Problems on bags and balls/similar objects MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Problems on bags and balls/similar objects - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

कलश A में 2 सफेद और 2 काली गेंदें हैं जबकि कलश B में 3 सफेद और 2 काली गेंदें हैं।

⇒ E1 = A से B में एक सफेद गेंद स्थानांतरित की जाती है; तब कलश A में सफेद = 1 और काली = 2 और कलश B में सफेद = 4 और काली = 2

⇒ E2 = A से B में एक काली गेंद स्थानांतरित की जाती है। तब कलश A में सफेद = 2 और काली = 1 और कलश B में सफेद = 3 और काली = 3

⇒ F = कलश B से एक सफेद गेंद निकाली जाती है

⇒

=

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

यहाँ, P(A) = 5/6 , P(B) = 4/5 , P(C) = 3/4

इसके अलावा

P(B) =

अब

⇒

=

∴ विकल्प (a) सही है।

गणना

अधिकतम मान 6 है। 

न्यूनतम मान 3 है। 

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना

हम मान रहे हैं कि दी गई गेंदें भिन्न हैं।

क्योंकि प्रत्येक गेंद तीन तरीकों से जाएगी।

हम मान लेंगे कि कम से कम एक बक्से में ठीक 3 गेंदें हैं।

हम में से गेंदों का चयन तरीकों से कर सकते हैं।

हम में से बैग का चयन तरीकों से कर सकते हैं।

बाकी गेंदें तरीकों से जा सकती हैं।

इसलिए, प्रायिकता

प्रायिकता

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना:

आइए हम इसे स्थिति दर स्थिति लेते हैं। सबसे पहले, संख्या लेते हैं। दूसरी संख्या इस प्रकार चुनी जानी चाहिए कि और से विभाज्य हों। इसलिए, या तो या हो सकता है।

अब, संख्या लेते हैं। हम पाते हैं कि , से विभाज्य है लेकिन नहीं है। इसी प्रकार, , से विभाज्य है लेकिन नहीं है। आप देख सकते हैं कि सभी विषम संख्याओं के लिए, ऐसा कोई मौजूद नहीं है, इसलिए केवल सम संख्याओं की जाँच की जानी चाहिए।

इसलिए, संभावित स्थितियों की कुल संख्या है। 

से संख्याओं को चुनने के कुल तरीके हैं। 

इसलिए, प्रायिकता

अतः विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

यदि S प्रतिदर्श समष्‍टि है और A अनुकूल घटना है, तो A की प्रायिकता को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

गणना:

थैले में कुल गेंदे = 4 + 5 = 9 गेंद

दिया गया है: दो गेंदों को प्रतिस्थापन के बिना यादृच्छिकता से निकाला गया है। 

पहले गेंद को निकालने और नीला पाए जाने के बाद अब थैले में 8 गेंद शेष हैं, जिसमें से 4 नीले गेंद हैं। 

दूसरे गेंद के नीले होने की प्रायिकता = \(\frac 4 8 = \frac 1 2\)

संकल्पना:

• n (n > r) के समूह से r का चयन करने के तरीकों की संख्या = nCr 

• किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = 

गणना:

गेंदों की कुल संख्या = 5 + 4 + 6 = 15

सफ़ेद गेंदों की कुल संख्या = 5

15 में से 2 गेंदों का चयन करना = 15C2

5 में से 2 सफ़ेद गेंदों का चयन करना = 5C2

इसलिए आवश्यक प्रायिकता (P) = 

P =  = 

अवधारणा:

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता =

दी गई n वस्तुओं में से r वस्तुओं के चयन की संख्या = nCr

गणना:

प्रतिदर्श समष्टि = n(S) = 12C3 है

∴परिणामों की कुल संख्या = 12C3

आवश्यक स्थिति है = n(E) = 7C2 × 5C1 (चूंकि 7 नीली गेंदों में से 2 गेंदें नीली हैं और 5 गुलाबी गेंदों में से 1 गेंद गुलाबी है)

∴ संभावित तरीकों की संख्या = 7C2 × 5C1

तो, एक अभाज्य संख्या P(E) प्राप्त करने की प्रायिकता = =

=

=

=

संकल्पना:

प्रायिकता:

• किसी घटना की प्रायिकता की गणना केवल संभावित परिणामों की कुल संख्या से अनुकूल परिणामों की संख्या को विभाजित करके की जा सकती है।
• किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच हो सकता है।

संयोजन सूत्र:

 nCr =

nCr = संयोजनों की संख्या

n = समुच्चय में वस्तुओं की कुल संख्या

r = समुच्चय से वस्तुओं को चुनने की संख्या

गणना​:

10 गेंदों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या = 10 P10.​=10!

अब शर्त यह है कि दो काली गेंदों को एक साथ न रखा जाए।

तो, सबसे पहले, 7 जबकि गेंदों को पहले व्यवस्थित करें और इन 3 काली गेंदों को प्रत्येक सफेद गेंद के बीच बनाए गए 8 स्थानों के बीच में व्यवस्थित करें।

अतः, 3 काली गेंदों और 7 सफेद गेंदों को व्यवस्थित करने के अनुकूल परिणामों की संख्या

= 8 P3 × 7!

इस प्रकार, प्रायिकता है कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ नहीं रखी गई हैं
P = (8 P3 × 7!)​ / 10 P10

⇒ P = \(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

∴ आवश्यक प्रायिकता  है।

संकल्पना:

माना कि S एक प्रतिदर्श समष्‍टि है और E एक घटना इस प्रकार है जिससे n(S) = n, n(E) = m है, और प्रत्येक परिणाम के समान रूप से आने की संभावना है। तो 

गणना:

दिया गया है: एक थैले में 9 सफ़ेद गेंद और 12 लाल गेंद हैं। 

थैले से सफ़ेद गेंद निकालने के तरीकों की संख्या = C (9, 1) = 9

थैले से एक गेंद निकालने के तरीकों की संख्या = C (21, 1) = 21

इसलिए, थैले से निकाले गए गेंद के सफ़ेद रंग के होने की प्रायिकता = 9/21 = 3/7 

अतः विकल्प D सही उत्तर है।

गणना:

मान लीजिए कि पहली गेंद लाल होने की घटना A है और दूसरी गेंद लाल होने की घटना B है 

यहाँ A और B आश्रित घटनाएँ हैं।

गेंदों की कुल संख्या = 3 + 6 + 8 = 17

लाल गेंदों की कुल संख्या = 8

P(A) = 8/17

P(B/A) = 7/16

P (AB) = P(A) . P(B/A) = 8/17 × 7/16

P = =

स्पष्टीकरण

गोल मेज पर n व्यक्ति n कुर्सियों पर बैठे हैं।

एक व्यक्ति के लिए एक कुर्सी तय है = 1

∴ n -1 व्यक्ति शेष हैं

दो दोस्त एक साथ बैठना चाहते हैं तो एक का दोस्त = दूसरा व्यक्ति दाएं या बाएं कुर्सी पर बैठ सकता है।

यदि पहले A है तो बैठने की व्यवस्था AB या BA हो सकती है इसलिए (N -1) कुर्सियों में से एक साथ बैठने की संभावना दाएं या बाएं होगी।

∴ संभव प्रायिकता 2/(n – 1) है।

अवधारणा:

यदि S एक प्रतिचयन स्थान है और E एक अनुकूल घटना है तो E की प्रायिकता निम्न द्वारा दी गई है:

गणना:

बैग में कुल गेंद = 4 + 6 = 10 गेंद

एक काली गेंद को 10 संभावित परिणामों में से 4 तरीकों से निकाला जा सकता है।

सफेद गेंद होने की प्रायिकता = P (W) =

=

दिया गया है

लाल गेंद = 4 और नीली गेंद = 6

सूत्र

P(E) = P(E₁) + P(E₂)

ⁿC_r = n!/r!(n – r)!

गणना

2 लाल गेंदों के निकाले जाने की प्रायिकता

⇒ P(E₁) = ⁴C₂/¹⁰C₂

2 नीली गेंदों के निकाले जाने की प्रायिकता

P(E₂) = ⁶C₂/¹⁰C₂

⇒ P(E) = = ⁴C₂/¹⁰C₂ + ⁶C₂/¹⁰C₂

⇒ (⁴C₂ + ⁶C₂)/¹⁰C₂

⇒ [4!/2!(4 – 2)! + 6!/2!(6 – 2)!]/10!/2!(10 – 2)!

⇒ (6 + 15)/10!/2! × 8!

⇒ (21 × 2)/(10 × 9)

⇒ 42/90

⇒ P(E) = 7/15

दिया गया है:

5 लाल गेंदें, 4 नीली गेंदें, और 6 गेंदें

प्रयोग किया गया सूत्र:

प्रायिकता = आवश्यक परिणाम/कुल परिणाम

ⁿC_r = n!/r!(n – r)!

गणना:

तीन लाल गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁵C₃

तीन नीली गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁴C₃

तीन हरी गेंदें प्राप्त करने की प्रायिकता = ⁶C₃

आवश्यक परिणाम = ⁵C₃ + ⁴C₃ + ⁶C₃ = 10 + 4 + 20 = 34

कुल परिणाम = ¹⁵C₃ = 455

∴ प्रायिकता = 34/455