Laplace Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Laplace Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, सामान्यीकृत ऊष्मा चालन समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}+\frac{q}{k}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial t}$      ....(1)

आंतरिक ऊष्मा उत्पादन और निरंतर तापीय चालकता के बिना स्थिर अवस्था में, चालन समीकरण बन जाता है

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}=0$

∇2T = 0 ⇒ लाप्लास समीकरण

आंतरिक ताप उत्पादन और स्थिर तापीय चालकता के साथ स्थिर अवस्था में, चालन समीकरण निम्न बन जाता है

${\mathrm{\nabla }}^{2}T+\frac{q}{k}=0\Rightarrow$पोइसन का समीकरण

आंतरिक ताप उत्पादन और निरंतर तापीय चालकता के बिना अस्थिर अवस्था में, चालन समीकरण निम्न बन जाता है

${\mathrm{\nabla }}^{2}T=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial t}$ ⇒ विसरण समीकरण

व्याख्या:

माना u(x, y, t) = 2 D में स्थिति पर प्लेट का तापमान

द्वि-आयामी ऊष्मा प्रवाह की स्थिर स्थिति में, यदि u, t से स्वतंत्र है, तो समीकरण (1) निम्न हो जाता है,

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

⇒ द्वि-आयामों में लाप्लास का समीकरण

प्वासों और लाप्लास समीकरण:

प्वासों का समीकरण निम्न है:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

आवेश मुक्त क्षेत्रफल के लिए, ρ_v = 0:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=0$

यह लाप्लास समीकरण है। 

बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में लाप्लास समीकरण निम्न है:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=0$

यदि z = 0 है, तो $\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}=0$

यह बिना किसी Z निर्भरता के साथ लाप्लास समीकरण है। 

लाप्लास और पॉइसन के समीकरण:

यह समीकरण विद्युत विभव की गणना के लिए एक दृष्टिकोण देता है जो उस विभव को आवेश घनत्व से जोड़ता है जो इसे उत्पन्न करता है।

विचलन संबंध द्वारा विद्युत क्षेत्र आवेश घनत्व से संबंधित है।

और विद्युत क्षेत्र एक प्रवणता संबंध द्वारा विद्युत विभव से संबंधित है,

E = - ∇ V 

इसलिए विभव पॉइसन के समीकरण द्वारा आवेश घनत्व से संबंधित है,

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{-\rho }{{\epsilon }_0}$

स्थान के आवेश-मुक्त क्षेत्र में, यह लाप्लास का समीकरण बन जाता है,

∇2V = 0

जहाँ,

E विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।

V विभव है

ρ आवेश घनत्व है।

Important Points

गॉस कानून:

यह नियम विद्युत आवेश के वितरण और परिणामी विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध प्रदान करता है।

इस नियम के अनुसार एक संवृत सतह में परिबद्ध कुल आवेश Q, सतह में परिबद्ध कुल अभिवाह ϕ के समानुपाती होता है।

ϕ ∝ Q

गौस नियम सूत्र निम्न द्वारा व्यक्त किया गया है

$\varphi =\frac{Q}{{ϵ}_0}$

इसे निम्नलिखित आकृति की सहायता से समझाया गया है:

गणना:

गॉस नियम से:

∇.D̅  = ρv

जैसा कि D̅ = ϵE̅ 

तो ∇.(ϵE̅) = ρv         ----(1)

चूंकि माध्यम समरूप और समानुवर्ती है ,

$So\mathrm{\nabla }.\overline{E}=\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

$Also,\overline{E}=-\frac{dv}{dr}=-\mathrm{\nabla }V$

E का मान समीकरण (1) में रखने पर

$\mathrm{\nabla }.(-\mathrm{\nabla }V)=\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

व्याख्या:

लाप्लास का समीकरण बताता है कि U (फलन) का द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज का योग निर्देशांक के संबंध में शून्य के बराबर है।

∇2 को लैपलासीन या लाप्लास संक्रियक कहा जाता है।

कार्टेशियन निर्देशांक में:

${\nabla }^{2}U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$

बेलनाकार निर्देशांक में:

${\nabla }^{2}U=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial U}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\mathrm{\Theta }}^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$

विश्लेषण:

V = A log ρ + B

${\nabla }^{2}V=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\mathrm{\Theta }}^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}$

${\nabla }^{2}V=\frac{A}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{1}{\rho }\right)+0+0$

= 0

∴ यह लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है।

गॉस कानून:

यह नियम विद्युत आवेश के वितरण और परिणामी विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध प्रदान करता है।

इस नियम के अनुसार एक संवृत सतह में परिबद्ध कुल आवेश Q, सतह में परिबद्ध कुल अभिवाह ϕ के समानुपाती होता है।

ϕ ∝ Q

गौस नियम सूत्र निम्न द्वारा व्यक्त किया गया है

$\varphi =\frac{Q}{{ϵ}_0}$

इसे निम्नलिखित आकृति की सहायता से समझाया गया है:

गणना:

गॉस नियम से:

∇.D̅  = ρv

जैसा कि D̅ = ϵE̅ 

तो ∇.(ϵE̅) = ρv         ----(1)

चूंकि माध्यम समरूप और समानुवर्ती है ,

$So\mathrm{\nabla }.\overline{E}=\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

$Also,\overline{E}=-\frac{dv}{dr}=-\mathrm{\nabla }V$

E का मान समीकरण (1) में रखने पर

$\mathrm{\nabla }.(-\mathrm{\nabla }V)=\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

व्याख्या:

लाप्लास का समीकरण बताता है कि U (फलन) का द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज का योग निर्देशांक के संबंध में शून्य के बराबर है।

∇2 को लैपलासीन या लाप्लास संक्रियक कहा जाता है।

कार्टेशियन निर्देशांक में:

${\nabla }^{2}U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$

बेलनाकार निर्देशांक में:

${\nabla }^{2}U=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial U}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\mathrm{\Theta }}^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$

विश्लेषण:

V = A log ρ + B

${\nabla }^{2}V=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\mathrm{\Theta }}^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}$

${\nabla }^{2}V=\frac{A}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{1}{\rho }\right)+0+0$

= 0

∴ यह लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है।

प्वासों और लाप्लास समीकरण:

प्वासों का समीकरण निम्न है:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

आवेश मुक्त क्षेत्रफल के लिए, ρ_v = 0:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=0$

यह लाप्लास समीकरण है। 

बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में लाप्लास समीकरण निम्न है:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=0$

यदि z = 0 है, तो $\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}=0$

यह बिना किसी Z निर्भरता के साथ लाप्लास समीकरण है। 

लाप्लास समीकरण के गुण:

∇ ² f = 0 (लाप्लास समीकरण)

1) सीमाओं के अलावा कहीं भी हल में न तो उच्चिष्ठ और न ही निम्निष्ठ है।

2) हल निर्देशांक में वियोज्य है

∇2f = 0

$\frac{{\partial }^2{f}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{f}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{f}_z}{\partial z^2}=0$

जहाँ f = fx ax + fy ay + fz az

3) हल निरंतर हैं।

4) हल सीमा की स्थितियों पर निर्भर हैं।

अतः केवल विकल्प A सही है।

संकल्पना:

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, सामान्यीकृत ऊष्मा चालन समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}+\frac{q}{k}=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial t}$      ....(1)

आंतरिक ऊष्मा उत्पादन और निरंतर तापीय चालकता के बिना स्थिर अवस्था में, चालन समीकरण बन जाता है

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}=0$

∇2T = 0 ⇒ लाप्लास समीकरण

आंतरिक ताप उत्पादन और स्थिर तापीय चालकता के साथ स्थिर अवस्था में, चालन समीकरण निम्न बन जाता है

${\mathrm{\nabla }}^{2}T+\frac{q}{k}=0\Rightarrow$पोइसन का समीकरण

आंतरिक ताप उत्पादन और निरंतर तापीय चालकता के बिना अस्थिर अवस्था में, चालन समीकरण निम्न बन जाता है

${\mathrm{\nabla }}^{2}T=\frac{1}{\alpha }\frac{\partial T}{\partial t}$ ⇒ विसरण समीकरण

व्याख्या:

माना u(x, y, t) = 2 D में स्थिति पर प्लेट का तापमान

द्वि-आयामी ऊष्मा प्रवाह की स्थिर स्थिति में, यदि u, t से स्वतंत्र है, तो समीकरण (1) निम्न हो जाता है,

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$

⇒ द्वि-आयामों में लाप्लास का समीकरण

गॉस कानून:

यह नियम विद्युत आवेश के वितरण और परिणामी विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध प्रदान करता है।

इस नियम के अनुसार एक संवृत सतह में परिबद्ध कुल आवेश Q, सतह में परिबद्ध कुल अभिवाह ϕ के समानुपाती होता है।

ϕ ∝ Q

गौस नियम सूत्र निम्न द्वारा व्यक्त किया गया है

$\varphi =\frac{Q}{{ϵ}_0}$

इसे निम्नलिखित आकृति की सहायता से समझाया गया है:

गणना:

गॉस नियम से:

∇.D̅  = ρv

जैसा कि D̅ = ϵE̅ 

तो ∇.(ϵE̅) = ρv         ----(1)

चूंकि माध्यम समरूप और समानुवर्ती है ,

$So\mathrm{\nabla }.\overline{E}=\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

$Also,\overline{E}=-\frac{dv}{dr}=-\mathrm{\nabla }V$

E का मान समीकरण (1) में रखने पर

$\mathrm{\nabla }.(-\mathrm{\nabla }V)=\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

लाप्लास और पॉइसन के समीकरण:

यह समीकरण विद्युत विभव की गणना के लिए एक दृष्टिकोण देता है जो उस विभव को आवेश घनत्व से जोड़ता है जो इसे उत्पन्न करता है।

विचलन संबंध द्वारा विद्युत क्षेत्र आवेश घनत्व से संबंधित है।

और विद्युत क्षेत्र एक प्रवणता संबंध द्वारा विद्युत विभव से संबंधित है,

E = - ∇ V 

इसलिए विभव पॉइसन के समीकरण द्वारा आवेश घनत्व से संबंधित है,

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{-\rho }{{\epsilon }_0}$

स्थान के आवेश-मुक्त क्षेत्र में, यह लाप्लास का समीकरण बन जाता है,

∇2V = 0

जहाँ,

E विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।

V विभव है

ρ आवेश घनत्व है।

Important Points

लाप्लास और पॉइसन के समीकरण:

यह समीकरण विद्युत विभव की गणना के लिए एक दृष्टिकोण देता है जो उस विभव को आवेश घनत्व से जोड़ता है जो इसे उत्पन्न करता है।

विचलन संबंध द्वारा विद्युत क्षेत्र आवेश घनत्व से संबंधित है।

और विद्युत क्षेत्र एक प्रवणता संबंध द्वारा विद्युत विभव से संबंधित है,

E = - ∇ V 

इसलिए विभव पॉइसन के समीकरण द्वारा आवेश घनत्व से संबंधित है,

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=\frac{-\rho }{{\epsilon }_0}$

स्थान के आवेश-मुक्त क्षेत्र में, यह लाप्लास का समीकरण बन जाता है,

∇2V = 0

जहाँ,

E विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।

V विभव है

ρ आवेश घनत्व है।

महत्वपूर्ण बिंदु

व्याख्या:

लाप्लास का समीकरण बताता है कि U (फलन) का द्वितीय-कोटि वाले आंशिक अवकलज का योग निर्देशांक के संबंध में शून्य के बराबर है।

∇2 को लैपलासीन या लाप्लास संक्रियक कहा जाता है।

कार्टेशियन निर्देशांक में:

${\nabla }^{2}U=\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$

बेलनाकार निर्देशांक में:

${\nabla }^{2}U=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial U}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial {\mathrm{\Theta }}^2}+\frac{{\partial }^{2}U}{\partial z^2}=0$

विश्लेषण:

V = A log ρ + B

${\nabla }^{2}V=\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\mathrm{\Theta }}^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}$

${\nabla }^{2}V=\frac{A}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{1}{\rho }\right)+0+0$

= 0

∴ यह लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है।

प्वासों और लाप्लास समीकरण:

प्वासों का समीकरण निम्न है:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=-\frac{{\rho }_v}{ϵ}$

आवेश मुक्त क्षेत्रफल के लिए, ρ_v = 0:

${\mathrm{\nabla }}^{2}V=0$

यह लाप्लास समीकरण है। 

बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में लाप्लास समीकरण निम्न है:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial z^2}=0$

यदि z = 0 है, तो $\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial V}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\varphi }^2}=0$

यह बिना किसी Z निर्भरता के साथ लाप्लास समीकरण है।