Properties MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Properties - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक समांतर श्रेढ़ी में, nवाँ पद दिया जाता है:

T_n = a + (n - 1)d

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में, पद निम्न संबंध को संतुष्ट करते हैं:

T_m² = T_n × T_p

गणना:

मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी के 5वें, 7वें और 13वें पद क्रमशः T₅, T₇ और T₁₃ हैं।

⇒ T₅ = a + 4d

⇒ T₇ = a + 6d

⇒ T₁₃ = a + 12d

चूँकि पद गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं:

⇒ T₇² = T₅ × T₁₃

⇒ (a + 6d)² = (a + 4d) × (a + 12d)

दोनों पक्षों का प्रसार करने पर:

⇒ (a + 6d)² = a² + 12ad + 48d²

⇒ a² + 12ad + 36d² = a² + 12ad + 48d²

उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर:

⇒ 36d² = 48d²

⇒ -12d² = 0

d² से भाग देने पर (यह मानते हुए कि d ≠ 0):

⇒ a = -3d

निष्कर्ष:

∴ प्रथम पद का सार्व अंतर से अनुपात है:

⇒ a/d = -3

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं तो

•  b - a = c - b
•  2b = a + c

गणना:

दिया गया है, a, b, c समांतर श्रेणी में हैं

⇒ 2b = a + c ---- (i)

कथन I की जांच करने पर

अब,  +  = 

⇒  +  =   [(i) से ]

⇒  +  = 

⇒  ,  और  एक समांतर श्रेणी में हैं।

इसलिए, कथन I सत्य है।

कथन II की जांच करने पर

मान लीजिये b + c, c + a और  a + b  समांतर श्रेणी में हैं।

∴ 2(c + a) = b + c + a + b

2c + 2a =  2b + c + a

c + a = 2b

⇒ 2b = a + c 

इसलिए a, b, c समांतर श्रेणी में हैं

अत: हमारा अनुमान सही था

इसलिए, कथन II भी सत्य है।

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

संकल्पना:

• जब किसी श्रेणी में किन्हीं दो क्रमागत संख्याओं का अंतर समान होता है, तो वे समांतर श्रेणी या AP में होते हैं। AP का एक उदाहरण 1, 3, 5 ...है। 
• श्रेणी की इन दो क्रमागत संख्याओं के बीच के अंतर को सार्व अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर d से दर्शाया जाता है।
• दो संख्याओं a और b के समांतर माध्य का सूत्र  है। 
• यदि दो संख्याओं a और b के बीच n समांतर माध्य हैं, तो संख्याएँ और संख्याओं का समांतर माध्य AP में हैं जहां पहली संख्या a है और अंतिम संख्या b है।

गणना:

दिया गया है, A दो संख्याओं के बीच का समांतर माध्य है और S समान संख्याओं के बीच n समांतर माध्य का योग है।

मान लीजिए कि a और b विचाराधीन दो संख्याएं हैं। फिर सूत्र के अनुसार, दो संख्याओं के बीच समांतर माध्य 

पुनः, सूत्र के अनुसार, समान संख्याओं a और b के बीच n समांतर माध्यों का योग   है। 
क्योंकि सभी n समांतर माध्य AP में हैं।

संकल्पना:

यदि a, b, c समांतर श्रेणी में हैं तो

•  b - a = c - b
•  2b = a + c

गणना:

दिया गया है, a, b, c समांतर श्रेणी में हैं

⇒ 2b = a + c ---- (i)

कथन I की जांच करने पर

अब, + =

⇒ + =   [(i) से ]

⇒ + =

⇒ , और एक समांतर श्रेणी में हैं।

इसलिए, कथन I सत्य है।

कथन II की जांच करने पर

मान लीजिये  , और समांतर श्रेणी में हैं।

उपयोग की गई संकल्पना के अनुसार

⇒

⇒

⇒

⇒ b - a = c - b

⇒ 2b = a + b

इसलिए a, b, c समांतर श्रेणी में हैं

अत: हमारा अनुमान सही था

. , और   समांतर श्रेणी मे हैं।

इसलिए, कथन II सही है।

∴ सही उत्तर विकल्प (3) है।

दिया गया :

AP के (m + 1)वें, (n + 1)वें और (r + 1)वें पद GP में हैं

m, n, r HP में हैं

प्रयुक्त सूत्र:

1. AP का nवाँ पद = a + (n-1)d
2. यदि a, b और c HP में हैं तो
3. यदि a, b और c GP में हैं तो b² = ac

गणना:

दिया गया है कि एक AP के (m + 1)वें, (n + 1)वें और (r + 1)वें पद हैं

⇒ Tm+1 = a + md       ---- (1)

⇒ Tn+1 = a + nd         ---- (2)

⇒ Tr+1 = a + rd          ---- (3)

जैसे, m, n, r HP में हैं। फिर

-----(2

चूँकि, Tm+1,  Tn+1, Tr+1  GP में हैं, इसलिए,

⇒ (a + nd)2 = (a + md)(a + rd)

हम जानते हैं कि, (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 

⇒ a2 + n2d2 + 2and = a2 + ard + amd + rmd2 

⇒ ad(2n - r - m) = d2(mr - n2)

⇒

समीकरण (4) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

फिर से, समीकरण (4) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

∴ आवश्यक मान के बराबर है।

प्रयुक्त सूत्र:

• C(n,r) =

• यदि a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं तो 2b = a + c

​गणना:

प्रश्न के अनुसार C(n, 4), C(n, 5) और C(n, 6) समान्तर श्रेणी में हैं

2 C(n, 5) = C(n, 4) + C(n, 6) 

⇒ 2 ×  =  + 

⇒ 

⇒ 

⇒ 6(2n - 13) = n2 + 20 - 9n

⇒ n2 - 21n + 98 = 0

⇒ n = 14, 7

∴ n का मान 7 है।

अवधारणा:

• यदि a, b, c समान्तर श्रेढ़ी में हैं ⇔ 2b = a + c
• यदि a, b, c गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं ⇔ b² = ac
• यदि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में हैं ⇔ b = 

समान्तर श्रेढ़ी के गुण:

• यदि एक समान्तर श्रेढ़ी  के प्रत्येक पद में एक नियत मात्रा जोड़ी या घटा दी जाती है, तो अनुक्रम के परिणामी पद भी समान्तर श्रेढ़ी में होते हैं।
• यदि समान्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद को गैर-शून्य नियत मात्रा से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो अनुक्रम के परिणामी पद भी समान्तर श्रेढ़ी में होते हैं।
• पदों की एक परिमित संख्या की समान्तर श्रेढ़ी में प्रारंभ और अंत से समदूरस्थ किसी भी दो पदों का योग पहले और अंतिम पदों के योग के बराबर होता है।

गणना:

दिया है:

b², a², c² समान्तर श्रेढ़ी में हैं।

जैसा कि हम जानते हैं, यदि समान्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद में एक नियत मात्रा जोड़ी जाती है तो परिणामी पद समान्तर श्रेढ़ी में भी होते हैं।

प्रत्येक पद में ab + ac + bc जोड़कर

b² + ab + ac + bc, a² + ab + ac + bc, c² + ​ab + ac + bc समान्तर श्रेढ़ी में हैं।

⇒ b(b+ a) + c(a + b), a(a + b) + c(a + b), c(c + a) + b (c + a) समान्तर श्रेढ़ी में हैं

⇒ (a + b)(b + c), (a + b)(a + c), (c + a)(c + b) समान्तर श्रेढ़ी में हैं

प्रत्येक पद को (a + b) (b + c) (c + a) से विभाजित करके

समान्तर श्रेढ़ी में हैं

इसलिए c + a, b + c , a + b हरात्मक श्रेढ़ी में हैं

या a + b, b + c, c + a हरात्मक श्रेढ़ी में हैं

संकल्पना:

समांतर श्रेणी (AP): संख्याओं का वह अनुक्रम जहाँ किसी भो दो क्रमागत पदों का अंतर समान होता है, उसे समांतर श्रेणी कहा जाता है।

• यदि तीन संख्याएँ a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं तो b - a = c - b ⇒ 2b = a + c हैं।

ज्यामितिय श्रेणी (GP): संख्याओं की वह श्रृंखला जहाँ किसी दो क्रमागत पदों का अनुपात समान होता है, उसे ज्यामितीय श्रेणी कहा जाता है।

• यदि तीन संख्याएँ a, b और c ज्यामितीय श्रेणी में हैं तो ⇒ b2 = ac।

हरात्मक श्रेणी (HP): संख्याओं की श्रृंखला जहां पदों के पारस्परिक समान्तर श्रेणी में हैं, उन्हें हरात्मक श्रेणी कहा जाता है।

• यदि तीन संख्याएँ a, b और c हरात्मक श्रेणी में हैं तो ।

गणना:

मान लीजिए कि दूसरी डिग्री बहुपद f(x) = px² + qx + r है।

दी गई जानकारी से:

f(1) = f(-1)

⇒ p(1)2 + q(1) + r = p(-1)2 + q(-1) + r

⇒ p + q = p - q

⇒ 2q = 0

⇒ q = 0

∴ f(x) = px2 + 0(x) + r

⇒ f(x) = px2 + r

और, f'(x) = 2px।

अब, f'(a) = 2pa, f'(b) = 2pb और f'(c) = 2pc।

चूंकि a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं, हमारे पास हैं:

2b = a + c।

2p से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

(2p)2b = (2p)a + (2p)c

⇒ 2(2pb) = 2pa + 2pc

⇒ 2pa, 2pb और 2pc समान्तर श्रेणी में हैं।

⇒ f'(a), f'(b) और f'(c) समान्तर श्रेणी में हैं ।

संकल्पना:

यदि a,b, c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c या b - a = c - b है। 

गणना:

दिया गया है: a, b, c समांतर श्रेणी में हैं

माना कि 1/ab, 1/ca और 1/bc समांतर श्रेणी में हैं। 

⇒

⇒ b - c = a - b 

⇒2b = a + c

⇒ a,b, c समांतर श्रेणी में हैं, जो सत्य है। 

संकल्पना:

यदि a, b, c समांतर श्रेणी में है, तो 2b = a + c या b - a = c - b है। 

गणना:

माना कि, 1/ab, 1/ca और 1/bc समांतर श्रेणी में हैं। 

⇒

⇒ b-c = a-b 

⇒2b = a+c

⇒ a, b, c समांतर श्रेणी में हैं, जो सत्य है। 

अब, माना कि 1/(b+c) ,1/(c+a) और 1/(a+b) समांतर श्रेणी में हैं। 

⇒ 2(a+b)(b+c) = (a+b+b+c)(c+a)

⇒2(ab + ac + b² + bc) = (ac + a² + 2bc + 2ab + c² + ca)

⇒2ab + 2ac + 2b² + 2bc = ac + a² + 2bc + 2ab + ac + c²

⇒ 2b² = a² + c²

a, b, c समांतर श्रेणी में नहीं  हैं, इसलिए यह सत्य नहीं है। 

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

A.P में सामान्य अंतर समान है। अर्थात यदि a, b, c AP में हैं, तो

b - a = c - b

गणना:

दिया गया:

(b - c)2, (c - a)2, (a - b)2 are in A.P

⇒ (c - a)2 - (b - c)2 = (a - b)2 - (c - a)2 

(c - a + b - c)(c - a - b + c) = (a - b + c - a)(a - b - c + a)

(b - a)(2c - a - b) = (c - b)(2a - b - c)   ...(i)

अब,

(b + a - 2c)(a - b) = (c + b - 2a)(b - c)

(b - a)(2c - a - b) = (c - b)(2a - b - c)   ...(ii)

चूंकि समीकरण (i) और (ii) बराबर हैं,

इसलिए AP में है

अवधारणा:

1. यदि a, b और c AP में हैं

• तो ka, kb, kc AP में हैं
• उदाहरण 2, 4, 6 AP में हैं तो (2 × 2, 4 × 2, 6 × 2) = (4, 8, 12) AP में भी हैं

2. यदि a, b और c AP में हैं

• तो k - a, k - b, k - c AP में हैं
• उदाहरण 2, 4, 6 AP में हैं तो (8 - 2, 8 - 4, 8 - 6) = (6, 4, 2) AP में भी हैं

3. यदि a, b और c AP में हैं

• तो  AP में हैं
• उदाहरण 2, 4, 6 AP में हैं तो (2/2, 4/2, 6/2) = (1, 2, 3) AP में भी हैं
• अत: सभी विकल्प सही हैं।

संकल्पना:

निम्न का क्षेत्रफल  × आधार × ऊंचाई 

माना कि a, b और c त्रिभुज की भुजाएं हैं। 

यदि , और  हरात्मक श्रेणी में हैं, तो a, b और c समांतर श्रेणी में हैं। 

यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c है। 

sine का नियम बताता है कि किसी दिए गए त्रिभुज में किसी भुजा की लम्बाई और इसके विपरीत कोण के sine का अनुपात त्रिभुज के सभी तीन भुजाओं के लिए समान होता है। 

गणना:

दिया गया है, एक त्रिभुज ABC में विपरीत भुजाओं पर शीर्ष A, B, C से ऊंचाई हरात्मक श्रेणी में हैं। 

त्रिभुज ABC में शीर्ष A से BC, B से AC और C से AB तक शीर्ष निम्न है। 

⇒ AD, BE, और CF ऊंचाई हैं और वे हरात्मक श्रेणी में हैं। 

⇒ निम्न का क्षेत्रफल 

⇒ AD = 

उसीप्रकार, BE =  और CF = 

⇒ , और  हरात्मक श्रेणी में हैं। 

⇒ , और  हरात्मक श्रेणी में हैं।

⇒ a, b और c समांतर श्रेणी में हैं। 

           (sine नियम)

⇒ a = k sin A, b = k sin B और c = k sin C

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c है। 

⇒ 2k sin B = k sin A + k sin C

⇒ 2sin B = sin A + sin C

अतः sin A, sin B, sin C समांतर श्रेणी में हैं। 

संप्रत्यय:

एक समांतर श्रेढ़ी में, nवाँ पद दिया जाता है:

T_n = a + (n - 1)d

एक गुणोत्तर श्रेढ़ी में, पद निम्न संबंध को संतुष्ट करते हैं:

T_m² = T_n × T_p

गणना:

मान लीजिए समांतर श्रेढ़ी के 5वें, 7वें और 13वें पद क्रमशः T₅, T₇ और T₁₃ हैं।

⇒ T₅ = a + 4d

⇒ T₇ = a + 6d

⇒ T₁₃ = a + 12d

चूँकि पद गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं:

⇒ T₇² = T₅ × T₁₃

⇒ (a + 6d)² = (a + 4d) × (a + 12d)

दोनों पक्षों का प्रसार करने पर:

⇒ (a + 6d)² = a² + 12ad + 48d²

⇒ a² + 12ad + 36d² = a² + 12ad + 48d²

उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर:

⇒ 36d² = 48d²

⇒ -12d² = 0

d² से भाग देने पर (यह मानते हुए कि d ≠ 0):

⇒ a = -3d

निष्कर्ष:

∴ प्रथम पद का सार्व अंतर से अनुपात है:

⇒ a/d = -3

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

यदि किसी दिए गए AP के प्रत्येक पद को एक गैर-शून्य स्थिरांक k से गुणा या भाग किया जाता है, तो परिणामी अनुक्रम भी सार्व अंतर k × d या k / d के साथ एक AP होता है, जहाँ d दिए गए AP का सार्व अंतर है।

यदि a, b और c, AP में है, तो k - a, k - b, k - c, AP में हैं जहाँ k ≠ 0 है।