Mean MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

अनुक्रम है $8^2,9^2,{10}^2,\dots ,{15}^2$

पदों की संख्या, $n=15-8+1=8$

प्रथम $m$ वर्गों का योग है, ${\displaystyle \sum _{k=1}^m{k}^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}$

${15}^2$ तक योग:

$S_{15}=\frac{15\times 16\times 31}{6}=1240$

$7^2$ तक योग:

$S_7=\frac{7\times 8\times 15}{6}=140$

अभीष्ट पदों का योग:

$S=S_{15}-S_7=1240-140=1100$

समांतर माध्य है,

${\displaystyle \text{Mean}=\frac{S}{n}=\frac{1100}{8}=137.5}$

∴ समांतर माध्य $137.5$ है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है,

प्रेक्षणों की संख्या, n = 100

मूल समांतर माध्य, $\overline{x}=50$

प्रत्येक प्रेक्षण पर लागू परिवर्तन:

नया मान, $x^{\prime }=\frac{x-5}{20}$

नया समांतर माध्य है,

${\overline{x}}^{\prime }=\frac{\overline{x}-5}{20}$

${\overline{x}}^{\prime }=\frac{50-5}{20}=\frac{45}{20}=2.25$

∴ नया समांतर माध्य 2.25 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+.........x_n}{n}$

⇒ $x_1+x_2+X_3+......x_n=n\bar{x}$

⇒ जब x_n को k से प्रतिस्थापित किया जाता है तब माध्य

⇒ नया माध्य = $\frac{x_1+x_2+x_3+.........x_{n-1}+k}{n}$

= $\frac{n\bar{x}-x_n+k}{n}$

∴ विकल्प (d) सही है

व्याख्या:

माध्य = $\frac{1+4+9...n^2}{n}$

⇒ 130 = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n}$

⇒ 780 = 2n² + 3n + 1

⇒ 2n² + 3n - 779 =0

⇒ 2n² + 41n - 38n - 779 = 0

⇒ n(2n + 41) - 19(2n + 41) = 0

⇒ (2n + 41) (n - 19) = 0

⇒ n = 19 ..... ( n = $-\frac{41}{2}$ संभव नहीं है)

∴ विकल्प (b) सही है।

गणना

$\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}-(\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}{)}^2$

⇒ $\frac{a_1^2+(a_1+r{)}^2+...+(a_1+(n-1)r{)}^2}{n}-{\left(\frac{n{a}_1+r\frac{n(n-1)}{2}}{n}\right)}^2$

⇒ $\frac{n{a}_1^2+r^2\cdot \frac{(n-1)\cdot n(2n-1)}{6}+a_{1}r(n-1)\cdot n}{n}-a_1^2-a_{1}r(n-1)-\frac{r^2(n-1{)}^2}{4}$

⇒ $\frac{n{a}_1^2+r^2\cdot \frac{(n-1)(2n-1)}{6}+a_{1}r(n-1)\cdot n}{n}-a_1^2-a_{1}r(n-1)-\frac{r^2(n-1{)}^2}{4}$

⇒ $\frac{r^2(n-1)}{2}\cdot (\frac{2n-1}{3}-\frac{n-1}{2})$

⇒ $\frac{r^2(n-1)}{2}\cdot (\frac{4n-2-3n+3}{6})$

⇒ $\frac{r^2(n-1)(n+1)}{12}$

⇒ $\frac{r^2(n^2-1)}{12}$

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

प्रयुक्त सूत्र:

वर्गीकृत आंकड़ों का माध्य निम्न द्वारा दिया गया है,

$\overline{X}=\frac{\sum f_i{X}_i}{\sum f_i}$

जहां, $u_i=\frac{X_i-a}{h}$

Xi = वर्ग i का माध्य

fi = वर्ग i के अनुरूप बारंबारता

दिया गया है:

गणना:

अब, नीचे, आंकड़ों के माध्य की गणना करने के लिए ∑fiXi और ∑fi को ज्ञात करना,

तब,

हम जानते हैं कि वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य है

$\overline{X}=\frac{\sum f_i{X}_i}{\sum f_i}$

= $\frac{1535}{43}$

= 35.7

अतः, वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य 35.7 है। 

संकल्पना:

• $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum \mathrm{x}\mathrm{f}}{\sum \mathrm{f}}$

गणना:

हम जानते हैं कि, $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum \mathrm{x}\mathrm{f}}{\sum \mathrm{f}}$

$\therefore \mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{800}{24}=33.3$

संकल्पना:

माना कि ‘n’ अवलोकन {${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,{\mathrm{x}}_3,\dots ,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$} हैं। 

माध्य $\left(\overline{\mathrm{x}}\right)=\frac{({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+\dots +{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}})}{\mathrm{n}}$ $=\frac{{\sum }_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}$

पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = $\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$

गणना:

ज्ञात करना है: पहले 99 प्राकृतिक संख्या का माध्य

चूँकि हम जानते हैं, पहले n प्राकृतिक संख्याओं का योग = $\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2}$

अब, माध्य = ${\displaystyle \frac{\frac{99(99+1)}{2}}{99}}$

= $\frac{(99+1)}{2}=50$

संकल्पना:

'n' अवलोकनों का माध्य = अवलोकनों का योग / n

गणना:

यहाँ n = 3 है। माना कि तीसरी संख्या x है। 

∴ $16={\displaystyle \frac{\mathrm{x}+8+10}{3}}$

⇒ x + 18 = 48

⇒ x = 30

धारणा:

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum \mathrm{x}\mathrm{f}}{\sum \mathrm{f}}$

गणना:

हम जानते हैं कि, $\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum \mathrm{x}\mathrm{f}}{\sum \mathrm{f}}$

$\therefore \mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{830}{20}=41.5$

संकल्पना:
माध्य- बहुलक= 3(माध्य- माध्यिका )

गणना:

दिया गया है:

माध्य और बहुलक के बीच अंतर  = 48

और माध्यिका = 12

माध्य- बहुलक = 3(माध्य - माध्यिका)

⇒ 48 = 3(माध्य - 12)

⇒ 48 = 3 माध्य - 36

⇒ 3 माध्य= 48 + 36

⇒ 3 माध्य= 84

⇒ माध्य= 84/3

⇒ माध्य= 28

∴ माध्य 28 है।

अवधारणा:

प्रेक्षणों  ${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,{\mathrm{x}}_3,..........,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}$ के लिए

माध्य ($\bar{\mathrm{x}}$) = $\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+..........+{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}}$

माध्य से प्रेक्षण का विचलन = xi - $\bar{\mathrm{x}}$

जहाँ i ∈ [1, n]

गणना:

माध्य = $\frac{73+85+92+105+120}{5}$

$\bar{\mathrm{x}}$ = $\frac{475}{5}$  = 95)

विचलन का योगफल = -22 +(-10) + (-3) + 10 + 25 = 0

संकल्पना:

माध्य = (अवलोकनों की संख्या)/(अवलोकनों की कुल संख्या)

गणना:

माना कि छह संख्याएँ a, b, c, d, e, f हैं। 

इसलिए, माध्य = $\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}}{6}=47$

$\Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}=282$          ....(1)

माना कि निकाली गयी संख्या a है। 

इसलिए शेष पांच संख्याओं का माध्य = $\frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}}{5}=41$

$\Rightarrow \mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{e}+\mathrm{f}=205$                ....(2)

∴ a + 205 = 282              ((1) और (2) से)

⇒ a = 77

अतः विकल्प (1) सही है। 

संकल्पना:

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}$ , जहां x_i अवलोकन है और n अवलोकनों की कुल संख्या है।

पहली n प्राकृतिक संख्याओं का योग: $\sum \mathrm{n}=1+2+3+\dots +\mathrm{n}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+1\right)}{2}$

गणना:

दिया गया: अवलोकनों x1, x2, x3,...,x10 के समुच्चय का माध्य 50 है

यहाँ n = 10,

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+\dots +{\mathrm{x}}_{10}}{10}=50$

⇒ x1 + x2 + x3 +...+ x10 = 500                      …. (1)

अब नए अवलोकनों x1 + 5, x2 + 10, x3 + 15,..., x10 + 50 का माध्य ज्ञात करें

$\mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{n}=\frac{\sum {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}}=\frac{\left({\mathrm{x}}_1+5\right)+\left({\mathrm{x}}_2+10\right)+({\mathrm{x}}_3+15)+\dots +({\mathrm{x}}_{10}+50)}{10}$

$=\frac{\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2+{\mathrm{x}}_3+\dots +{\mathrm{x}}_{10}\right)+\left(5+10+15+\dots +50\right)}{10}$

समीकरण (1) से

$=\frac{500+5\left(1+2+3+\dots +10\right)}{10}$

$=50+\frac{1}{2}\times \frac{10\times 11}{2}$

$=50+27.5$

= 77.5

अवधारणा:

कई अवलोकनों का माध्य (या औसत) कुल अवलोकनों द्वारा विभाजित सभी अवलोकनों के मानों का योग है। इसे प्रतीक $\overline{x}$ द्वारा दर्शाया जाता है जिसे 'x बार' के रूप में पढ़ा जाता है।

माध्य $\overline{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}$

गणना:

दिया गया संख्या का समुच्चय 8, 5, n, 10, 15, 21 है।

तो $\overline{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}{\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}}=11$

∴ $11=\frac{8+5+n+10+15+21}{6}$ ⇒ n = 7