Multiple Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Multiple Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

=

= (चूँकि  है )

= 0 ( यदि f(x) विषम फलन है)

विकल्प (3) सही है।

व्याख्या:

⇒ R : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2, 2 ≤ z ≤ 3

⇒

⇒

⇒

हल करने के बाद

⇒I =

⇒

⇒ m = 15 ,n = 8

⇒

अतः विकल्प 4 सही है।

गणना:

दिया गया है, f(x, y) = du dv।

मान लीजिए u - x = r cosθ और v - y = r sinθ

⇒ du dv = r dr dθ

और, (u - x)² + (v - y)² ≤ 1 त्रिज्या r ≤ 1 वाले वृत्त को निरूपित करता है।

∴ du dv

=

=

=2π

= 2π

= 2π

= 2π[(- e^-1 - e^-1) - (0 - 1)]

= 2π(1 − 2e−1)

∴ f(n, n2) = 2π(1 − 2e−1)

(4) सही है। 

व्याख्या:

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx − ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy

पहले समाकल में क्रम बदलें:

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx

x = 0, x = 1

y = 0, y = 1 - x

⇒ y = 0, y = 1 और x = 0, x = 1 - y

इसलिए ∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx = ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy

इसलिए

∫₀¹ ∫₀¹⁻ˣ cos(x³ + y²) dy dx − ∫₀¹ ∫₀¹⁻ʸ cos(x³ + y²) dx dy = 0

(1) सही है

व्याख्या:

दिया गया है:

0 ≤ y ≤ x² (यह लंबवत पट्टी द्वारा दर्शाया गया है)

और x, 0 से 1 तक भिन्न होता है।

अब यदि हम समाकलन के क्रम को बदलते हैं, तो हमें एक क्षैतिज पट्टी खींचनी होगी।

समाकलन के क्रम को बदलने के बाद

और, 0 ≤ y ≤ 1

∴ 

संकल्पना:

त्रिक समाकल का पुनरावृत्त समाकल के रूप में मूल्यांकन किया जा सकता है:

सबसे पहले x और y को स्थिर रखते हुए सीमाओं z₁ और z₂ के बीच z के संबंध में f(x, y, z) को समाकलित किया जाता है, फिर f(x, y, z) को x को स्थिर रखते हुए सीमाओं y₁ और y₂ के बीच y के संबंध में समाकलित किया जाता है। परिणाम को फिर x के संबंध में समाकलित किया जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

अंतः खंड के रूप में रेखा का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

⇒ 

⇒ 

वर्णन:

हमारे पास निम्न रूप में समाकलन दिया गया है,

सीमा को रखने पर हमें निम्न प्राप्त होता है,

अतः समाकलन का आवश्यक मान  होगा। 

संकल्पना:

चूँकि आंतरिक सीमा x के पदों में है, इसलिए हमें पहले 'y' पदों को समाकलन करना होगा और संपूर्ण व्यंजक को x के पदों में परिवर्तित करना होगा।

गणना:

दिया गया है:

अवधारणा:

दोहरे समाकल का मूल्यांकन: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम पहले के संबंध में किस चर को समाकलित करते हैं, समाकलन के क्रम की परवाह किए बिना हमें वही उत्तर मिलेगा।

गणना:

दिया हुआ है कि:

I =

=

= | ln (x) |1 to a × | ln (y) |1 to b 

= [ln (a) - ln (1)] × [ln(b) - ln(1)]

I = ln (a) ln (b) 

संकेत:

खोजने के लिए बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

हम जानते हैं कि:

और:

गणना:

मानें कि, I = 

ज्ञात करना है:

बाह्यतम समाकलन की सीमा स्थिर है। इसलिए पहले x के संबंध में समाकलन करें

जब x के संबंध में समाकलन किया जाता है, तो हमें y को एक स्थिरांक समझना चाहिए।

हम जानते हैं कि और

= 2 [cos y]0π/2

= 2 [cos 90° - cos 0°]

= -2

अवधारणा:

त्रिक समाकल का मूल्यांकन बार-बार समाकल के रूप में किया जा सकता है:

सबसे पहले, f(x, y, z) को x और y को चर मानते हुए z2 और z2 सीमाओं के मध्य z के सापेक्ष समाकलन किया जाता है, फिर x को चर मानते हुए सीमा y1 और y2 के मध्य y के सापेक्ष समाकलन किया जाता है। तब परिणाम का x के सापेक्ष समाकलन किया जाता है।

गणना: 

यहाँ,

⇒ 

y के सापेक्ष समाकलन करने पर, हम पाते हैं,

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

 x के सापेक्ष समाकलन करने पर, 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 1 - 1 

⇒ 0

∴ 

अवधारणा:

चूँकि अंदर की सीमाएँ x के पदों में हैं, इसलिए हमें पहले 'y' पदों का समाकलन करना होगा और संपूर्ण व्यंजक को x के पदों में बदलना होगा।

गणना:

यहाँ,

⇒ 

y के सापेक्ष समाकलन करने पर हम पाते हैं, 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

∴