दिया गया है:

\(QF={1\over R}\sqrt{L\over C}={\omega_oL\over R}\)

उपरोक्त व्यंजक से, यह देखा जाता है कि गुणता कारक धारिता के व्युत्क्रमानुपाती है।

यदि एक श्रेणीबद्ध RLC परिपथ में धारिता बढ़ाई जाती है, तो Q-गुणांक घटेगा।

संप्रत्यय

एक अनुनादी श्रेणी परिपथ में, गुणता कारक (Q) यह माप है कि सिस्टम कितना कम अवमंदित है और अनुनाद कितना तेज है।

यह दिया गया है:

\(QF={ω_o\over BW}\)

जहाँ, ω_o = अनुनाद आवृत्ति

BW = बैंडविड्थ

गणना

दिया गया है, QF = 100

ω_o = 1 MHz

\(100={10^6\over BW}\)

BW = 1kHz

अवधारणा

एक अनुनादी श्रेणी परिपथ में, गुणता कारक (Q) इस बात का माप है कि सिस्टम कितना कम अवमंदित है और अनुनाद कितना तीव्र है।

यह दिया गया है:

\(QF={1\over R}\sqrt{L\over C}={\omega_oL\over R}\)

इस तरह के परिपथ में वोल्टेज आवर्धन गुणता कारक Q Q" id="MathJax-Element-4-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Q$Q$ $Q$ के समानुपाती होता है। जब Q बढ़ता है, तो यह कम ऊर्जा हानि (मुख्य रूप से कम प्रतिरोध के कारण) को इंगित करता है, और परिणामस्वरूप, अनुनाद पर प्रेरक या संधारित्र में वोल्टेज आपूर्ति वोल्टेज से काफी अधिक हो जाता है, अधिक वोल्टेज आवर्धन दिखाता है।

गणना:
LC परिपथ के गुणता कारक (Q) का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

Q = (1 / R) × √(L / C)

जहाँ:

• R = प्रतिरोध = 100 Ω
• L = प्रेरकत्व = 80 mH = 80 × 10^-3 H
• C = धारिता = 2 μF = 2 × 10^-6 F

सूत्र में मान प्रतिस्थापित करने पर:

Q = (1 / 100) × √((80 × 10-3) / (2 × 10-6))

Q = (1 / 100) × √(40 × 103)

Q = (1 / 100) × 200

Q = 2

परिपथ का गुणता कारक 2 है।

व्याख्या:

विद्युत परिपथों में अनुनाद

परिभाषा: विद्युत परिपथों में अनुनाद तब होता है जब प्रेरकीय प्रतिघात और धारितीय प्रतिघात परिमाण में समान होते हैं लेकिन कला में विपरीत होते हैं, जिससे वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इसके परिणामस्वरूप परिपथ प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक होती है, जिसे अनुनादी आवृत्ति के रूप में जाना जाता है। अनुनाद पर, परिपथ अधिकतम दक्षता के साथ प्रेरक और संधारित्र के बीच ऊर्जा का भंडारण और स्थानांतरण कर सकता है, जिससे धारा या वोल्टेज में उल्लेखनीय वृद्धि होती है।

कार्य सिद्धांत: R-L-C परिपथ (जहाँ R प्रतिरोध, L प्रेरकत्व और C धारिता के लिए है) में अनुनाद तब प्राप्त होता है जब प्रेरकीय प्रतिघात (X_L) और धारितीय प्रतिघात (X_C) समान होते हैं। अनुनाद की स्थिति को गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

X_L = X_C

चूँकि प्रेरकीय प्रतिघात (X_L) दिया गया है:

X_L = 2πfL

और धारितीय प्रतिघात (X_C) दिया गया है:

X_C = 1 / (2πfC)

जहाँ f AC आपूर्ति की आवृत्ति है, L प्रेरकत्व है, और C धारिता है। अनुनाद पर:

2πfL = 1 / (2πfC)

अनुनादी आवृत्ति (f₀) के लिए हल करना:

f₀ = 1 / (2π√LC)

इस आवृत्ति पर, परिपथ की कुल प्रतिबाधा न्यूनतम होती है यदि यह एक श्रेणी R-L-C परिपथ है या अधिकतम होती है यदि यह एक समानांतर R-L-C परिपथ है, और परिपथ अनुनादी व्यवहार प्रदर्शित करता है।

सही विकल्प विश्लेषण:

सही विकल्प है:

विकल्प 2: R-L-C समानांतर

यह विकल्प सही ढंग से एक परिपथ की पहचान करता है जहाँ अनुनाद हो सकता है। एक R-L-C समानांतर परिपथ में, प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक विशिष्ट आवृत्ति पर एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं, जिससे अनुनाद की स्थिति उत्पन्न होती है। इसके परिणामस्वरूप अनुनादी आवृत्ति पर उच्च प्रतिबाधा होती है, और परिपथ महत्वपूर्ण वोल्टेज आवर्धन प्रदर्शित कर सकता है।

एक समानांतर R-L-C परिपथ में, कुल स्वीकार्यता (Y) व्यक्तिगत स्वीकार्यताओं के योग द्वारा दी जाती है:

Y = Y_R + Y_L + Y_C

जहाँ:

Y_R = 1 / R

Y_L = 1 / (jωL)

Y_C = jωC

अनुनाद पर, प्रेरकीय सुग्राह्यता (B_L) और धारितीय सुग्राह्यता (B_C) एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं:

B_L = -B_C

इसके परिणामस्वरूप कुल सुग्राह्यता शून्य हो जाती है और कुल स्वीकार्यता विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक होती है, जिससे अनुनाद होता है।

महत्वपूर्ण जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: R-L श्रेणी

R-L श्रेणी परिपथ में अनुनाद नहीं हो सकता क्योंकि इसमें धारितीय घटक का अभाव है। अनुनाद के लिए प्रेरकत्व और धारिता दोनों की आवश्यकता होती है ताकि एक ऐसी स्थिति बन सके जहाँ प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त कर सकें। संधारित्र के बिना, यह संतुलन प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

विकल्प 3: R-C श्रेणी

इसी प्रकार, R-C श्रेणी परिपथ में अनुनाद नहीं हो सकता क्योंकि इसमें प्रेरकीय घटक का अभाव है। अनुनाद के लिए प्रेरकत्व और धारिता दोनों की आवश्यकता होती है ताकि ऐसी स्थिति प्राप्त हो सके जहाँ प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघात एक-दूसरे को निरस्त कर सकें। प्रेरक के बिना, यह संतुलन प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

विकल्प 4: R-L समानांतर

R-L समानांतर परिपथ में भी अनुनाद नहीं हो सकता क्योंकि इसमें धारितीय घटक का अभाव है। श्रेणी परिपथों की तरह, अनुनाद की स्थिति प्राप्त करने के लिए प्रेरकत्व और धारिता दोनों की आवश्यकता होती है। संधारित्र की अनुपस्थिति का मतलब है कि प्रेरकीय और धारितीय प्रतिघातों के बीच आवश्यक संतुलन स्थापित नहीं किया जा सकता है।

निष्कर्ष:

विद्युत परिपथों में अनुनाद को समझना उन परिपथों को डिजाइन करने के लिए महत्वपूर्ण है जो विशिष्ट आवृत्तियों पर कुशलतापूर्वक ऊर्जा का भंडारण और स्थानांतरण कर सकते हैं। दिए गए विकल्पों के संदर्भ में, R-L-C समानांतर परिपथ सही विकल्प है जहाँ अनुनाद हो सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसमें प्रेरकीय और धारितीय दोनों घटक शामिल हैं, जो अनुनाद की स्थिति प्राप्त करने के लिए आवश्यक हैं। अन्य विकल्पों का विश्लेषण करके, यह स्पष्ट हो जाता है कि प्रेरकीय या धारितीय घटक की अनुपस्थिति उन परिपथों में अनुनाद को असंभव बना देती है।

अवधारणा:

श्रृंखला LCR परिपथ में, अनुनाद एक ऐसी स्थिति है जिसमें प्रेरक प्रतिघात और धारिता प्रतिघात समान और अवस्थित होता है।

विपरीत फेज में, इसलिए एक दूसरे को रद्द करें। केवल, प्रतिरोध, प्रतिबाधा के रूप में बना रहता है।

जिस आवृत्ति पर श्रृंखला LCR परिपथ अनुनाद में जाती निम्न है

\(f = \frac{1}{{2π }}\sqrt {\frac{1}{{LC}}}\)

अनुनाद पर, श्रृंखला LCR परिपथ का प्रतिबाधा न्यूनतम है और इसलिए धारा अधिकतम है।

एक श्रृंखला LCR परिपथ निम्न रूप में दिखाया गया है

फेज आरेख नीचे दिखाया गया है

अनुनाद पर, XL = XC, यानी प्रेरक और संधारित्र के पार वोल्टेज समान और विपरीत होते हैं। अनुनादी आवृत्ति पर अनुनादी फेजर आरेख निम्न प्रकार होगा।

प्रतिबाधा - आवृत्ति वक्र नीचे दिखाया गया है:

अवधारणा :

RLC series circuit:

एक श्रेणी RLC परिपथ के लिए शुद्ध प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है:

Z = R + j (XL - XC)

XL = निम्न द्वारा दिया गया प्रेरणिक प्रतिघात:

XL = ωL

XC = निम्न द्वारा दिया गया संधारित प्रतिघात:

XL = 1/ωC

ω = 2 π f

ω = angular frequency

f = linear frequency

प्रतिबाधा का परिमाण निम्नानुसार है:

\(|Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

\(V = \sqrt {V_1^2 + {{\left( {{V_2} - {V_3}} \right)}^2}} \)

Where, V1 = voltage across the resistor

V2 = voltage across the inductor

V3 = voltage across the capacitor

V = resultant voltage

श्रेणी RLC परिपथ के पार बहने वाली धारा होगी:

\(I=\frac{V}{|Z|}\)

अनुनाद पर XL = XC, जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध प्रतिबाधा न्यूनतम होनी चाहिए। यह अंततः के अधिकतम धारा के प्रवाह में परिणत होता है:

∴ \(I=\frac{V}{R}\)

गणना:

V1 = 100 V, V2 = 50 V, V3 = 50 V 

V2 = V3 (जैसा कि प्रश्न में दिया गया डेटा)

तो, परिपथ श्रेणी अनुनाद में है।

V = V1 = 100 V

स्रोत वोल्टता 100 V है

अवधारणा:

एक श्रेणी अनुनादी परिपथ में,

बैंडविड्थ (BW) \(= \frac{{{f_r}}}{Q} = {f_H} - {f_L} = \frac{R}{L}\)

जहाँ, fr अनुनादी आवृत्ति है

Q गुणवत्ता कारक है

fH उच्च अर्ध शक्ति आवृत्ति है

fL निम्न अर्ध शक्ति आवृत्ति है

अनुनादी आवृत्ति (fr) होती है:

\(f_r= \frac{1}{{2\pi \sqrt {LC} }} = \sqrt {{f_H}{f_L}}\)

गणना:

दिया गया है कि,

उच्च अर्ध शक्ति आवृत्ति (fH) = 90 kHz

निम्न उच्च अर्ध शक्ति आवृत्ति (fL) = 10 kHz

बैंडविड्थ (BW) = fH – fL = 90 – 10 = 80 kHz

अनुनादी आवृत्ति (fr) होगी:

\(= \sqrt {{f_H}{f_L}} = \sqrt {90 \times 10} = 30\;kHz\)

गुणवत्ता कारक Q = fr / BW = 30 / 80 = 0.375

संकल्पना:

1. नीचे दी गयी आकृति में दर्शाये गए जानकारी पर विचार कीजिए।

2. श्रृंखला RLC परिपथ के लिए ωr, ωL और ωU या \({{\rm{ω}}_{{\rm{U}}}} = \frac{{{\rm{ω}}_r^2}}{{{{\rm{ω}}_{\rm{L}}}}}\;\)का ज्यामितीय माध्य है। 

3. ऊपरी और निचले विच्छेद आवृत्तियों पर परिपथ के माध्यम से प्रवाहित होने वाली धारा I₀ का 70.7% होता है क्योंकि इन आवृत्ति पर Z = √ 2 R है।

4. अनुनादी आवृत्ति पर परिपथ शुद्ध रूप से प्रतिरोधी परिपथ के रूप में व्यवहार करता है और इसलिए वोल्टेज और धारा समान चरण में हैं। साथ ही शक्ति गुणांक एकल हो जाता है।

विश्लेषण:

1. बिंदु A और B पर परिपथ के माध्यम से प्रवाहित होने वाली धारा I0 का 70.7% होता है क्योंकि इन आवृत्ति पर Z = √ 2 R है।

चूँकि हम जानते हैं कि शक्ति गुणांक = cos ϕ = \(\dfrac{R}{Z}\) = 0.707

ϕ = 45° इसलिए विकल्प 1 सही है।

2. वक्र अनुनाद आवृत्ति के प्रति सममित है

 ωU - ωr =  ωr - ωL

 अतः विकल्प 2 गलत है।

3. अनुनादी आवृत्ति पर परिपथ शुद्ध रूप से प्रतिरोधी परिपथ के रूप में व्यवहार करता है इसलिए वोल्टेज और धारा समान चरण में हैं। साथ ही शक्ति गुणांक एकल हो जाता है।

4. ω > ω_r के लिए X_L > X_C है, इसलिए परिपथ प्रेरणिक परिपथ के रूप में व्यवहार करता है।

ω < ωr के लिए XL < XC है, इसलिए परिपथ धारिता परिपथ के रूप में व्यवहार करता है।

RLC  श्रृंखला परिपथ:

एक RLC परिपथ प्रेरक (L), संधारित्र (C), प्रतिरोधक (R) वाले एक विद्युतीय परिपथ होती है, इसे या तो समानांतर या श्रृंखला में जोड़ा जा सकता है। 

जब RLC परिपथ को अनुनादी (XL = XC) के लिए निर्दिष्ट किया जाता है, तो अनुनादी आवृत्ति को निम्न रूप में व्यक्त किया गया है

\(f = \dfrac{1}{{2π }}\sqrt {\dfrac{1}{{LC}}}\;Hz\)

\(\omega = \sqrt {\dfrac{1}{{LC}}}\;rad/sec\)

गुणवत्ता कारक:

गुणवत्ता कारक Q को अनुनादी आवृत्ति और बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

\(Q=\frac{{{f}_{r}}}{BW}\)

गणितीय रूप से, एक कुण्डल के लिए गुणवत्ता कारक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(Q=\frac{{{\omega }_{0}}L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\)

जहाँ, 

XL और XC = क्रमशः प्रेरक और संधारित्र की प्रतिबाधा 

L, R और C = क्रमशः प्रेरकत्व, प्रतिरोध और धारिता

fr = आवृत्ति 

ω0 = कोणीय अनुनाद आवृत्ति 

गणना:

दिया गया है, L = 20 mH = 20 × 10-3 H

C = 200 μF = 200 × 10-6 F

सही उत्तर विकल्प 4 है।

संकल्पना: 

RLC परिपथ का अर्थ प्रतिरोध (R), प्रेरकत्व (L), और संधारित्र (C) की श्रृंखला या समानांतर संयोजन है।

एक श्रृंखला परिपथ नीचे दिया गया है।

चूंकि यह उल्लेख किया गया है कि परिपथ एक क्षय-मुक्त परिपथ है, धारा एक LC श्रृंखला परिपथ के समान व्यवहार करेगी अर्थात एक अनवमंदित ज्यावक्रीय तरंग को देखा जाएगा।

एक क्षय रहित परिपथ में, ऊर्जा L और C के बीच स्थानांतरित होती रहती है।

 Important Pointsयदि स्थिति क्षय हो रहे RLC श्रृंखला परिपथ का होता तो धारा में एक अवमंदित ज्यावक्रीय समीकरण होता।

एक श्रेणी RLC परिपथ के लिए शुद्ध प्रतिबाधा इसके द्वारा दी गई है:

Z = R + j (XL - XC)

XL = निम्न द्वारा दिया गया प्रेरणिक प्रतिघात:

XL = ωL

XC = निम्न द्वारा दिया गया संधारित प्रतिघात:

XL = 1/ωC

प्रतिबाधा का परिमाण निम्नानुसार है:

\(|Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}\)

अनुनाद पर XL = XC, 

|Z| = R

इसलिए, अनुनाद पर प्रतिबाधा |Z| = R = 0.5 kΩ है

ध्यान दें:

\(I=\frac{V}{|Z|}\)

∴ \(I=\frac{V}{R}\)

अतः प्रतिबाधा अनुनाद पर न्यूनतम इसलिए धारा अधिकतम होती है।

श्रेणी RLC परिपथ में श्रेणी अनुनाद परिपथ के लिए धारा (I) बनाम आवृत्ति (f) आरेख नीचे दिखाया गया है : -

ऊपर से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: -

• किसी भी परिपथ में होने वाले अनुनाद के लिए इसमें कम से कम एक प्रेरक और एक संधारित्र होना चाहिए।
• अनुनाद एक परिपथ में दोलनों का परिणाम है क्योंकि संचित ऊर्जा को प्रेरक से संधारित्र तक पारित किया जाता है।
• अनुनाद तब होता है जब XL = XC और स्थानांतरण फलन का काल्पनिक भाग शून्य होता है।
• अनुनाद पर परिपथ की प्रतिबाधा प्रतिरोध मान के बराबर होती है जैसे Z = R।
• कम आवृत्तियों पर श्रेणी परिपथ संधारित होता है जैसे XC > XL, यह परिपथ को एक अग्रगामी शक्ति गुणक देता है।
• उच्च आवृत्तियों पर श्रेणी परिपथ प्रेरणिक होता है जैसे XL > XC यह परिपथ को एक पश्चगामी शक्ति गुणक देता है।
• अनुनाद पर धारा का उच्च मूल्य, प्रेरक और संधारित्र के पार वोल्टेज के बहुत उच्च मूल्यों का उत्पादन करता है।
• क्योंकि प्रतिबाधा न्यूनतम है और धारा अधिकतम है, श्रेणी अनुनाद परिपथों को स्वीकारकर्ता परिपथ भी कहा जाता है।

अवधारणा:

एक LC परिपथ को इस प्रकार दर्शाया गया है:

यह एक विशेष आवृत्ति है जिस पर परिपथ दोलन करेगा, अनुनाद आवृत्ति निम्न द्वारा दी जाता है

\(f_{0}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)

अनुप्रयोग:

L के एक निश्चित मान के लिए, अनुनादी आवृत्ति निम्न के लिए आनुपातिक है

\(f_{0}\propto\frac{1}{\sqrt{C}}\)

अनुनादी आवृत्ति को दोगुना करने के लिए, C को 1/4 (चौथाई) तक घटाया जाना चाहिए, यानी C' = C/4के लिए f0 बनता है 

f'₀ = 2 f₀

कॉन्सेप्ट:

अनुनाद पर, केवल प्रतिरोध ही मौजूद रहेगा (क्योंकि प्रेरणिक और धारिता प्रतिघात दोनों समान होंगे), जिसके कारण पूर्ण शक्ति केवल प्रतिरोध को वितरित होगी।

इसलिए , शक्ति \(P = \frac{{{V^2}}}{R}\;W\)

एक अनुनादी परिपथ की बैंडविड्थ उच्च क्रियांत आवृत्ति और निम्न क्रियांत आवृत्ति के बीच का अंतर होता है (आवृत्ति होने के कारण क्रियांत आवृत्ति पर शक्ति, अधिकतम शक्ति की आधी होती है)।

श्रेणी RLC परिपथ के लिए, बैंडविड्थ की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(B = \frac{{{\omega _o}}}{Q}\)

जहाँ Q = गुणवत्ता गुणक है और इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

\(Q = \frac{{{\omega _o}L}}{R}\)

इन दोनों समीकरणों से, बैंडविड्थ की गणना इस प्रकार की जाती है:

\(B = \frac{R}{L}\)

गणना:

दिया गया है, अनुनादी आवृत्ति (f₀) = 1.5 kHz

बैंडविड्थ  (BW) = 0.75 kHz

वोल्टेज (V) = 50 V

शक्ति (P) = 50 W

\(R = \frac{{{V^2}}}{P} = 50\;{\Omega}\)

B.W.(radians) = R/L

B.W.(Hertz) = \(\frac{R}{2\pi L}\)

Key Points

अनुनाद वक्र के अर्ध-शक्ति (घातांक) बिंदुओं में धारा का मान अधिकतम धारा का 0.707 गुना होता है।​

अर्ध-शक्ति (घातांक) के संबंध में महत्वपूर्ण बिंदु हैं:

• धारा I_max/√2 है। 
• प्रतिबाधा √2 R या √2 Z_min है। 
• परिपथ का कला कोण → ±45° or π/4 rad है।