Planarity MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Planarity - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

बहुफलक के किनारे  = 30

बहुफलक के फलक = 12

प्रयुक्त सूत्र:

बहुफलक के लिए यूलर का सूत्र

F + V = E + 2      (जहाँ F = बहुफलक के फलक, V = बहुफलक के शीर्ष और E = बहुफलक के किनारे)

गणना:

माना बहुफलक का शीर्ष V है

⇒ 12 + V = 30 + 2

⇒ V = 32 - 12 = 20

∴ अभीष्ट परिणाम 20 होगा। 

यूलर सूत्र:-

इसे F + V - E = 2 लिखा जाता है, जहाँ F फलकों की संख्या, V शीर्षों की संख्या और E किनारों की संख्या है।

यह सूत्र गोले के लिए भी सही है।

यदि हम एक गोले पर एक अक्षांश और एक देशांतर बनाते हैं। हमें 2 शीर्ष, 4 किनारे और 4 फलक मिलेंगे।

यहां हम कितने भी देशांतर और अक्षांश ले सकते हैं, यह यूलर सूत्र को संतुष्ट करेगा।

किसी भी कनेक्टेड सरल प्लानर ग्राफ के लिए, निम्नलिखित शर्त सत्य है।

E \( \le 3N - 6\)

अतः ऐसे ग्राफ में किनारों की न्यूनतम संख्या E <= 24 है।

अतः E = 26 सम्भव नहीं है।

अवधारणा:

• यूलर का संयोजित आलेख के लिए सूत्र = n - e + f = 2
• प्रत्येक शीर्ष के लिए न्यूनतम घात 3 वाले समतलीय आलेख के लिए हम कह सकते हैं कि 3n ≤ 2e है। 

गणना:

n - e + f = 2 = (e = n + f - 2), e का मान 3n ≤ 2e में रखने पर,

मान रखने के बाद: 3n ≤ 2 (n + f - 2) = \(\frac{{3n}}{2} \le n + f - 2 = f \ge \frac{{3n}}{2} - n + 2 = f \ge \frac{n}{2} + 2\)

विकल्प 1 सही उत्तर है।

दिया गया है:

बहुफलक के किनारे  = 30

बहुफलक के फलक = 12

प्रयुक्त सूत्र:

बहुफलक के लिए यूलर का सूत्र

F + V = E + 2      (जहाँ F = बहुफलक के फलक, V = बहुफलक के शीर्ष और E = बहुफलक के किनारे)

गणना:

माना बहुफलक का शीर्ष V है

⇒ 12 + V = 30 + 2

⇒ V = 32 - 12 = 20

∴ अभीष्ट परिणाम 20 होगा। 

यूलर सूत्र:-

इसे F + V - E = 2 लिखा जाता है, जहाँ F फलकों की संख्या, V शीर्षों की संख्या और E किनारों की संख्या है।

यह सूत्र गोले के लिए भी सही है।

यदि हम एक गोले पर एक अक्षांश और एक देशांतर बनाते हैं। हमें 2 शीर्ष, 4 किनारे और 4 फलक मिलेंगे।

यहां हम कितने भी देशांतर और अक्षांश ले सकते हैं, यह यूलर सूत्र को संतुष्ट करेगा।

अवधारणा:

• यूलर का संयोजित आलेख के लिए सूत्र = n - e + f = 2
• प्रत्येक शीर्ष के लिए न्यूनतम घात 3 वाले समतलीय आलेख के लिए हम कह सकते हैं कि 3n ≤ 2e है। 

गणना:

n - e + f = 2 = (e = n + f - 2), e का मान 3n ≤ 2e में रखने पर,

मान रखने के बाद: 3n ≤ 2 (n + f - 2) = \(\frac{{3n}}{2} \le n + f - 2 = f \ge \frac{{3n}}{2} - n + 2 = f \ge \frac{n}{2} + 2\)

विकल्प 1 सही उत्तर है।

दिया गया है:

बहुफलक के किनारे  = 30

बहुफलक के फलक = 12

प्रयुक्त सूत्र:

बहुफलक के लिए यूलर का सूत्र

F + V = E + 2      (जहाँ F = बहुफलक के फलक, V = बहुफलक के शीर्ष और E = बहुफलक के किनारे)

गणना:

माना बहुफलक का शीर्ष V है

⇒ 12 + V = 30 + 2

⇒ V = 32 - 12 = 20

∴ अभीष्ट परिणाम 20 होगा। 

किसी भी कनेक्टेड सरल प्लानर ग्राफ के लिए, निम्नलिखित शर्त सत्य है।

E \( \le 3N - 6\)

अतः ऐसे ग्राफ में किनारों की न्यूनतम संख्या E <= 24 है।

अतः E = 26 सम्भव नहीं है।

यूलर सूत्र:-

इसे F + V - E = 2 लिखा जाता है, जहाँ F फलकों की संख्या, V शीर्षों की संख्या और E किनारों की संख्या है।

यह सूत्र गोले के लिए भी सही है।

यदि हम एक गोले पर एक अक्षांश और एक देशांतर बनाते हैं। हमें 2 शीर्ष, 4 किनारे और 4 फलक मिलेंगे।

यहां हम कितने भी देशांतर और अक्षांश ले सकते हैं, यह यूलर सूत्र को संतुष्ट करेगा।

सही उत्तर विकल्प 3 है।

मुख्य बिंदु

• हम समतलीय ग्राफ़ के लिए ऑयलर के सूत्र का उपयोग करते हैं:
  V−E+F=2" id="MathJax-Element-61-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">V−E+F=2

  V−E+F=2" id="MathJax-Element-61-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">V−E+F=2" id="MathJax-Element-83-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">V−E+F=2V−E+F=2

  V−E+F=2" id="MathJax-Element-61-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0"> V−E+F=2
  $$V - E + F = 2$$ जहाँ:
  • V = शीर्षों की संख्या = 9
  • F = फलकों की संख्या = 5
  • E = किनारों की संख्या = ?
• ऑयलर के सूत्र को लागू करना:
  9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12" id="MathJax-Element-62-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12

  9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12" id="MathJax-Element-62-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12" id="MathJax-Element-84-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=129−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12

  9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12" id="MathJax-Element-62-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0"> 9−E+5=2⇒14−E=2⇒E=12
  $$9 - E + 5 = 2 \Rightarrow 14 - E = 2 \Rightarrow E = 12$$ $$9 - E + 5 = 2 \Rightarrow E = 9 + 5 - 2 = 12$$ इसलिए किनारों की संख्या = 12
  9−E+5=2⇒E=9+5−2=12" id="MathJax-Element-63-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-85-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">
  9−E+5=2⇒E=9+5−2=12" id="MathJax-Element-63-Frame" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;" tabindex="0">

अतिरिक्त जानकारी

• ऑयलर का सूत्र: किसी भी संयोजित समतलीय ग्राफ़ के लिए मान्य है।
• एक असंयोजित समतलीय ग्राफ़ के लिए, ऑयलर का सूत्र संशोधित किया गया है:
  V−E+F=C+1" id="MathJax-Element-64-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">V−E+F=C+1V−E+F=C+1" id="MathJax-Element-86-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">V−E+F=C+1V−E+F=C+1 V−E+F=C+1 $V - E + F = C + 1$ , जहाँ C = घटकों की संख्या।

इसलिए, सही उत्तर है: विकल्प 3) 12

सही उत्तर विकल्प 3 है।

Key Points 

• कथन (i): ✅ सत्य।
  • किसी भी अप्रदिष्ट ग्राफ में, सभी शीर्षों की डिग्री का योग किनारों की संख्या का 2 गुना होता है।
  • सूत्र: ∑deg(v) = 2e
• कथन (ii): ❌ असत्य।
  • किसी शीर्ष की उत्केन्द्रता उस शीर्ष से किसी अन्य शीर्ष तक की अधिकतम दूरी होती है।
  • ग्राफ की त्रिज्या सभी शीर्षों में न्यूनतम उत्केन्द्रता होती है।
  • इसलिए, न्यूनतम उत्केन्द्रता वाले शीर्ष की उत्केन्द्रता त्रिज्या के बराबर होती है।
• कथन (iii): ✅ सत्य।
  • परिधि ग्राफ में सबसे छोटे चक्र की लंबाई (किनारों की संख्या) होती है।
• कथन (iv): ✅ सत्य (व्याख्या के साथ)।
  • एक ग्राफ जिसमें सभी शीर्षों की डिग्री समान होती है, उसे नियमित ग्राफ कहा जाता है।
  • यदि ऐसे ग्राफ में एक ही जोड़ी शीर्षों के बीच कई किनारे भी हैं, तो इसे नियमित बहुग्राफ कहा जाता है।
  • "बहुग्राफ" शब्द आमतौर पर संभावित कई किनारों या लूप्स का संकेत देता है।

Additional Information 

• नियमित ग्राफ: प्रत्येक शीर्ष की डिग्री समान होती है।
• परिधि: यदि ग्राफ में कोई चक्र नहीं है, तो परिधि ∞ मानी जाती है।
• उत्केन्द्रता और त्रिज्या: त्रिज्या = न्यूनतम (सभी शीर्षों की उत्केन्द्रता)

इसलिए, सही उत्तर: विकल्प 3) (i), (iii), (iv) है।

अवधारणा:

• यूलर का संयोजित आलेख के लिए सूत्र = n - e + f = 2
• प्रत्येक शीर्ष के लिए न्यूनतम घात 3 वाले समतलीय आलेख के लिए हम कह सकते हैं कि 3n ≤ 2e है। 

गणना:

n - e + f = 2 = (e = n + f - 2), e का मान 3n ≤ 2e में रखने पर,

मान रखने के बाद: 3n ≤ 2 (n + f - 2) = \(\frac{{3n}}{2} \le n + f - 2 = f \ge \frac{{3n}}{2} - n + 2 = f \ge \frac{n}{2} + 2\)

विकल्प 1 सही उत्तर है।