यदि एक त्रिभुज ABC में विपरीत भुजाओं पर शीर्ष A, B, C से ऊंचाई हरात्मक श्रेणी में हैं, तो sin A, sin B, sin C किसमें है?

संकल्पना:

निम्न का क्षेत्रफल \(\rm \triangle ABC = A = \frac 12 \) × आधार × ऊंचाई 

माना कि a, b और c त्रिभुज की भुजाएं हैं। 

यदि \(\rm \dfrac {1}{a}\), \(\rm \dfrac {1}{b}\)और \(\rm \dfrac {1}{c}\) हरात्मक श्रेणी में हैं, तो a, b और c समांतर श्रेणी में हैं। 

यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c है। 

sine का नियम बताता है कि किसी दिए गए त्रिभुज में किसी भुजा की लम्बाई और इसके विपरीत कोण के sine का अनुपात त्रिभुज के सभी तीन भुजाओं के लिए समान होता है। 

गणना:

दिया गया है, एक त्रिभुज ABC में विपरीत भुजाओं पर शीर्ष A, B, C से ऊंचाई हरात्मक श्रेणी में हैं। 

त्रिभुज ABC में शीर्ष A से BC, B से AC और C से AB तक शीर्ष निम्न है। 

⇒ AD, BE, और CF ऊंचाई हैं और वे हरात्मक श्रेणी में हैं। 

⇒ निम्न का क्षेत्रफल \(\rm \triangle ABC = A = \dfrac 12 × AD × BC\)

⇒ AD = \(\rm \dfrac {2A}{a}\)

उसीप्रकार, BE = \(\rm \dfrac {2A}{b}\) और CF = \(\rm \dfrac {2A}{c}\)

⇒ \(\rm \dfrac {2A}{a}\), \(\rm \dfrac {2A}{b}\)और \(\rm \dfrac {2A}{c}\) हरात्मक श्रेणी में हैं। 

⇒ \(\rm \dfrac {1}{a}\), \(\rm \dfrac {1}{b}\)और \(\rm \dfrac {1}{c}\) हरात्मक श्रेणी में हैं।

⇒ a, b और c समांतर श्रेणी में हैं। 

\(\rm \frac {a}{sin \;A} = \frac {b}{sin \;B} = \frac {c}{sin \;C} =k\)           (sine नियम)

⇒ a = k sin A, b = k sin B और c = k sin C

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि a, b और c समांतर श्रेणी में हैं, तो 2b = a + c है। 

⇒ 2k sin B = k sin A + k sin C

⇒ 2sin B = sin A + sin C

अतः sin A, sin B, sin C समांतर श्रेणी में हैं।