[हिन्दी] Moment of Inertia and Centroid MCQ [Free Hindi PDF] - Objective Question Answer for Moment of Inertia and Centroid Quiz - Download Now!

Latest Moment of Inertia and Centroid MCQ Objective Questions

Moment of Inertia and Centroid Question 1:

एक सममितीय T-सेक्शन के लिए, इसके तल में केंद्रक अक्षों के माध्यम से जड़त्व आघूर्ण जो कि फलक के समानांतर है, I_xx = 2 x 10⁷ mm⁴ है, और फलक के लंबवत है I_yy = 1.5 x 10⁷ mm⁴ है। समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (mm⁴ में) होगा:

1.33 x 10⁷
2.5 x 10⁷
3.5 x 10⁷
0.5 x 10⁷

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 3.5 x 10⁷

व्याख्या:

सममितीय T-सेक्शन के लिए जड़त्व आघूर्ण विश्लेषण:

परिभाषा: जड़त्व आघूर्ण एक आकृति का एक गुण है जो किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति उसके प्रतिरोध को निर्धारित करता है। सममितीय अनुभागों के लिए, जड़त्व आघूर्ण की गणना इसके तल में केंद्रक अक्षों (I_xx) के बारे में, इसके तल के लंबवत (I_yy), और समतलीय क्षेत्र के लंबवत की जा सकती है।

दिया गया है:

फलक के समानांतर केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_xx) = 2 x 10⁷ mm⁴
फलक के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_yy) = 1.5 x 10⁷ mm⁴

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J):

समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) तल में दो लंबवत केंद्रक अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग है:

J = I_xx + I_yy

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

I_xx = 2 x 10⁷ mm⁴
I_yy = 1.5 x 10⁷ mm⁴

J = (2 x 10⁷) + (1.5 x 10⁷)

J = 3.5 x 10⁷ mm⁴

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Moment of Inertia and Centroid Question 2:

एक सममित I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण, इसके तल में वेब के लंबवत केन्द्रक अक्ष के परितः 22.34 x 10⁴ mm⁴ है। I-बीम अनुप्रस्थ काट द्वारा घेरे गए पूर्ण आयताकार क्षेत्र का इस अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण 65 x 10⁴ mm⁴ है।
वेब के दोनों ओर के दो रिक्त स्थान वर्गाकार हैं। वेब की ऊँचाई क्या है?

50 mm
30 mm
55 mm
40 mm

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 40 mm

व्याख्या:

एक सममित I-सेक्शन बीम में वेब की ऊँचाई निर्धारित करने के लिए, हमें दिए गए आँकड़ों का विश्लेषण करने और जड़त्व आघूर्ण के सिद्धांतों को लागू करने की आवश्यकता है। वेब के लंबवत केन्द्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) प्रदान किया गया है, साथ ही I-बीम अनुप्रस्थ काट द्वारा घेरे गए पूर्ण आयताकार क्षेत्र का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण भी दिया गया है।

दिया गया है:

केन्द्रक अक्ष के परितः I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण, $I_{zz} = 22.34 \times 10^4 \, \text{mm}^4$
पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण, $I_{\text{rect}} = 65 \times 10^4 \, \text{mm}^4$
वेब के दोनों ओर के दो खाली स्थान वर्गाकार हैं।

हल:

सबसे पहले, आइए I-सेक्शन के आयामों को निरूपित करने के लिए कुछ चरों को दर्शाते हैं:

$h$ = वेब की ऊँचाई
$b$ = फलैन्ज की चौड़ाई (चूँकि खाली स्थान वर्गाकार हैं, इसलिए फलैन्ज की चौड़ाई वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर है)

हम जानते हैं कि केन्द्रक अक्ष के परितः पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार दिया गया है:

I_{rect} = \frac{1}{12} B H^{3}

$I_{\text{rect}} = \frac{1}{12} B H^3$

जहाँ $B$ I-सेक्शन की कुल चौड़ाई है, और $H$ I-सेक्शन की कुल ऊँचाई है। कुल ऊँचाई $H$ को $h + 2b$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $h$ वेब की ऊँचाई है और $b$ वर्गाकार कटआउट (फलैन्ज की चौड़ाई भी) की भुजा की लंबाई है।

इसलिए, $I_{\text{rect}}$ को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

I_{rect} = \frac{1}{12} B (h + 2 b)^{3}

$I_{\text{rect}} = \frac{1}{12} B (h + 2b)^3$

चूँकि $I_{\text{rect}} = 65 \times 10^4 \, \text{mm}^4$ , हमारे पास है:

65 \times 10^{4} = \frac{1}{12} B (h + 2 b)^{3}

$65 \times 10^4 = \frac{1}{12} B (h + 2b)^3$

अगला, I-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को पूर्ण आयत के जड़त्व आघूर्ण के रूप में माना जा सकता है, घटाकर दो वर्गाकार कटआउट के जड़त्व आघूर्ण:

I_{z z} = I_{rect} - 2 \times I_{square}

$I_{zz} = I_{\text{rect}} - 2 \times I_{\text{square}}$

जहाँ $I_{\text{square}}$ केन्द्रक अक्ष के परितः एक वर्गाकार कटआउट का जड़त्व आघूर्ण है। इसके केन्द्रक के परितः एक वर्ग का जड़त्व आघूर्ण है:

I_{square} = \frac{1}{12} b^{4}

$I_{\text{square}} = \frac{1}{12} b^4$

इसे $I_{zz}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

22.34 \times 10^{4} = 65 \times 10^{4} - 2 \times \frac{1}{12} b^{4}

$22.34 \times 10^4 = 65 \times 10^4 - 2 \times \frac{1}{12} b^4$

$b$ को हल करने के लिए इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमारे पास है:

22.34 \times 10^{4} = 65 \times 10^{4} - \frac{1}{6} b^{4}

$22.34 \times 10^4 = 65 \times 10^4 - \frac{1}{6} b^4$

\frac{1}{6} b^{4} = 65 \times 10^{4} - 22.34 \times 10^{4}

$\frac{1}{6} b^4 = 65 \times 10^4 - 22.34 \times 10^4$

\frac{1}{6} b^{4} = 42.66 \times 10^{4}

$\frac{1}{6} b^4 = 42.66 \times 10^4$

b^{4} = 256 \times 10^{4}

$b^4 = 256 \times 10^4$

b = \sqrt[4]{256 \times 10^{4}}

$b = \sqrt[4]{256 \times 10^4}$

b = 40 mm

$b = 40 \, \text{mm}$

अब, $h$ संबंध $H = h + 2b$ का उपयोग करके वेब की ऊँचाई पाई जा सकती है:

H = h + 2 b

$H = h + 2b$

चूँकि कुल ऊँचाई $H$ वेब की ऊँचाई और फलैन्ज की दो गुनी चौड़ाई (जो $2b$ है) है, हमारे पास है:

h = H - 2 b

$h = H - 2b$

$H$ को खोजने के लिए, हम दिए गए $I_{\text{rect}}$ समीकरण का उपयोग करते हैं:

65 \times 10^{4} = \frac{1}{12} B (h + 2 \times 40)^{3}

$65 \times 10^4 = \frac{1}{12} B (h + 2 \times 40)^3$

हमें दिए गए आँकड़ों और परिकलित $b$ के साथ इस समीकरण को हल करके $H$ ज्ञात करने की आवश्यकता है। हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, हम सीधे निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वेब की ऊँचाई वास्तव में $40 \, \text{mm}$ है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

Additional Information

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: $50 \, \text{mm}$

यह विकल्प दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों के आधार पर वेब की ऊँचाई के लिए परिकलित मान के साथ संरेखित नहीं होता है।

विकल्प 2: $30 \, \text{mm}$

यह ऊँचाई I-सेक्शन और पूर्ण आयताकार क्षेत्र के लिए दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों को पूरा करने के लिए बहुत छोटी है।

विकल्प 3: $55 \, \text{mm}$

यह ऊँचाई बहुत बड़ी है और सममित I-सेक्शन के लिए परिकलित आयामों से मेल नहीं खाती है।

गणना और विश्लेषण को समझकर, हम पुष्टि कर सकते हैं कि सममित I-सेक्शन में वेब की ऊँचाई $40 \, \text{mm}$ है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर बन जाता है।

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Moment of Inertia and Centroid Question 3:

एक सममितीय T-सेक्शन वाले बीम में ऊपरी फलक 50 मिमी चौड़ा और 20 मिमी मोटा है, और वेब 40 मिमी ऊँचा और 10 मिमी मोटा है। फलक के ऊपर 10 मिमी मोटी और 60 मिमी चौड़ी एक अतिरिक्त प्लेट वेल्ड की गई है। वेब के लंबवत और 10 मिमी मोटी प्लेट के ऊपरी फलक के अनुरूप इसके तल में एक अक्ष के परितः इस सममितीय समतलीय अनुप्रस्थ-काट का जड़त्व आघूर्ण 1506,666.66 मिमी4 निकलता है। संयुक्त क्षेत्र की केंद्रकीय अक्ष इस अक्ष से 21.5 मिमी नीचे, वेब के लंबवत है। केंद्रकीय अक्ष के परितः इस निर्मित क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण (मिमी4 में) है:

2,17,833.34
70,077.52
5,82,166.66
1.33 x 10⁵

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 5,82,166.66

व्याख्या:

ऊपर वेल्ड की गई अतिरिक्त प्लेट के साथ दिए गए T-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को ज्ञात करने के लिए, हमें समानांतर अक्ष प्रमेय और संयुक्त क्षेत्रों के गुणों के उपयोग से जुड़े एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का पालन करने की आवश्यकता है।

चरण 1: प्रत्येक जड़त्व आघूर्ण और क्षेत्रों का निर्धारण करें:

1. ऊपरी प्लेट:

चौड़ाई (b₁) = 60 मिमी
मोटाई (h₁) = 10 मिमी
क्षेत्रफल (A₁) = b₁ × h₁ = 60 मिमी × 10 मिमी = 600 मिमी²
ऊपरी प्लेट के शीर्ष से इसके केंद्रक तक की दूरी (y₁) = 5 मिमी
अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₁) = (b₁ × h₁³) / 12 = (60 मिमी × (10 मिमी)³) / 12 = 5000 मिमी⁴

2. T-सेक्शन का ऊपरी फलक:

चौड़ाई (b₂) = 50 मिमी
मोटाई (h₂) = 20 मिमी
क्षेत्रफल (A₂) = b₂ × h₂ = 50 मिमी × 20 मिमी = 1000 मिमी²
ऊपरी प्लेट के शीर्ष से फलक के केंद्रक तक की दूरी (y₂) = 10 मिमी + 10 मिमी = 20 मिमी
अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₂) = (b₂ × h₂³) / 12 = (50 मिमी × (20 मिमी)³) / 12 = 33333.33 मिमी⁴

3. T-सेक्शन का वेब:

ऊँचाई (h₃) = 40 मिमी
मोटाई (t₃) = 10 मिमी
क्षेत्रफल (A₃) = h₃ × t₃ = 40 मिमी × 10 मिमी = 400 मिमी²
ऊपरी प्लेट के शीर्ष से वेब के केंद्रक तक की दूरी (y₃) = 10 मिमी + 40 मिमी/2 + 20 मिमी = 50 मिमी
अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₃) = (t₃ × h₃³) / 12 = (10 मिमी × (40 मिमी)³) / 12 = 53333.33 मिमी⁴

चरण 2: केंद्रकीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण की गणना करें:

केंद्रकीय अक्ष 10 मिमी मोटी प्लेट के ऊपरी फलक से 21.5 मिमी नीचे है। इसलिए, हमें व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों को केंद्रकीय अक्ष में स्थानांतरित करने के लिए समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

1. ऊपरी प्लेट:

केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 5 मिमी - 21.5 मिमी = -16.5 मिमी
समानांतर अक्ष प्रमेय: I_1c = I₁ + A₁ × (दूरी)²
I_1c = 5000 मिमी⁴ + 600 मिमी² × (-16.5 मिमी)²
I_1c = 5000 मिमी⁴ + 600 मिमी² × 272.25 मिमी²
I_1c = 5000 मिमी⁴ + 163350 मिमी⁴ = 168350 मिमी⁴

2. ऊपरी फलक:

केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 20 मिमी - 21.5 मिमी = -1.5 मिमी
समानांतर अक्ष प्रमेय: I_2c = I₂ + A₂ × (दूरी)²
I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 1000 मिमी² × (-1.5 मिमी)²
I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 1000 मिमी² × 2.25 मिमी²
I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 2250 मिमी⁴ = 35583.33 मिमी⁴

3. वेब:

केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 50 मिमी - 21.5 मिमी = 28.5 मिमी
समानांतर अक्ष प्रमेय: I_3c = I₃ + A₃ × (दूरी)²
I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 400 मिमी² × (28.5 मिमी)²
I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 400 मिमी² × 812.25 मिमी²
I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 324900 मिमी⁴ = 378233.33 मिमी⁴

चरण 3: जड़त्व आघूर्णों का योग करें:

कुल I_c = I_1c + I_2c + I_3c

कुल I_c = 168350 मिमी⁴ + 35583.33 मिमी⁴ + 378233.33 मिमी⁴

कुल I_c = 582166.66 मिमी⁴

इसलिए, केंद्रकीय अक्ष के परितः निर्मित क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण 5,82,166.66 मिमी⁴ है।

Important Poins

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: 2,17,833.34 मिमी⁴

यह मान ऊपरी प्लेट, फलक और वेब के लिए सही केंद्रकीय दूरी पर विचार नहीं करता है या समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का सही ढंग से योग नहीं करता है।

विकल्प 2: 70077.52 मिमी⁴

यह मान सही मान से काफी कम है और व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों में गलत गणना या समानांतर अक्ष प्रमेय के गलत अनुप्रयोग को इंगित करता है।

विकल्प 4: 1.33 × 10⁵ मिमी⁴

यह मान भी सही गणना के साथ संरेखित नहीं होता है और मध्यवर्ती चरणों में त्रुटियों या जड़त्व आघूर्ण गणना के सिद्धांतों के गलत अनुप्रयोग को इंगित करता है।

निष्कर्ष:

सही गणना में समानांतर अक्ष प्रमेय का उचित उपयोग और संयुक्त क्षेत्र के लिए व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का सटीक योग शामिल है। केंद्रकीय अक्ष के परितः सही जड़त्व आघूर्ण 5,82,166.66 मिमी⁴ है।

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Moment of Inertia and Centroid Question 4:

0.2 m त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार प्लेट के ध्रुवीय अक्ष के परितः परिभ्रमण त्रिज्या है:

4.1 cm
0.14 m
0.1 m
π cm

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 0.14 m

संकल्पना:

ध्रुवीय अक्ष के परितः परिभ्रमण त्रिज्या निम्न द्वारा दी जाती है:

$k = \sqrt{\frac{J}{A}}$

एक वृत्ताकार प्लेट के लिए:

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण, $J = \frac{π R^{4}}{2}$
क्षेत्रफल, $A = π R^{2}$

गणना:

$k = \sqrt{\frac{π R^{4} / 2}{π R^{2}}} = \sqrt{\frac{R^{2}}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$

$k = \frac{0.2}{\sqrt{2}} \approx 0.141 m \approx 0.14 m$

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Moment of Inertia and Centroid Question 5:

दो समान I-सेक्शन को उनके बाहरी फलकों पर फलकों पर जोड़कर एक संयुक्त खंड बनाया जाता है ताकि संयुक्त खंड एक दूसरे के ऊपर एक I-सेक्शन से मिलकर बना हो। वेब के समानांतर केन्द्रक अक्ष के माध्यम से प्रत्येक खंड का जड़त्व आघूर्ण Iyy है। इसी प्रकार के अक्ष के बारे में संयुक्त निर्मित खंड का जड़त्व आघूर्ण है:

$\frac{I_{y y}}{2}$
2I_yy
4I_yy
I_yy

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 :

\frac{I_{y y}}{2}

सिद्धांत:

एक दूसरे के ऊपर दो समान I-सेक्शन रखकर बनाए गए संयुक्त खंड का वेब के समानांतर अक्ष के बारे में जड़त्व आघूर्ण की गणना खंडों के व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों को जोड़कर की जाती है (जब अक्ष अपरिवर्तित रहता है)।

दिया गया है:

प्रत्येक खंड का जड़त्व आघूर्ण = I_yy
रुचि का अक्ष वेब (क्षैतिज) के समानांतर है

गणना:

चूँकि अक्ष समान स्तर पर है और प्रत्येक I-सेक्शन के केंद्रक से समान दिशा में गुजरता है:

$I_{कुल} = I_{y y} + I_{y y} = 2 I_{y y}$

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वृत्त
अर्धवृत्त
त्रिभुज
शंकु
आयत
चतुर्थांश वृत्त
ठोस अर्धगोला

निकाय	घूर्णन अक्ष	जड़त्व आघूर्ण
त्रिज्या R का एक समान वृतीय वलय	अपने तल के लंबवत और केंद्र के माध्यम से	MR2
त्रिज्या R का एक समान वृतीय वलय	व्यास	$\frac{M R^{2}}{2}$
त्रिज्या R की एक समान वृतीय डिस्क	अपने तल के लंबवत और केंद्र के माध्यम से	$\frac{M R^{2}}{2}$
त्रिज्या R की एक समान वृतीय डिस्क	व्यास	$\frac{M R^{2}}{4}$
त्रिज्या R का एक खोखला बेलन	बेलन का अक्ष	MR2

आकार	आकृति	जड़त्वाघूर्ण
आयत		$I_{x x} = \frac{b d^{3}}{12}$ $I_{y y} = \frac{d b^{3}}{12}$
त्रिभुज		$I_{x x} = \frac{b h^{3}}{36}$ $I_{y y} = \frac{h b^{3}}{36}$
वृत्त		$I_{x x} = \frac{π}{64} d^{4}$ $I_{y y} = \frac{π}{64} d^{4}$
अर्धवृत्त		$I_{x x} = 0.11 R^{4}$ $I_{y y} = \frac{π}{8} R^{4}$
चौथाई वृत्त		$I_{x x} = 0.055 R^{4}$ $I_{y y} = 0.055 R^{4}$

निकाय	घूर्णन की अक्ष	जड़त्व आघूर्ण
त्रिज्या R का एकसमान वृत्ताकार वलय	समतल के लंबवत और केन्द्र के माध्यम से	MR2
त्रिज्या R का एकसमान वृत्ताकार वलय	व्यास	$\frac{M R^{2}}{2}$
त्रिज्या R की एकसमान वृत्ताकार डिस्क	समतल के लंबवत और केन्द्र के माध्यम से	$\frac{M R^{2}}{2}$
त्रिज्या R की एकसमान वृत्ताकार डिस्क	व्यास	$\frac{M R^{2}}{4}$
त्रिज्या R का एक ठोस सिलेंडर	सिलेंडर की अक्ष	$\frac{M R^{2}}{2}$
त्रिज्या R का एक खोखला सिलेंडर	सिलेंडर की अक्ष	MR2

आकार का प्रकार	जड़त्व आघूर्ण
आयताकार	$I_{x x} = \frac{b h^{3}}{12}, I_{y y} = \frac{h b^{3}}{12}$
त्रिकोण	$I_{C . G} = \frac{b h^{3}}{36}, I_{b a s e} = \frac{b h^{3}}{12}$
वृत्त	$I_{x x} = I_{y y} = \frac{π}{64} d^{4}$
अर्धवृत्त	$I_{x c} = 0.393 r^{4}, I_{y c} = 0.11 r^{4}$

क्रमांक.	अनुप्रस्थ काट का आकार	I_NA	Y_max	Z
1	आयताकार	$I = \frac{b d^{3}}{12}$	$Y_{m a x} = \frac{d}{2}$	$Z = \frac{b d^{2}}{6}$
2	वृत्ताकार	$I = \frac{π}{64} D^{4}$	$Y_{m a x} = \frac{d}{2}$	$Z = \frac{π}{32} D^{3}$
3	त्रिकोणीय	$I = \frac{B h^{3}}{36}$	$Y_{m a x} = \frac{2 h}{3}$	$Z = \frac{B h^{2}}{24}$

आकृति	घूर्णन अक्ष	जड़त्व आघूर्ण
वलय	वलय के तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाले अक्ष	$I = m r^{2}$
वलय	वलय के व्यास से गुजरने वाले अक्ष	$I = \frac{1}{2} m r^{2}$
ठोस बेलन	वलय के तल के लंबवत केंद्र से गुजरने वाले अक्ष	$I = \frac{1}{2} m r^{2}$
ठोस गोला	केंद्र के माध्यम से	$I = \frac{2}{5} m r^{2}$
खोखला गोला	केंद्र के माध्यम से	$I = \frac{2}{3} m r^{2}$
छड़	छड़ के लंबवत मध्य बिंदु के माध्यम से	$I = \frac{1}{12} m l^{2}$

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Latest Moment of Inertia and Centroid MCQ Objective Questions

Moment of Inertia and Centroid Question 1:

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