Kepler’s laws MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Kepler’s laws - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

सूर्य के चारों ओर मंगल की कक्षा की त्रिज्या, R′ = 4R, जहाँ R बुध की कक्षा की त्रिज्या है।

मंगल वर्ष T′ = 687 पृथ्वी दिन

सबसे पहले, कक्षीय अवधियों के अनुपात को खोजने के लिए केप्लर के तीसरे नियम को लागू करें:

(T′ / T)² = (R′ / R)³ = (4R / R)³ = 4³ = 64

इससे, हम अवधियों के अनुपात को हल कर सकते हैं:

T′ / T = 8

इसका मतलब है कि मंगल को बुध की तुलना में सूर्य की परिक्रमा करने में 8 गुना अधिक समय लगता है। इसलिए, बुध पर एक वर्ष की लंबाई है:

T = T′ / 8 = 687 / 8 ≈ 85.88 दिन

इसलिए, बुध पर एक वर्ष लगभग 86 पृथ्वी दिन है। निकटतम विकल्प 88 दिन है।

सही विकल्प: (4) 108 दिन है। 

सूर्य को एक ठोस गोला मानते हुए, I = (2/5) m R²

कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करने पर, I'ω' = Iω

⇒ (2/5) m (2R)² × (2π / T') = (2/5) m R² × (2π / T)

⇒ T' = 4T = 4 × 27 = 108 दिन

अवधारणा:

• केप्लर का तीसरा नियम: ग्रहों की समय अवधि का वर्ग इनकी कक्षाओं की दूरी के घन के समान आनुपातिक हैं।

T2 α R3

जहां T समय अवधि है और R सूर्य से ग्रह की औसत दूरी है ।

गणना:

यह दिया गया है कि सूर्य से ग्रह की औसत दूरी सूर्य से पृथ्वी की दूरी का 1.588 गुना है ।

\( {R_{planet} \over R_{earth}}=4\) एवं

Tearth = 1 वर्ष

T2 α R3

\( {T_{planet} \over T_{earth}}= ({R_{planet} \over R_{earth}})^{3/2} \)

\( {T_{planet} \over T_{earth}}= (4)^{3/2} \)

\( {T_{planet} \over T_{earth}}= (2)^{3} \)

Tplanet = 8Tearth 

Tplanet = 8 वर्ष

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

गणना:

T² ∝ R³

\(\left(\frac{T_{m}}{T_{s}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R} / 9}\right)^{3}\)

\(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{~T}_{\mathrm{s}}}=(3)^{3}\)

⇒ \(\mathrm{T}_{\mathrm{s}}=\left(\frac{27}{27}\right)=\) 1 दिन

संप्रत्यय:

केप्लर के नियम गुरुत्वाकर्षण बलों के प्रभाव में ग्रहों की गति का वर्णन करते हैं जो व्युत्क्रम वर्ग नियम अर्थात्, F ∝ 1/r² का अनुसरण करते हैं। दो प्रासंगिक नियम हैं:

• केप्लर का क्षेत्रफल नियम: सूर्य से किसी ग्रह तक की त्रिज्या सदिश समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफलों को पार करती है।
• केप्लर का आवर्तकाल नियम: कक्षीय आवर्तकाल (T) का वर्ग कक्षा के अर्ध-प्रमुख अक्ष (a) के घन के समानुपाती होता है: T² ∝ a³

व्युत्क्रम घन नियम (F ∝ 1/r³) के मामले में, ये नियम लागू नहीं हो सकते हैं, क्योंकि वे व्युत्क्रम वर्ग नियम (F ∝ 1/r²) के आधार पर व्युत्पन्न किए गए हैं।

विश्लेषण:

व्युत्क्रम घन नियम (F ∝ 1/r³) के लिए, कक्षीय गति और बल और दूरी के बीच का संबंध बदल जाता है। क्षेत्रफल का नियम अभी भी लागू होगा, लेकिन आवर्तकाल का नियम लागू नहीं होगा क्योंकि कक्षीय आवर्तकाल का अर्ध-प्रमुख अक्ष से संबंध अब T² ∝ a³ नियम का अनुसरण नहीं करेगा।

∴ सही उत्तर: 1) केप्लर का क्षेत्रफल नियम अभी भी लागू होता है।

संकल्पना:

केप्लर का नियम:

• ग्रहों की गति के केप्लर के नियम सूर्य के चारों ओर ग्रहों की गति का वर्णन करने वाले तीन वैज्ञानिक नियम हैं।

केप्लर का पहला नियम:

• सभी ग्रह दीर्घवृत्तीय कक्षाओं में सूर्य के चारों ओर घूमते हैं, जिनमें से एक केंद्र में सूर्य होता है।

​

केप्लर का दूसरा नियम कहता है:

• सूर्य से ग्रह तक खींचा गया त्रिज्या सदिश समय के समान अंतराल में समान क्षेत्रों को पार करता है।
• क्षेत्रीय वेग स्थिर है।
• सूत्र, क्षेत्रीय वेग, \(\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2m}\), जहाँ L = कोणीय संवेग, m = द्रव्यमान
•  

​

केप्लर का काल नियम:

• दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर एक ग्रह के परिक्रमण की आवर्त काल का वर्ग सीधे उसके अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन के समानुपाती होता है।
• सूत्र, \(T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \) जहाँ r = त्रिज्या, G = सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, M = द्रव्यमान

गणना:

भूगर्भीय उपग्रह की त्रिज्या, r₁ = R + 7R = 8R

पृथ्वी पर आवर्त काल, T₁ = 24h

दूसरे उपग्रह की त्रिज्या, r₂ = R + 3R = 4R

यहाँ, R = पृथ्वी की त्रिज्या

उपग्रह की त्रिज्या और आवर्त काल के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है,

\(T=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \)

\(T^2 \propto r^3\)

\(\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{(\frac{r_2}{r_1})^3}\)

\(T_2=T_1\sqrt{(\frac{r_2}{r_1})^3}\)

\(T_2=24\times \sqrt{(\frac{4R}{8R})^3}\)

\(T_2=24\times \sqrt{(\frac{1}{2})^3} = 24\times \frac{1}{2\sqrt 2} \)

\(T_2= 24\times \frac{1}{2\sqrt 2}\times \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2} = \frac{24\sqrt 2}{4}\)

\(T_2=6\sqrt{2} \ hr\)

अत: दूसरे उपग्रह का आवर्त काल \(6\sqrt{2} \ hr\) है।

अवधारणा:

ग्रहों की गति के केपलर नियम:

• कक्षाओं का नियम: प्रत्येक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घ वृत्ताकार कक्षा में किसी एक फोकस पर सूर्य होने के साथ चक्कर लगाता है।
• क्षेत्र का नियम: ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाली रेखा समान समयान्तराल में समान क्षेत्रफल तय करती है अर्थात क्षेत्रीय वेग स्थिर है।
• इस नियम के अनुसार जब सूर्य ग्रह से दूर होता है तो यह धीरे-धीरे गति करेगा और जब यह सूर्य के निकट है तो तेजी से गति करेगा। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के समान है।
• अवधियों का नियम: सूर्य के चारों ओर किसी भी ग्रह की परिक्रमा की अवधि (T) कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होती है T2 ∝ r3

गणना:

दिए गए - 1ली कक्षीय त्रिज्या (R1) = R, और 2री कक्षीय त्रिज्या (R2 ) = 4 R

• अवधियों के नियम के अनुसार

⇒ T2 ∝ r3

\(⇒ (\frac{T_1}{T_2})^2=(\frac{R_1}{R_2})^3\)

\(⇒ (\frac{T_1}{T_2})^2=(\frac{R}{4R})^3=\frac{1}{64}\)

\(\Rightarrow \frac{T_1}{T_2}=(\frac{1}{64})^\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)

अवधारणा:

• केप्लर का पहला नियम: इसे दीर्घवृत्त के नियम के रूप में भी जाना जाता है, इसके अनुसार एक ग्रह सूर्य की परिक्रमा दीर्घवृत्तीय पथ में करता है।
• कोणीय संवेग(L): एक कठोर निकाय के कोणीय संवेग (L) को जड़त्व आघूर्ण (I) और कोणीय वेग (ω) के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

L = I × ω अथवा

L = MVR (रैखिक गति के संदर्भ में)

जहाँ M निकाय का द्रव्यमान है, V इसका रैखिक वेग है, और R इसकी गति की त्रिज्या है।

• कोणीय संवेग का संरक्षण: यदि किसी प्रणाली पर कोई बाहरी बल या बल आघूर्ण कार्य नहीं करता है, तो उस प्रणाली का कोणीय संवेग स्थिर रहता है।

M VARA = M VBRB

जहां M निकाय का द्रव्यमान है, V_A और V_B बिन्दु A और B पर वेग हैं, और R_A और R_B इन बिंदुओं पर त्रिज्या हैं।

गणना:

दिया है कि:

कोणीय संवेग के संरक्षण का उपयोग करते हुए :

L_A = L_B

M_E V_A R_A = M_E V_B R_B

\(\frac{V_A}{V_B}=\frac{R_B}{R_A}=R\)

तो सही उत्तर विकल्प 3 है।

सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात् बराबर क्षेत्रफलों का नियम है। 

संकल्पना:

• केपलर के भूमण्डलीय गति का नियम​
  • पहला नियम (कक्षाओं का नियम): सभी ग्रह किसी एक केंद्र-बिंदु पर सूर्य वाले दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। 
  • दूसरा नियम (क्षेत्रफलों का नियम): सूर्य से ग्रह तक खिंचा गया त्रिज्या सदिश समय के बराबर अंतराल में बराबर क्षेत्रों में घूमते हैं। 

ग्रह P एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर गति करता है। छायांकित क्षेत्र समय के छोटे अंतराल Δt में घुमा हुआ क्षेत्र ΔA होता है । 

\({\rm{i}}.{\rm{e}}.{\rm{\;}}\frac{{{\rm{dA}}}}{{{\rm{dt}}}} = {\rm{constant}}\)

• तीसरा नियम (अवधियों का नियम): एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर ग्रह के चक्कर की समयावधि का वर्ग इसके अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन के समानुपाती होता है। 

वर्णन:

• केपलर के भूमण्डलीय गति के दूसरे नियम से यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि यह सूर्य के चारों ओर ग्रह पथ में ग्रह द्वारा घुमा हुआ क्षेत्र होता है। 

अतः केपलर के दूसरे नियम को बराबर क्षेत्रफलों वाले नियम के रूप में भी जाना जाता है। 

अवधारणा:

जोहानेस केप्लर ने ग्रहों की गति के नियम का प्रतिपादन किया

• केप्लर का पहला नियम: हर ग्रह एक दीर्घवृतीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमता है और सूर्य अपने दो केंद्रों में से किसी एक पर स्थित होता है। इसे 'कक्षाओं का नियम' भी कहा जाता है।
• कोणीय संवेग का संरक्षण: जैसे ही ग्रह दीर्घवृतीय कक्षा मे गति करता है  वेग और सूर्य से दूरी दोनों में परिवर्तन आता है, लेकिन वेग एवं दूरी का गुणनफल स्थिर रहता है।

L = m v r,

जहां m ग्रह का द्रव्यमान है, v ग्रह का कक्षीय वेग है और r दूरी है जो कक्षा की अर्द्ध दीर्घ अक्ष से ली गई है (सूर्य और ग्रह के बीच की दूरी) ।

व्याख्या:

कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के रूप में; हम कह सकते हैं कि बुध की गति अधिकतम होगी जब सूर्य से इसकी दूरी न्यूनतम होगी;

∴ m v r = नियतांक

इसलिए, बुध ग्रह की गति अधिकतम 'A' पर है क्योंकि सूर्य और बुध के बीच की दूरी आकृति में 'AS' पर सबसे कम है।
इसलिए ऑप्शन 2 सही है।

अवधारणा:

ग्रहों की गति के केप्लर के नियम: तीन नियम हैं:

• कक्षाओं का नियम/पहला नियम: प्रत्येक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घ वृत्ताकार कक्षा में सूर्य के चारों ओर से किसी एक फोकस पर चक्कर लगाता है।

• क्षेत्रफल का नियम/दूसरा नियम: ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाली रेखा समान समयान्तराल में समान क्षेत्रफल तय करती है अर्थात क्षेत्रीय वेग स्थिर है।
  • इस नियम के अनुसार जब सूर्य ग्रह से दूर होता है तो यह धीरे-धीरे गति करेगा और जब यह सूर्य के निकट है तो तेजी से गति करेगा। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के समान है।
• अवधि का नियम/तीसरा नियम: सूर्य के चारों ओर किसी भी ग्रह की परिक्रमा की अवधि (T) कक्षा की अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होती है अर्थात T2 ∝ r3.

\(\therefore Time\;period\;\left( T \right) ∝ \;{r^{\frac{3}{2}}}\)

व्याख्या:

• क्षेत्रफल के नियम के अनुसार सूरज और किसी भी ग्रह को जोड़ने वाली एक रेखा समय के समान अंतरालों में समान क्षेत्र का चक्कर लगाती है।
• यह सिद्धांत यह भी दर्शाता है कि जब ग्रह सूरज से बहुत दूर होते हैं तो उनकी गति जब वे निकट होते हैं तो उस समय की गति से कम प्रतीत होती है।

सही उत्तर विकल्प 2 है) अर्थात n12d13 = n22d23

अवधारणा:

• ग्रहों की गति के केपलर नियम
  • पहला नियम (कक्षाओं का नियम): सभी ग्रह किसी एक केंद्र-बिंदु पर सूर्य वाले दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। 
  • दूसरा नियम (क्षेत्रफलों का नियम): सूर्य से ग्रह तक खिंचा गया त्रिज्या सदिश समय के बराबर अंतराल में बराबर क्षेत्रों में घूमते हैं। 
  • तीसरा नियम (अवधियों का नियम): एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर ग्रह के घूर्णन की समयावधि का वर्ग इसके अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है।

स्पष्टीकरण:

केप्लर के तीसरे नियम से, समयावधि (T) का वर्ग सीधे माध्य दूरी (d) के घन के समानुपाती होता है।

⇒ T2 ∝ d3

हम यह भी जानते हैं कि, समय अवधि, \(T =\frac{1}{frequency} = \frac{1}{n}\)

\(\Rightarrow\frac {1}{n^2} \propto d^3\)

सूर्य की परिक्रमा करने वाले दो ग्रहों के लिए,

\(\Rightarrow\frac {n_2^2}{n_1^2} \propto \frac{d_1^3}{d_2^3}\)

\(\Rightarrow n_1^2d_1^3 = n_2^2d_2^3\)

सही उत्तर विकल्प 4 अर्थात अवधियों का नियम है। 

अवधारणा:

• ग्रहों की गति के केपलर नियम
  • पहला नियम (कक्षाओं का नियम): सभी ग्रह किसी एक केंद्र-बिंदु पर सूर्य वाले दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। 
  • दूसरा नियम (क्षेत्रफलों का नियम): सूर्य से ग्रह तक खिंचा गया त्रिज्या सदिश समय के बराबर अंतराल में बराबर क्षेत्रों में घूमते हैं। 
  • तीसरा नियम (अवधियों का नियम): एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर ग्रह के घूर्णन की समयावधि का वर्ग इसके अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है। 

व्याख्या:

• ग्रहों की गति के केपलर के तीसरे नियम में कक्षा में सूर्य के चारों ओर ग्रहों की क्रांति की समय अवधि का वर्णन किया गया है। इसलिए, इसे अवधियों के नियम​ के रूप में भी जाना जाता है।

सही उत्तर विकल्प 3 है)

अवधारणा:

• ग्रहों की गति के केपलर नियम
  • पहला नियम (कक्षाओं का नियम): सभी ग्रह किसी एक केंद्र-बिंदु पर सूर्य वाले दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। 
  • दूसरा नियम (क्षेत्रफलों का नियम): सूर्य से ग्रह तक खिंचा गया त्रिज्या सदिश समय के बराबर अंतराल में बराबर क्षेत्रों में घूमते हैं। 
  • तीसरा नियम (अवधियों का नियम): एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर ग्रह के घूर्णन की समयावधि का वर्ग इसके अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है। 

व्याख्या:

• केप्लर के पहले नियम से, हम जानते हैं कि पृथ्वी एक दीर्घ वृत्ताकार पथ में सूर्य की परिक्रमा करती है। सूर्य इस दीर्घ वृत्ताकार कक्षा के फोकी में से एक पर स्थित है।
• अपसौर पृथ्वी की कक्षा का वह बिंदु है जो सूर्य से सबसे दूर है।
• उपसौर पृथ्वी की कक्षा का वह बिंदु है जो सूर्य के सबसे नजदीक है।

संकल्पना:

कोणीय संवेग:

• कोणीय संवेग किसी भी घूर्णन निकाय का गुणधर्म है जो जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग का गुणनफल होता है
  • यह एक सदिश राशि है।
  • इसका SI मात्रक kg-m2/s है।
• यदि I और ω क्रमशः जड़त्व आघूर्ण और कोणीय वेग हैं, तो कोणीय संवेग इस प्रकार होगा-

⇒ L = Iω

जहां L = कोणीय संवेग, I = जड़त्व आघूर्ण, और ω = कोणीय वेग

केप्लर का क्षेत्रफल का दूसरा नियम:

• इस नियम को क्षेत्रों के नियम के रूप में जाना जाता है।
• किसी ग्रह को सूर्य से मिलाने वाली रेखा समान समयान्तराल में समान क्षेत्रफलों को पार करती है।
• समय के साथ क्षेत्र परिवर्तन की दर स्थिर रहेगी।

व्याख्या:

जैसा कि हम केप्लर के दूसरे नियम से जानते हैं

\(\frac{Δ A}{Δ t} = constant\) (समय के अनुसार क्षेत्र में परिवर्तन स्थिर है)। यह कोणीय गति के संरक्षण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

\(Δ A = \frac{1}{2} × r × v\ Δ t\) -- (1)

v गति है, Δ t क्षेत्र को कवर करने में व्यतीत समय है, इसलिए यात्रा की गई रैखिक दूरी v .Δ t है।

संवेग p = mv, अतः v = p / m

तो, इसे (1) में रखने पर

\(Δ A = \frac{1}{2} × r × \frac{p}{m} \ Δ t\)

\(\implies \frac{Δ A}{Δ t} = \frac{pr}{2m}\)

कोणीय संवेग L = रैखिक संवेग (p) × त्रिज्या (r)

एक केंद्रीय बल के लिए, जो r के अनुदिश निर्देशित है, L एक स्थिरांक है।

अत: Δ A \ Δ t स्थिरांक है L और m दोनों स्थिरांक हैं।

इसलिए, हम कह सकते हैं कि केप्लर का नियम "क्षेत्रीय वेग स्थिरांक है"  कोणीय गति के संरक्षण के नियम के बराबर है।

अतिरिक्त जानकारी

• पहला नियम (कक्षाओं का नियम): सभी ग्रह किसी एक केंद्र-बिंदु पर सूर्य वाले दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हैं। 
• दूसरा नियम (क्षेत्रफलों का नियम): सूर्य से ग्रह तक खिंचा गया त्रिज्या सदिश समय के बराबर अंतराल में बराबर क्षेत्रों में घूमते हैं। 
• तीसरा नियम (अवधियों का नियम): एक दीर्घवृत्तीय कक्षा में सूर्य के चारों ओर ग्रह के घूर्णन की समयावधि का वर्ग इसके अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है।