Fins MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fins - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

पंखे की प्रभावशीलता

• पंखे की प्रभावशीलता एक माप है कि पंखे बिना पंखे की स्थिति की तुलना में ऊष्मा हस्तांतरण को कितना बेहतर बनाता है। इसे पंखे के साथ ऊष्मा हस्तांतरण का पंखे के बिना ऊष्मा हस्तांतरण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। पंखे की प्रभावशीलता विभिन्न मापदंडों पर निर्भर करती है जैसे कि पंखे की सामग्री की तापीय चालकता, संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक, पंखे की ज्यामिति और तापमान प्रवणता।

सूत्र: एक पंखे की प्रभावशीलता (ε) इस प्रकार दी गई है:

ε = (पंखे के साथ ऊष्मा हस्तांतरण) / (पंखे के बिना ऊष्मा हस्तांतरण)

पंखे की प्रभावशीलता पंखे के पैरामीटर पर निर्भर करती है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$m=\sqrt{\frac{hp}{k{A}_c}}$

जहाँ:

• $h$ = संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक
• $p$ = पंखे का परिमाप
• $k$ = तापीय चालकता
• $A_c$ = अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल

सिद्धांत:

एक बहुत लंबी छड़ के लिए, ऊष्मा हानि इस प्रकार दी जाती है: $Q=\sqrt{hPk{A}_c}(T_s-T_{\mathrm{\infty }})$

जहाँ P परिमाप है और A_c छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।

दिया गया है:

व्यास, d = 25 मिमी = 0.025 मीटर

तापीय चालकता, k = 400 W/m·K

संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक, h = 9 W/m²·K

पृष्ठ तापमान, T_s = 121 डिग्री सेल्सियस

पर्यावरण तापमान, T_∞ = 25 डिग्री सेल्सियस

π² = 10

गणना:

परिमाप, $P=\pi \times d=0.025\pi$

अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, $A_c=\frac{\pi d^2}{4}=0.00015625\pi$

ऊष्मा हानि, $Q=\sqrt{9\times 0.025\pi \times 400\times 0.00015625\pi }\times (121-25)$

= $0.372\times 96=36W$

व्याख्या:

पंखों के माध्यम से ऊष्मा हस्तांतरण

• पंखों के माध्यम से ऊष्मा हस्तांतरण एक सामान्य विधि है जिसका उपयोग सतह क्षेत्र को बढ़ाकर सतह से ऊष्मा अपव्यय को बढ़ाने के लिए किया जाता है। पंख सतह पर जोड़े गए विस्तार हैं ताकि पर्यावरण में ऊष्मा हस्तांतरण की दर बढ़ाई जा सके। प्राथमिक तंत्र जिसके माध्यम से पंख ऊष्मा हस्तांतरण को बढ़ाते हैं, वह संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण है।

संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण:

• संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गति में एक ठोस सतह और एक द्रव (तरल या गैस) के बीच ऊष्मा हस्तांतरण की प्रक्रिया है। संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण की दर न्यूटन के शीतलन के नियम द्वारा नियंत्रित होती है, जो बताता है कि ऊष्मा हस्तांतरण दर (Q) सतह क्षेत्र (A) और सतह और द्रव के बीच तापमान अंतर (ΔT) के सीधे आनुपातिक है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

Q = h x A x ΔT

जहाँ h संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक है।

सतह क्षेत्र बढ़ाने का प्रभाव:

• पंख के सतह क्षेत्र को बढ़ाकर, ऊष्मा हस्तांतरण दर बढ़ जाती है क्योंकि संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण के लिए एक बड़ा क्षेत्र उपलब्ध होता है।
• यह उन अनुप्रयोगों में विशेष रूप से फायदेमंद है जहाँ ऊष्मा को कुशलतापूर्वक नष्ट करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि हीट एक्सचेंजर, रेडिएटर और इलेक्ट्रॉनिक कूलिंग सिस्टम में।
• बढ़ा हुआ सतह क्षेत्र सतह और आसपास के द्रव के बीच अधिक प्रभावी बातचीत की अनुमति देता है, जिससे समग्र ऊष्मा हस्तांतरण दर में सुधार होता है।

पंख गर्म सतह से परिवेशी द्रव में निकलने वाले प्रक्षेपण होते हैं और उनका उद्देश्य ऊष्मा हस्तांतरण संवहन क्षेत्र के क्षेत्रफल को बढ़ाकर ऊष्मा हस्तांतरण दर को बढ़ाना होता है।

पंख की प्रभावशीलता यह तय करती है कि गर्म सतह में पंख जोड़ने से ऊष्मा हस्तांतरण दर में वृद्धि होगी या नहीं।

पंख की प्रभावशीलता को पंख के साथ और बिना पंख के ऊष्मा हस्तांतरण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।

${ϵ}_{fin}=\frac{q_{withfin}}{q_{withoutfin}}$

यदि प्रभावशीलता एक से अधिक है तो केवल जोड़ा गया पंख ऊष्मा हस्तांतरण दर को बढ़ाएगा अन्यथा इसका सतह पर जोड़ने का कोई मतलब नहीं होगा।

सबसे आम पंख जो उपयोग किया जाता है वह है एडियाबेटिक टिप (पंख लंबाई में सीमित है)

$q_{withfin}=\sqrt{hpkA}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})\tanh ml$

$q_{withoutfin}=hA(T_o-T_{\mathrm{\infty }})$

जहाँ h: संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक A: क्षेत्रफल P: परिमाप और k: सामग्री की तापीय चालकता

${ϵ}_{fin}=\frac{\sqrt{hpkA}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})\tanh ml}{hA(T_o-T_{\mathrm{\infty }})}$

${ϵ}_{fin}=\frac{\tanh ml}{\sqrt{\frac{hA}{kp}}}$

व्याख्या:

पंख दक्षता:

• पंखों के माध्यम से ऊष्मा हस्तांतरण की प्रक्रिया में, पूरे सतह क्षेत्र को आधार और आसपास के तापमान के बीच किसी भी तापमान पर माना जाता है जो पंख की लंबाई में भिन्न होता है।
• पंखों के संदर्भ में, "पंख दक्षता" को पंख से वास्तविक ऊष्मा हस्तांतरण और अधिकतम संभव ऊष्मा हस्तांतरण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह दक्षता मीट्रिक विभिन्न थर्मल प्रबंधन अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले पंखों के प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए महत्वपूर्ण है, जैसे कि ऊष्मा हस्तांतरण, रेडिएटर और शीतलन प्रणाली।
• पंखों से आदर्श और वास्तविक ऊष्मा हस्तांतरण की तुलना करके, हम पंख दक्षता को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

${\eta }_{fin}=\frac{{\dot{Q}}_{fin}}{{\dot{Q}}_{fin,max}}=\frac{Actualheattransferratefromthefin}{Idealheattransferratefromthefinifthefinwereatbasetemperature}$

कार्य सिद्धांत:

• पंख विस्तारित सतहें हैं जिनका उपयोग संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण के लिए उपलब्ध सतह क्षेत्र को बढ़ाकर ऊष्मा हस्तांतरण को बढ़ाने के लिए किया जाता है।
• एक पंख की दक्षता इस बात से निर्धारित होती है कि यह अपने आधार से आसपास के द्रव में कितनी प्रभावी ढंग से ऊष्मा स्थानांतरित करता है।
• पंख की दक्षता जितनी अधिक होगी, वास्तविक ऊष्मा हस्तांतरण सैद्धांतिक अधिकतम के उतना ही करीब होगा।
• एक पंख से वास्तविक ऊष्मा हस्तांतरण कई कारकों पर निर्भर करता है, जिसमें सामग्री गुण, पंख ज्यामिति और पंख सामग्री की तापीय चालकता शामिल है।
• दूसरी ओर, अधिकतम संभव ऊष्मा हस्तांतरण एक सैद्धांतिक मान है जो इस धारणा पर आधारित है कि पूरा पंख आधार तापमान पर है।

लाभ:

• बेहतर ऊष्मा हस्तांतरण क्षमताएँ, जिससे अधिक कुशल थर्मल प्रबंधन होता है।
• ऊष्मा हस्तांतरण और शीतलन प्रणालियों का बेहतर प्रदर्शन।
• अधिक कुशल ऊष्मा अपव्यय के कारण थर्मल प्रणाली में आकार और वजन में कमी की क्षमता।

हानि:

• फिन वाली सतहों के डिजाइन और निर्माण में जटिलता में वृद्धि।
• अतिरिक्त सतह क्षेत्र के कारण द्रव प्रवाह में दबाव पात में वृद्धि की क्षमता।
• सामग्री और निर्माण लागत साधारण सतहों की तुलना में अधिक हो सकती है।

अनुप्रयोग: पंख दक्षता विभिन्न अनुप्रयोगों में एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है, जिसमें शामिल हैं:

• HVAC प्रणाली में ऊष्मा हस्तांतरण।
• ऑटोमोटिव और एयरोस्पेस उद्योगों में रेडिएटर और शीतलन प्रणाली।
• इलेक्ट्रॉनिक घटक शीतलन, जैसे CPU और पावर इलेक्ट्रॉनिक्स में।
• औद्योगिक ऊष्मा पुनर्प्राप्ति प्रणाली।

व्याख्या:

तापीय चालकता में वृद्धि का पंखे के ऊष्मा हस्तांतरण प्रदर्शन पर प्रभाव

• पंखे (fins) विस्तारित सतहें हैं जिनका उपयोग किसी ठोस और उसके आसपास के द्रव के बीच ऊष्मा हस्तांतरण को बढ़ाने के लिए किया जाता है।
• वे आमतौर पर ऊष्मा विनिमयक, रेडिएटर और अन्य अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं जहाँ कुशल ऊष्मा अपव्यय की आवश्यकता होती है।
• पंखों का प्रदर्शन विभिन्न कारकों पर निर्भर करता है, जिसमें सामग्री की तापीय चालकता, पंखे की ज्यामिति और संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक शामिल हैं।

तापीय चालकता और ऊष्मा हस्तांतरण:

• तापीय चालकता (k) किसी पदार्थ की ऊष्मा का संचालन करने की क्षमता का माप है।
• इसे स्थिर-अवस्था की स्थितियों के तहत, इकाई क्षेत्र की सतह के लंबवत दिशा में, किसी पदार्थ की इकाई मोटाई के माध्यम से संचरित ऊष्मा की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो इकाई तापमान प्रवणता के कारण होती है।
• तापीय चालकता की SI इकाई वाट प्रति मीटर-केल्विन (W/m-K) है।

पंखों को ऊष्मा हस्तांतरण के लिए उपलब्ध सतह क्षेत्र को बढ़ाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, इस प्रकार समग्र ऊष्मा हस्तांतरण दर को बढ़ाया जाता है। किसी पंखे से ऊष्मा हस्तांतरण दर (Q) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Q = η x h x A x (T_b - T_∞)

जहाँ:

• η पंखे की दक्षता है
• h संवहनी ऊष्मा हस्तांतरण गुणांक (W/m²·K) है
• A पंखे का सतह क्षेत्र (m²) है
• T_b आधार तापमान (K) है
• T_∞ परिवेश तापमान (K) है

पंखे की दक्षता (η) पंखे की सामग्री की तापीय चालकता से प्रभावित होती है। उच्च तापीय चालकता के परिणामस्वरूप पंखे में बेहतर ऊष्मा वितरण होता है, जिससे तापमान प्रवणता कम हो जाती है और पंखे की प्रभावशीलता में सुधार होता है।

ऊष्मा हस्तांतरण दर बढ़ जाती है:

• पंखे की सामग्री की तापीय चालकता बढ़ाने से ऊष्मा हस्तांतरण दर में सुधार होता है।
• ऐसा इसलिए है क्योंकि उच्च तापीय चालकता वाली सामग्री पंखे की लंबाई के साथ ऊष्मा को अधिक प्रभावी ढंग से वितरित कर सकती है, जिससे तापमान प्रवणता कम हो जाती है।
• परिणामस्वरूप, संपूर्ण पंखे की सतह ऊष्मा अपव्यय में अधिक समान रूप से भाग लेती है, जिससे समग्र ऊष्मा हस्तांतरण प्रदर्शन में वृद्धि होती है।
• सुधारित तापीय चालकता यह सुनिश्चित करती है कि पंखे के सिरे पर तापमान आधार तापमान के करीब है, जिससे पंखे की प्रभावशीलता अधिकतम हो जाती है।

गणितीय रूप से, एक लंबे पंखे के लिए पंखे की दक्षता (η) का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है:

η ≈ tanh(mL) / (mL)

जहाँ:

• m = √(hP / kA_c)
• L पंखे की लंबाई (m) है
• P पंखे के अनुप्रस्थ का परिमाप (m) है
• A_c पंखे का अनुप्रस्थ क्षेत्रफल (m²) है

जैसे ही तापीय चालकता (k) बढ़ती है, m का मान घटता है, जिससे η का मान अधिक होता है, जिससे ऊष्मा हस्तांतरण दर में वृद्धि होती है।

फिन एक गर्म सतह से परिवेशीय द्रव में फैलने वाले अनुमान हैं और वे ऊष्मा स्थानांतरण संवहन क्षेत्र के क्षेत्रफल में वृद्धि करके ऊष्मा स्थानांतरण दर को बढ़ाने के लिए हैं।

फिन की प्रभावशीलता तय करती है कि क्या गर्म सतह पर फिन को जोड़ना ऊष्मा स्थानांतरण दर को बढ़ाएगा।

एक फिन की प्रभावशीलता को ऊष्मा स्थानांतरण फिन के साथ और बिना फिन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

${ϵ}_{fin}=\frac{q_{withfin}}{q_{withoutfin}}$

यदि प्रभावशीलता एक से अधिक है तो केवल अतिरिक्त फिन ऊष्मा स्थानांतरण दर में वृद्धि करेगा अन्यथा इसका सतह पर जोड़ने का कोई अर्थ नहीं होगा।

सबसे आम फिन का उपयोग स्थिरोष्म टिप है (फिन लंबाई में परिमित है)

$q_{withfin}=\sqrt{hpkA}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})\tanh ml$

$q_{withoutfin}=hA(T_o-T_{\mathrm{\infty }})$

जहाँ h: संवहक ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, A: क्षेत्रफल, P: परिधि और k: सामग्री की तापीय चालकता

${ϵ}_{fin}=\frac{\sqrt{hpkA}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})\tanh ml}{hA(T_o-T_{\mathrm{\infty }})}$

${ϵ}_{fin}=\frac{\tanh ml}{\sqrt{\frac{hA}{kp}}}$

स्पष्टीकरण: 

फिन्स:

फिन्स तप्त सतह से परिवेशी तरल में निकलने वाले प्रक्षेपण हैं और वे ऊष्मा अंतरण क्षेत्र में वृद्धि करके ऊष्मा अंतरण में वृद्धि करने के लिए होते हैं।

फिन के अंतर्गत तापमान वितरण निम्न द्वारा दिया गया हैः

स्थिति (i)

जब फिन लंबाई में परिमित होता है और टिप विद्युतरोधी रहता है।

 x = l पर

$\frac{\theta }{{\theta }_o}=\frac{1}{\cosh ml}$ ⇒ $\theta =\frac{{\theta }_o}{coshml}$

Additional Information   

स्थिति (ii)

फिन असीम रूप से लंबा या बहुत लंबा फिन है

फिन की टिप पर तापमान परिवेश के तापमान के बराबर होता है अर्थात् x = ∞ पर , T = T∞ और θ = 0

तब फिन के अंदर तापमान वितरण निम्न द्वारा दिया जाता है

$\frac{T-T_{\mathrm{\infty }}}{T_0-T_{\mathrm{\infty }}}=e^{-mx}$

जो कि घातांकी है

स्थिति (iii)

जब पंख लंबाई में सीमित हो लेकिन टिप के माध्यम से ऊष्मा खो रहा हो$\frac{T-T_{\mathrm{\infty }}}{T_0-T_{\mathrm{\infty }}}=\frac{\cosh m\left(l_c-x\right)}{\cosh m{l}_c}$

जहाँ lc फिन की संशोधित लंबाई है

$l_c=l+\frac{t}{2}$ आयताकार फिन के लिए

$l_c=l+\frac{d}{4}$ पिन फिन के लिए

संकल्पना:

फिन की दक्षता और फिन की प्रभावकारिता के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया गया है,

$\frac{\eta }{\epsilon }=\frac{CrossSectionareaofthefin\left(Ac\right)}{Surfaceareaofthefin\left(As\right)}$

गणना

दिया हुआ

फिन की लंबाई, L = 3 cm = 30 mm, वर्ग अनुप्रस्थ काट का पक्ष, a = 2 m, फिन की दक्षता, η = 65% = 0.65

$Thermalconductivity,k=237\frac{W}{m^{\circ }C}$

इसलिए,

$\frac{0.65}{\epsilon }=\frac{2^2}{30\times 4\times 8}=39\mathrm{\%}$

Important Points

• अच्छे प्रभावकारिता वाले फिन की बायोट संख्या 1 से कम होनी चाहिए।
• फिन सामग्री में संवहन प्रतिरोध की तुलना में चालन प्रतिरोध अधिक होना चाहिए।

फिन गर्म सतहों से परिवेशी तरल पदार्थ तक प्रक्षेपण स्पर्श हैं और वे ऊष्मा स्थानांतरण क्षेत्र को बढ़ाकर ऊष्मा स्थानांतरण को बढ़ाने का माध्यम हैं।

फिन सतह के साथ तापमान वितरण ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए फिन के मूल से दूरी x पर फिन का एक छोटा विभेदक तत्व है।

माना कि q_x तत्व के लिए संचालित ऊष्मा है तो, 

$q_x=-kA\frac{dT}{dx}$

और q_x+dx  तत्व के बाहर संचालित ऊष्मा है तो, 

$q_{x+dx}=q_x+\left(\frac{\partial q_x}{\partial x}\right)dx$

तत्व के सतह से परिवेशी तरल पदार्थ तक संवाही ऊष्मा = $h\times p\times dx\left(T-T_{\mathrm{\infty }}\right)$

अब ऊर्जा के संरक्षण से 

तत्व में संचालित ऊष्मा = तत्व के बाहर संचालित ऊष्मा + तरल पदार्थ के लिए तत्व की सतह से संवाही ऊष्मा

$q_x=q_{x+dx}+hpdx\left(T-T_{\mathrm{\infty }}\right)$

$q_x=q_x+\left(\frac{\partial q_x}{\partial x}\right)dx+hpdx\left(T-T_{\mathrm{\infty }}\right)$

$0=\frac{\partial }{\partial x}\left(-kA\frac{dT}{dx}\right)dx+hpdx\left(T-T_{\mathrm{\infty }}\right)$

$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}-\frac{hp}{kA}\left(T-T_{\mathrm{\infty }}\right)=0$

माना कि T – T_∞ = θ = f(x)

$\frac{dT}{dx}=\frac{d\theta }{dx}$

$\frac{d^{2}T}{d{x}^2}=\frac{d^2\theta }{d{x}^2}$ और $m^2=\frac{hP}{kA}$ रखने पर 

$\frac{d^2\theta }{d{x}^2}-m^2\theta =0$

उपरोक्त अवकलन समीकरण के लिए हल निम्न दिया गया है

$\theta =C_1{e}^{-mx}+C_2{e}^{mx}$

C₁ और C₂ समाकलन के स्थिरांक हैं और सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित किये जाते हैं।

एक सीमा स्थिति x = 0, T = T₀  और θ = θ₀ = T₀ – T_∞ पर है, दूसरी सीमा स्थिति तीन अलग-अलग स्थितियों पर निर्भर करती है।

स्थिति (i)

फिन अनंत रूप से लंबा है या बहुत लंबा फिन

फिन के नोक पर तापमान परिवेशी तापमान के बराबर होता है अर्थात् x = ∞ , T = T_∞ पर और फिर θ = 0 है।

तो फिन में तापमान वितरण निम्न दिया गया है 

$\frac{T-T_{\mathrm{\infty }}}{T_0-T_{\mathrm{\infty }}}=e^{-mx}$

स्थिति (ii)

जब फिन लम्बाई में सीमित होती है और नोक अवरोधित होता है

$\frac{T-T_{\mathrm{\infty }}}{T_0-T_{\mathrm{\infty }}}=\frac{\cosh m\left(l-x\right)}{\cosh ml}$

स्थिति (iii)

जब फिन लम्बाई में सीमित होता है लेकिन नोक के माध्यम से ऊष्मा खोता है

$\frac{T-T_{\mathrm{\infty }}}{T_0-T_{\mathrm{\infty }}}=\frac{\cosh m\left(l_c-x\right)}{\cosh m{l}_c}$

जहाँ l_c फिन की संशोधित लम्बाई है 

आयताकार फिन के लिए $l_c=l+\frac{t}{2}$

 पिन फिन के लिए $l_c=l+\frac{d}{4}$

व्याख्या:

प्रभाविता (ϵ)

प्रभाविता को एक फिन के साथ ऊष्मा स्थानांतरण दर और एक फिन के बिना ऊष्मा स्थानांतरण दर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक लंबे फिन के लिए

$ϵ=\frac{{\dot{Q}}_{withfin}}{{\dot{Q}}_{withoutfin}}=\sqrt{\frac{KP}{h{A}_c}}$

जहां K = फिन की तापीय चालकता, P = फिन की परिधि

h = ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, Ac = फिन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्र

उपरोक्त सूत्र से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

स्थिती 1: यदि $\frac{P}{A_c}$ बढ़ता है तो फिन की प्रभाविता बढ़ जाती है।

• Ac छोटा होना चाहिए (पतला फिन) और फिन निकट होने चाहिए (बहुत निकट नहीं)।
• यदि फिन बहुत अधिक निकट हो जाते हैं तो यह हवा के प्रवाह को रोक देगा जिससे पंख की प्रभाविता कम हो जाएगी।

स्थिती 2: यदि K बढ़ता है तो फिन की प्रभाविता बढ़ जाती है।

• यदि K बड़ा है तो लंबाई के साथ तापमान में गिरावट कम होगी।
• और फिन और आसपास के तापमान में गिरावट अधिक होगी और ऊष्मा स्थानांतरण अधिक होगा।

स्थिती 3: यदि h कम हो जाता है, तो फिन की प्रभाविता बढ़ जाती है।

• मुक्त संवहन के तहत फिन अधिक प्रभावी होते हैं (h कम होता है)।

वर्णन:

पक्ष:

पक्ष प्रभावी पृष्ठीय क्षेत्रफल को बढ़ाकर एक सतह से ऊष्मा स्थानांतरण को बढ़ाने के लिए प्रयोग की जाने वाली विस्तृत सतह हैं। 

पक्ष की प्रभावकारिता ϵ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है -

$ϵ=\frac{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\sqrt{\frac{\mathrm{k}\mathrm{P}}{\mathrm{h}\mathrm{A}}}$

जहाँ k = तापीय चालकता, P = पक्ष का परिमाप, h = ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक और A = अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल। 

बड़े ऊष्मा स्थानांतरण के लिए ϵ को जितना संभव हो उतना उच्च होना चाहिए। इसे निम्न द्वारा बढ़ाया जा सकता है -

• तांबा और एल्युमीनियम जैसे उच्च तापीय चालकता (k) वाले पदार्थ।
• पक्ष के अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल अर्थात् P/A के लिए परिमाप के अनुपात को बढ़ाना जिसे मोटे पक्षों के बजाय बंद अंतराल में छोटे, पतले पक्षों को रखकर प्राप्त किया जा सकता है। 
• गैस भुजाओं पर पक्ष स्थापित करना जिसमें न्यूनतम ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक (h) है। 
  • h_गैस << h_{द्रव्य}  और​ h_{प्राकृतिक संवहन} << h_{बलात् संवहन}    

स्पष्टीकरण:

कार्यक्षमता, फिन के द्वारा वास्तविक ऊष्मा स्थानान्तरण की दर और अधिकतम संभावित ऊष्मा स्थानान्तरण की दर (जो फिन के द्वारा संभव हो सकती है, अर्थात् जब सम्पूर्ण फिन मूल तापमान पर या आधार तापमान पर होती है) का अनुपात होता है,

ηफिन = वास्तविक ऊष्मा दर / अधिकतम संभावित ऊष्मा

संकल्पना:

ऊष्मा प्रवाह मुख्य रूप से तीन कारकों

• सतह का क्षेत्रफल
• तापमान अंतर और
• संवहनी ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक पर निर्भर करता है।

ऊष्मा स्थानांतरण की दर को इन कारकों में किसी एक को बढ़ाकर बढ़ाया जा सकता है।

• फिन का प्रयोग तब किया जाता है जब उपलब्ध सतह का क्षेत्रफल उपलब्ध तापमान ढलान और ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक के साथ ऊष्मा की आवश्यक मात्रा को स्थानांतरित करने के लिए अपर्याप्त पाया जाता है।
• फिन की स्थिति में संवहन द्वारा ऊष्मा स्थानांतरण की दिशा चालन ऊष्मा प्रवाह की दिशा के लंबवत होती है।
• फिन किसी सतह या वस्तु से विस्तारित सतह का फैलाव होता है, और वे सतह और ऊष्मा स्थानांतरण क्षेत्र को बढ़ाकर आस-पास के तरल पदार्थ के बीच ऊष्मा स्थानांतरण दर को बढ़ाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

यदि पंख की लंबाई परिमित और टिप विद्युतरोधी है,इसका अर्थ है कि यह टिप के माध्यम से ऊष्मा नहीं खो रहा है,

टिप पर संचालित ऊष्मा = 0

$-kA{\left(\frac{dT}{dx}\right)}_{atx=L}=0$

${\left(\frac{dT}{dx}\right)}_{atx=L}=0$ , परिसीमा अवस्था

पंख के अंदर तापमान वितरण इसके द्वारा दिया जाता है

$\frac{T-T_{\mathrm{\infty }}}{T_o-T_{\mathrm{\infty }}}=\frac{\cosh m\left(L-x\right)}{\cosh mL}$

पंख के माध्यम से ऊष्मा स्थानांतरण = $\sqrt{hpkA}\left(T_o-T_{\mathrm{\infty }}\right)\tanh mL$ वाॅट

जहाँ, h बाह्य तरल पदार्थ का ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक, p, पंख के अनुप्रस्थ काट की परिधि, A पंख के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और k पंख की तापीय चालकता है, L पंख की लंबाई और m  विभेदी समीकरण का ढलान, To आधार तापमान है और T∞ परिवेशी तापमान है।

गणना:

हमें m यानी विभेदी समीकरण का ढलान और पंख की लंबाई दिया गया है।

इसलिए अन्य मापदंडों को स्थिर रखने के लिए हम इस पंख के लिए ऊष्मा  स्थानांतरण के समीकरण से देख सकते हैं

$Q\propto \tanh mL$

∴हम दी गई परिस्थिति में टाॅल के लिए tan h ⁡mL के मान की जांच करेंगे और जिस स्थिति में उच्च मान होगा,उसमें उच्च ऊष्मा हस्तांतरण होगा।

पहला विकल्प: m = 0.75, L = 3, tan h⁡ mL = 0.9780

दूसरा विकल्प: m = 1, L = 3, tan h⁡ mL = 0.9950

तीसरा विकल्प: m = 3, L = 0.72, tan h ⁡mL = 0.9737

चौथा विकल्प: m = 2, L = 1.2, tan h⁡ mL = 0.9836

व्याख्या:

पख दक्षता:

एक पख की दक्षता को पख द्वारा स्थानांतरित वास्तविक ऊष्मा और पख द्वारा स्थानांतरित की जा सकने वाली अधिकतम ऊष्मा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि अनंत लम्बाई वाली पख के लिए सम्पूर्ण पख क्षेत्रफल मूल ताप पर हो।

${\eta }_{fin}=\frac{({\dot{Q}}_{fin}{)}_{actual}}{({\dot{Q}}_{fin}{)}_{maximum}}$

जहाँ $(̇Q_{fin}{)}_{maximum}$ = hA_fin(T₀ - T_∞);

जहाँ A_fin = पख का पृष्ठीय क्षेत्रफल = पेरीमीटर × लम्बाई 

स्थिति I:

रोधित नोक:

$({\dot{Q}}_{fin}{)}_{actual}=\sqrt{hPk{A}_c}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})\tan h(mL)$

${\eta }_{fin}=\frac{({\dot{Q}}_{fin}{)}_{actual}}{({\dot{Q}}_{fin}{)}_{maximum}}$

${\eta }_{fin}=\frac{\sqrt{hPk{A}_c}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})\tan h(mL)}{h(pL)(T_o-T_{\mathrm{\infty }})}=\frac{\tanh (mL)}{mL}$

जहाँ $m=\sqrt{\frac{hP}{k{A}_c}}$

स्थिति II:

अनंत लम्बी पख:

$({\dot{Q}}_{fin}{)}_{actual}=\sqrt{hPk{A}_c}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})$

${\eta }_{fin}=\frac{({\dot{Q}}_{fin}{)}_{actual}}{({\dot{Q}}_{fin}{)}_{maximum}}$

${\eta }_{fin}=\frac{\sqrt{hPk{A}_c}(T_o-T_{\mathrm{\infty }})}{h(pL)(T_o-T_{\mathrm{\infty }})}=\frac{1}{mL}$

जहाँ $m=\sqrt{\frac{hP}{k{A}_c}}$