Homogeneous Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Homogeneous Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 30, 2025

पाईये Homogeneous Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Homogeneous Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Homogeneous Equations MCQ Objective Questions

Homogeneous Equations Question 1:

यदि प्रणाली

(r + a) x + by + cz = 0,

ax + (s + b) y + cz = 0,

ax + by + (t + c) z = 0, का एक गैर-नगण्य समाधान है,

तो ar+bs+ct=?, जहां r = s = t ≠ 0 है। 

  1. 2
  2. -1
  3. -2
  4. -4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -1

Homogeneous Equations Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

समरूप प्रणाली AX = 0 के लिए, एक गैर-नगण्य समाधान केवल तभी मौजूद होता है जब |A| = 0,

|A|=0|(r+a)bca(s+b)cab(t+c)|=0

R2 ⇒ R2 - R1

R3 ⇒ R3 - R1

|(r+a)bcrs0r0t|=0

  (r + 0) (st) – b (-rt) + c (+ rs) = 0

अभी,

rst + ast + brt + crs = 0

rst द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करके,

1+ar+bs+ct=0

ar+bs+ct=1

Homogeneous Equations Question 2:

(1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान ज्ञात करेंI

  1. 3
  2. 1
  3. 6
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Homogeneous Equations Question 2 Detailed Solution

धारणा:

  • ddx(xn)=nxn1

जहां, 'x' एक बीजगणितीय फलन है

  • वक्र (y = mx + C) की ढलान को निम्न द्वारा दिया जाता है

m=dydx

गणना:

दिया हुआ-

Y = x3

अब वक्र की ढलान है

m=dydx=3x2

इसलिए (1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान है

m = 3 × (1)2

m = 3

Homogeneous Equations Question 3:

निम्न रेखीय समीकरण के लिए

a + 3b – 2c = -1

5b + 3c = -8

a – 2b – 5c = 7

निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है।

  1. प्रणाली का कोई समाधान नहीं है
  2. प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है
  3. प्रणाली का परिमित समाधान है
  4. प्रणाली के अनंत रूप से कई समाधान हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : प्रणाली के अनंत रूप से कई समाधान हैं

Homogeneous Equations Question 3 Detailed Solution

दिए गए रेखीय समीकरण का गुणांक आव्यूह है

[132053125][abc]=[187]

letA=[132053125]

कोटि = 3

माना कि संवर्धित आव्यूह निम्न है

X=[132053125|187]

R3 → R3 – R1

X[132053053|188]

X[132053000|180]

चूँकि A की रैंक = X की रैंक < 3

इसलिए, प्रणाली के अनंत रूप से कई समाधान हैं।

Homogeneous Equations Question 4:

Find the values of K for which the system of equations

x – Ky + z = 0

Kx + 3y – Kz = 0

3x + y – z = 0

has only trivial solution

  1. K ≠ 2 and K ≠ -3
  2. K = 2 and K = -3
  3. K ≠ 2 and K = -3
  4. K = 2 and K ≠ -3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : K ≠ 2 and K ≠ -3

Homogeneous Equations Question 4 Detailed Solution

संकल्पना:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2,…, xहैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं हमें निम्नलिखित आव्यूह की रैंक खोजने की आवश्यकता है।

A=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]

A समीकरणों की दी गई प्रणाली का गुणांक आव्यूह है।

सजातीय समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान (नगण्य समाधान) है यदि और केवल यदि A का सारणिक गैर-शून्य है।

विश्लेषण:

For trivial solution, the |A| ≠ 0

|1K1K3K311|0

⇒ 1(-3 + K) + K(-K + 3K) + 1(K - a) ≠ 0

⇒ K – 3 + 2K2 + K – 9 ≠ 0

2K2 + 2K – 12 ≠ 0

⇒ K2 + K – 6 ≠ 0

⇒ (K + 3) (K - 2) ≠ 0

⇒ K ≠ -3 and K ≠ 2

Homogeneous Equations Question 5:

समीकरणों की प्रणाली

x + y + z = 150

x + 2y + 3z = 100

2x + 3y + 4z = 200   का ______ है।

  1. एक द्वितीय हल
  2. कोई हल नहीं
  3. अनंत हल
  4. इनमे से कोई नही

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : कोई हल नहीं

Homogeneous Equations Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

गाऊसीय विलोपन विधि का उपयोग करके:

R1R2R3[111123234|150100200]

R2R1 and R32R1

=[111012012|15050100]R3R2[111012000|1505050]

1x + 1y + 1z = 150

1y + 2z = -50

0 = -50

यहाँ, दो समीकरण और 3 अज्ञात, क्योंकि तीसरा समीकरण अमान्य है

और [A] की रैंक <  [A : B] की रैंक

इसलिए असंगत और कोई हल नहीं

Top Homogeneous Equations MCQ Objective Questions

(1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान ज्ञात करेंI

  1. 3
  2. 1
  3. 6
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Homogeneous Equations Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

  • ddx(xn)=nxn1

जहां, 'x' एक बीजगणितीय फलन है

  • वक्र (y = mx + C) की ढलान को निम्न द्वारा दिया जाता है

m=dydx

गणना:

दिया हुआ-

Y = x3

अब वक्र की ढलान है

m=dydx=3x2

इसलिए (1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान है

m = 3 × (1)2

m = 3

Homogeneous Equations Question 7:

(1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान ज्ञात करेंI

  1. 3
  2. 1
  3. 6
  4. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Homogeneous Equations Question 7 Detailed Solution

धारणा:

  • ddx(xn)=nxn1

जहां, 'x' एक बीजगणितीय फलन है

  • वक्र (y = mx + C) की ढलान को निम्न द्वारा दिया जाता है

m=dydx

गणना:

दिया हुआ-

Y = x3

अब वक्र की ढलान है

m=dydx=3x2

इसलिए (1, 1) पर वक्र y = x3 की ढलान है

m = 3 × (1)2

m = 3

Homogeneous Equations Question 8:

समीकरणों की प्रणाली

x + y + z = 150

x + 2y + 3z = 100

2x + 3y + 4z = 200   का ______ है।

  1. एक द्वितीय हल
  2. कोई हल नहीं
  3. अनंत हल
  4. इनमे से कोई नही

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : कोई हल नहीं

Homogeneous Equations Question 8 Detailed Solution

संकल्पना:

गाऊसीय विलोपन विधि का उपयोग करके:

R1R2R3[111123234|150100200]

R2R1 and R32R1

=[111012012|15050100]R3R2[111012000|1505050]

1x + 1y + 1z = 150

1y + 2z = -50

0 = -50

यहाँ, दो समीकरण और 3 अज्ञात, क्योंकि तीसरा समीकरण अमान्य है

और [A] की रैंक <  [A : B] की रैंक

इसलिए असंगत और कोई हल नहीं

Homogeneous Equations Question 9:

निम्न रेखीय समीकरण के लिए

a + 3b – 2c = -1

5b + 3c = -8

a – 2b – 5c = 7

निर्धारित करें कि निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है।

  1. प्रणाली का कोई समाधान नहीं है
  2. प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है
  3. प्रणाली का परिमित समाधान है
  4. प्रणाली के अनंत रूप से कई समाधान हैं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : प्रणाली के अनंत रूप से कई समाधान हैं

Homogeneous Equations Question 9 Detailed Solution

दिए गए रेखीय समीकरण का गुणांक आव्यूह है

[132053125][abc]=[187]

letA=[132053125]

कोटि = 3

माना कि संवर्धित आव्यूह निम्न है

X=[132053125|187]

R3 → R3 – R1

X[132053053|188]

X[132053000|180]

चूँकि A की रैंक = X की रैंक < 3

इसलिए, प्रणाली के अनंत रूप से कई समाधान हैं।

Homogeneous Equations Question 10:

Find the values of K for which the system of equations

x – Ky + z = 0

Kx + 3y – Kz = 0

3x + y – z = 0

has only trivial solution

  1. K ≠ 2 and K ≠ -3
  2. K = 2 and K = -3
  3. K ≠ 2 and K = -3
  4. K = 2 and K ≠ -3

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : K ≠ 2 and K ≠ -3

Homogeneous Equations Question 10 Detailed Solution

संकल्पना:

m रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0

उपरोक्त समीकरणों में n अज्ञात x1, x2,…, xहैं। यह निर्धारित करने के लिए कि समीकरणों की उपरोक्त प्रणाली सुसंगत है या नहीं हमें निम्नलिखित आव्यूह की रैंक खोजने की आवश्यकता है।

A=[a11a12a1na21a22a2nam1am2amn]

A समीकरणों की दी गई प्रणाली का गुणांक आव्यूह है।

सजातीय समीकरणों की प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान (नगण्य समाधान) है यदि और केवल यदि A का सारणिक गैर-शून्य है।

विश्लेषण:

For trivial solution, the |A| ≠ 0

|1K1K3K311|0

⇒ 1(-3 + K) + K(-K + 3K) + 1(K - a) ≠ 0

⇒ K – 3 + 2K2 + K – 9 ≠ 0

2K2 + 2K – 12 ≠ 0

⇒ K2 + K – 6 ≠ 0

⇒ (K + 3) (K - 2) ≠ 0

⇒ K ≠ -3 and K ≠ 2

Homogeneous Equations Question 11:

यदि प्रणाली

(r + a) x + by + cz = 0,

ax + (s + b) y + cz = 0,

ax + by + (t + c) z = 0, का एक गैर-नगण्य समाधान है,

तो ar+bs+ct=?, जहां r = s = t ≠ 0 है। 

  1. 2
  2. -1
  3. -2
  4. -4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -1

Homogeneous Equations Question 11 Detailed Solution

व्याख्या:

समरूप प्रणाली AX = 0 के लिए, एक गैर-नगण्य समाधान केवल तभी मौजूद होता है जब |A| = 0,

|A|=0|(r+a)bca(s+b)cab(t+c)|=0

R2 ⇒ R2 - R1

R3 ⇒ R3 - R1

|(r+a)bcrs0r0t|=0

  (r + 0) (st) – b (-rt) + c (+ rs) = 0

अभी,

rst + ast + brt + crs = 0

rst द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करके,

1+ar+bs+ct=0

ar+bs+ct=1
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