Curvilinear Motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Curvilinear Motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

सिद्धांत:

दो गोलियों के मिलने के समय को ज्ञात करने के लिए, हम क्षैतिज दिशा में प्रक्षेप्य की सापेक्ष गति पर विचार करते हैं।

दिया गया है:

बंदूकों के बीच की दूरी, d = 40 मीटर

बंदूक A से गोली का वेग, v_A = 350 मीटर/सेकंड

बंदूक B से गोली का वेग, v_B = 300 मीटर/सेकंड

प्रक्षेपण का कोण, $\theta ={30}^{\circ }$

गणना:

वेगों को क्षैतिज घटकों में विभाजित करना:

$v_{Ax}=v_A\cos {30}^{\circ }=350\times \frac{\sqrt{3}}{2}=175\sqrt{3}$ मीटर/सेकंड

$v_{Bx}=v_B\cos {30}^{\circ }=300\times \frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}$ मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में सापेक्ष वेग है:

$v_{\text{relative},x}=v_{Ax}+v_{Bx}=175\sqrt{3}+150\sqrt{3}=325\sqrt{3}$ मीटर/सेकंड

सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\text{समय}=\frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}}$

$t=\frac{40}{325\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}\approx 1.732$ का अनुमान लगाते हुए,

$t=\frac{40}{325\times 1.732}=\frac{40}{562.9}\approx \frac{4}{65}$ सेकंड

व्याख्या:

गुरुत्वाकर्षण के अधीन प्रक्षेप्य गति

एक प्रक्षेप्य, जब केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में प्रक्षेपित किया जाता है, तो एक विशिष्ट पथ का अनुसरण करता है। यह पथ प्रारंभिक वेग, प्रक्षेपण के कोण और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण से प्रभावित होता है। एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र का वर्णन इस प्रकार है:

• परवलयाकार पथ: प्रक्षेप्य एक वक्र पथ का अनुसरण करता है जिसे परवलय के रूप में जाना जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि क्षैतिज गति एकसमान है जबकि ऊर्ध्वाधर गति समान रूप से त्वरित है।

दिए गए विकल्पों का विश्लेषण

1. "इग्जैरेटिंग" (गलत)

   • शब्द "इग्जैरेटिंग" प्रक्षेप्य के पथ से संबंधित नहीं है। यह एक ऐसी क्रिया या कथन का वर्णन करता है जो अतिरंजित है या वास्तव में जितना है उससे अधिक चरम प्रतीत होता है।

2. "परवलय" (सही)

   • केवल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में, एक प्रक्षेप्य एक परवलयाकार प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है। यह एकसमान क्षैतिज गति और समान रूप से त्वरित ऊर्ध्वाधर गति के संयोजन के कारण है।

3. "सरल रेखा" (गलत)

   • यदि गुरुत्वाकर्षण जैसे कोई बाहरी बल प्रक्षेप्य पर कार्य नहीं करता है, तो यह एक सरल रेखा में गति करेगा। हालाँकि, गुरुत्वाकर्षण प्रक्षेप्य को एक वक्र पथ का अनुसरण करने का कारण बनता है।

4. "वृत्त" (गलत)

   • एक वृत्ताकार पथ का अर्थ होगा कि गति के लंबवत एक अभिकेंद्रीय बल कार्य कर रहा है, जो केवल गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित प्रक्षेप्य की स्थिति में नहीं है।

स्पर्शरेखीय त्वरण = r × कोणीय त्वरण

$\begin{array}{l}{\alpha }_t=r\alpha \\ \Rightarrow \alpha =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}rad/s^2\end{array}$

अब

$\begin{array}{l}\omega ={\omega }_o+\alpha t\\ {\omega }_o=0\\ \Rightarrow \omega =\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}rad/s\end{array}$

अब

सामान्य त्वरण $\left({\alpha }_n\right)=r{\omega }^2$

$=9\times \frac{4}{9}=4m/s^2$

∴ परिणामी त्वरण $a=\sqrt{{\alpha }_t^2+{\alpha }_n^2}$

$=\sqrt{3^2+4^2}=5m/s^2$

व्याख्या:

व्याख्या:

रेडियल और अनुप्रस्थ निर्देशांक:

• इस प्रणाली में, कण की स्थिति ध्रुवीय निर्देशांक r और θ द्वारा परिभाषित की जाती है
• इसके अलावा, कण के वेग और त्वरण को घटकों में  और स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$के लंबवत हल किया जाता है। इन घटकों को कहा जाता है:

1. रेडियल घटक $\overrightarrow{r}$ द्वारा निरूपित किए जाते हैं
2. अनुप्रस्थ घटकों को $\overrightarrow{\theta }$ द्वारा दर्शाया जाता है

$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{\theta }$ के इकाई सदिश को क्रमशः $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ द्वारा दर्शाया जाता है। यहां A1A2 और B1B2  x-अक्ष के लंबवत हैं और क्रमशः इकाई सदिश  $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ के अंतिम बिंदु A1 और B1 से खींचे जाते हैंइसके आलावा: PA1 = $\left|\hat{r}\right|=1$ और PB2 = $\left|\hat{\theta }\right|=1$ $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{P{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_1}=(Cos\theta )i+(Sin\theta )j$
दिया गया है: A1A2 = Sin θ and B1B2 = Cos θ, PA2 = Cos θ and PB2 = Sin θ
सदिशों के योग का त्रिभुज नियम लागू करना $\overrightarrow{\theta }=\overrightarrow{P{B}_1}=\overrightarrow{P{B}_2}+\overrightarrow{B_2{B}_1}=-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{r})=[-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }$

वेग घटक: जब उपरोक्त सर्वसमिकाओं को समय t के संबंध में अवकलित किया जाता है। $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{r})=[-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{\theta })=[(-\cos \theta )i+(-sin\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=-\dot{\theta \hat{r}}$

$\left|\overrightarrow{r}\right|asr$ को निरूपित करते हुए, हम $\overrightarrow{r}=r\hat{r}$ लिख सकते हैं

स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ के संदर्भ में, वेग सदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\overrightarrow{V}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r})=\frac{d}{dt}(r\hat{r})=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}$
ऊपर बताए अनुसार $\frac{d\hat{r}}{dt}by(\dot{\theta }\hat{\theta })$ को बदलना,

$\overrightarrow{V}=\frac{dr}{dt}(\hat{r})+r(\dot{\theta }\hat{\theta })=\dot{r\hat{r}}+r(\dot{\theta }\hat{\theta })$

रेडियल घटक , $V_r=\dot{r}=\frac{dr}{dt}$
अनुप्रस्थ घटक, $V_{\theta }=r\dot{\theta }=r\frac{d\theta }{dt}$

त्वरण:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{V})=\frac{d}{dt}[\dot{r}\hat{r}+(r\dot{\theta })\hat{\theta }] \\ =\frac{d\dot{r}}{dt}\hat{r}+\dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt}+\frac{d(r\dot{\theta })}{dt}\hat{\theta }+r\dot{\theta }\frac{d\hat{\theta }}{dt} \\ =\frac{d\dot{r}}{dt}\hat{r}+\dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt}+(r\frac{d\dot{\theta }}{dt}+\dot{\theta }\frac{dr}{dt})\hat{\theta }+r\dot{\theta }\frac{d\hat{\theta }}{dt} \end{gathered}$$

त्वरण में $\frac{d}{dt}(\hat{r})$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta })$ के मानों को प्रतिस्थापित करना।

$\overrightarrow{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}(\dot{\theta \hat{\theta }})+(r\frac{d\dot{\theta }}{dt}+\dot{\theta }\frac{dr}{dt})\hat{\theta }+r\dot{\theta }(-\dot{\theta \hat{r}})=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

त्वरण का रेडियल घटक,

$a_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2$

धारणा:

अभिकेंद्री त्वरण (a_c): 

• एकसमान वृत्ताकार गति से गुजरने वाले निकाय पर त्वरण क्रिया को अभिकेंद्री त्वरण कहते हैं।
• यह हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर त्रिज्या के साथ वस्तु पर कार्य करता है।
• अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण,

$a=\frac{v^2}{r}$

जहां v = निकाय का वेग और r = त्रिज्या

स्पर्शरेखीय त्वरण (a_t):

• यह वृत्ताकार पथ के समतल में वृत्ताकार पथ पर स्पर्शरेखा के साथ कार्य करता है।
• गणितीय रूप से स्पर्शरेखीय त्वरण निम्न रूप में लिखा जाता है

$\overrightarrow{a_t}=\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{r}$

जहां α = कोणीय त्वरण और r = त्रिज्या

गणना:

दिया हुआ – v = 10 m/s, r = 25 m और a_t = 3 m/s²

• शुद्ध त्वरण अभिकेंद्री त्वरण और स्पर्शरेखीय त्वरण का परिणामी त्वरण है यानी

$a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$

अभिकेंद्री त्वरण (a_c):

$\therefore a_c=\frac{v^2}{r}$

$\Rightarrow a_c=\frac{{\left(10\right)}^2}{25}=\frac{100}{25}=4m/s^2$

इसलिए शुद्ध त्वरण

$a=\sqrt{a_t^2+a_c^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5m/s^2$

धारणा:

अभिकेंद्री त्वरण (a_c): 

• एकसमान वृत्ताकार गति से गुजरने वाले निकाय पर त्वरण क्रिया को अभिकेंद्री त्वरण कहते हैं।
• यह हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर त्रिज्या के साथ वस्तु पर कार्य करता है।
• अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण,

$a=\frac{v^2}{r}$

जहां v = निकाय का वेग और r = त्रिज्या

स्पर्शरेखीय त्वरण (a_t):

• यह वृत्ताकार पथ के समतल में वृत्ताकार पथ पर स्पर्शरेखा के साथ कार्य करता है।
• गणितीय रूप से स्पर्शरेखीय त्वरण निम्न रूप में लिखा जाता है

$\overrightarrow{a_t}=\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{r}$

जहां α = कोणीय त्वरण और r = त्रिज्या

गणना:

दिया हुआ – v = 10 m/s, r = 25 m और a_t = 3 m/s²

• शुद्ध त्वरण अभिकेंद्री त्वरण और स्पर्शरेखीय त्वरण का परिणामी त्वरण है यानी

$a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$

अभिकेंद्री त्वरण (a_c):

$\therefore a_c=\frac{v^2}{r}$

$\Rightarrow a_c=\frac{{\left(10\right)}^2}{25}=\frac{100}{25}=4m/s^2$

इसलिए शुद्ध त्वरण

$a=\sqrt{a_t^2+a_c^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5m/s^2$

स्पर्शरेखीय त्वरण = r × कोणीय त्वरण

$\begin{array}{l}{\alpha }_t=r\alpha \\ \Rightarrow \alpha =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}rad/s^2\end{array}$

अब

$\begin{array}{l}\omega ={\omega }_o+\alpha t\\ {\omega }_o=0\\ \Rightarrow \omega =\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}rad/s\end{array}$

अब

सामान्य त्वरण $\left({\alpha }_n\right)=r{\omega }^2$

$=9\times \frac{4}{9}=4m/s^2$

∴ परिणामी त्वरण $a=\sqrt{{\alpha }_t^2+{\alpha }_n^2}$

$=\sqrt{3^2+4^2}=5m/s^2$

व्याख्या:

व्याख्या:

रेडियल और अनुप्रस्थ निर्देशांक:

• इस प्रणाली में, कण की स्थिति ध्रुवीय निर्देशांक r और θ द्वारा परिभाषित की जाती है
• इसके अलावा, कण के वेग और त्वरण को घटकों में  और स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$के लंबवत हल किया जाता है। इन घटकों को कहा जाता है:

1. रेडियल घटक $\overrightarrow{r}$ द्वारा निरूपित किए जाते हैं
2. अनुप्रस्थ घटकों को $\overrightarrow{\theta }$ द्वारा दर्शाया जाता है

$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{\theta }$ के इकाई सदिश को क्रमशः $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ द्वारा दर्शाया जाता है। यहां A1A2 और B1B2  x-अक्ष के लंबवत हैं और क्रमशः इकाई सदिश  $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ के अंतिम बिंदु A1 और B1 से खींचे जाते हैंइसके आलावा: PA1 = $\left|\hat{r}\right|=1$ और PB2 = $\left|\hat{\theta }\right|=1$ $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{P{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_1}=(Cos\theta )i+(Sin\theta )j$
दिया गया है: A1A2 = Sin θ and B1B2 = Cos θ, PA2 = Cos θ and PB2 = Sin θ
सदिशों के योग का त्रिभुज नियम लागू करना $\overrightarrow{\theta }=\overrightarrow{P{B}_1}=\overrightarrow{P{B}_2}+\overrightarrow{B_2{B}_1}=-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{r})=[-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }$

वेग घटक: जब उपरोक्त सर्वसमिकाओं को समय t के संबंध में अवकलित किया जाता है। $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{r})=[-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{\theta })=[(-\cos \theta )i+(-sin\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=-\dot{\theta \hat{r}}$

$\left|\overrightarrow{r}\right|asr$ को निरूपित करते हुए, हम $\overrightarrow{r}=r\hat{r}$ लिख सकते हैं

स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ के संदर्भ में, वेग सदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\overrightarrow{V}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r})=\frac{d}{dt}(r\hat{r})=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}$
ऊपर बताए अनुसार $\frac{d\hat{r}}{dt}by(\dot{\theta }\hat{\theta })$ को बदलना,

$\overrightarrow{V}=\frac{dr}{dt}(\hat{r})+r(\dot{\theta }\hat{\theta })=\dot{r\hat{r}}+r(\dot{\theta }\hat{\theta })$

रेडियल घटक , $V_r=\dot{r}=\frac{dr}{dt}$
अनुप्रस्थ घटक, $V_{\theta }=r\dot{\theta }=r\frac{d\theta }{dt}$

त्वरण:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{V})=\frac{d}{dt}[\dot{r}\hat{r}+(r\dot{\theta })\hat{\theta }] \\ =\frac{d\dot{r}}{dt}\hat{r}+\dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt}+\frac{d(r\dot{\theta })}{dt}\hat{\theta }+r\dot{\theta }\frac{d\hat{\theta }}{dt} \\ =\frac{d\dot{r}}{dt}\hat{r}+\dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt}+(r\frac{d\dot{\theta }}{dt}+\dot{\theta }\frac{dr}{dt})\hat{\theta }+r\dot{\theta }\frac{d\hat{\theta }}{dt} \end{gathered}$$

त्वरण में $\frac{d}{dt}(\hat{r})$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta })$ के मानों को प्रतिस्थापित करना।

$\overrightarrow{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}(\dot{\theta \hat{\theta }})+(r\frac{d\dot{\theta }}{dt}+\dot{\theta }\frac{dr}{dt})\hat{\theta }+r\dot{\theta }(-\dot{\theta \hat{r}})=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

त्वरण का रेडियल घटक,

$a_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2$

संकल्पना:

अनुवाद द्वारा तय की गयी दूरी, $\mathrm{S}=\mathrm{u}\times \mathrm{t}+\frac{1}{2}a{t}^2$

u प्रारंभिक गति है, t समय है और a त्वरण है।

गणना:

दिया गया है u = 0, a = 5 m/s² और t = 5 s

$\mathrm{S}=\mathrm{u}\times \mathrm{t}+\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}\times 5\times 5^2=62.5m$

सिद्धांत:

दो गोलियों के मिलने के समय को ज्ञात करने के लिए, हम क्षैतिज दिशा में प्रक्षेप्य की सापेक्ष गति पर विचार करते हैं।

दिया गया है:

बंदूकों के बीच की दूरी, d = 40 मीटर

बंदूक A से गोली का वेग, v_A = 350 मीटर/सेकंड

बंदूक B से गोली का वेग, v_B = 300 मीटर/सेकंड

प्रक्षेपण का कोण, $\theta ={30}^{\circ }$

गणना:

वेगों को क्षैतिज घटकों में विभाजित करना:

$v_{Ax}=v_A\cos {30}^{\circ }=350\times \frac{\sqrt{3}}{2}=175\sqrt{3}$ मीटर/सेकंड

$v_{Bx}=v_B\cos {30}^{\circ }=300\times \frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}$ मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में सापेक्ष वेग है:

$v_{\text{relative},x}=v_{Ax}+v_{Bx}=175\sqrt{3}+150\sqrt{3}=325\sqrt{3}$ मीटर/सेकंड

सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\text{समय}=\frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}}$

$t=\frac{40}{325\sqrt{3}}$

$\sqrt{3}\approx 1.732$ का अनुमान लगाते हुए,

$t=\frac{40}{325\times 1.732}=\frac{40}{562.9}\approx \frac{4}{65}$ सेकंड

धारणा:

अभिकेंद्री त्वरण (a_c): 

• एकसमान वृत्ताकार गति से गुजरने वाले निकाय पर त्वरण क्रिया को अभिकेंद्री त्वरण कहते हैं।
• यह हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर त्रिज्या के साथ वस्तु पर कार्य करता है।
• अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण,

$a=\frac{v^2}{r}$

जहां v = निकाय का वेग और r = त्रिज्या

स्पर्शरेखीय त्वरण (a_t):

• यह वृत्ताकार पथ के समतल में वृत्ताकार पथ पर स्पर्शरेखा के साथ कार्य करता है।
• गणितीय रूप से स्पर्शरेखीय त्वरण निम्न रूप में लिखा जाता है

$\overrightarrow{a_t}=\overrightarrow{\alpha }\times \overrightarrow{r}$

जहां α = कोणीय त्वरण और r = त्रिज्या

गणना:

दिया हुआ – v = 10 m/s, r = 25 m और a_t = 3 m/s²

• शुद्ध त्वरण अभिकेंद्री त्वरण और स्पर्शरेखीय त्वरण का परिणामी त्वरण है यानी

$a=\sqrt{a_c^2+a_t^2}$

अभिकेंद्री त्वरण (a_c):

$\therefore a_c=\frac{v^2}{r}$

$\Rightarrow a_c=\frac{{\left(10\right)}^2}{25}=\frac{100}{25}=4m/s^2$

इसलिए शुद्ध त्वरण

$a=\sqrt{a_t^2+a_c^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5m/s^2$

संकल्पना:

जब कोई पिंड वक्र पथ पर चलता है तो पिंड पर एक कुल बल कार्य करता है जो वक्रता केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इस बल को अभिकेन्द्र बल, FC कहते हैं।

$F_C=\frac{m{V}^2}{r}$

जहाँ m पिंड द्रव्यमान है, V वेग का परिमाण है, r वक्रता त्रिज्या है।

\

गणना:

दिया गया है:

स्थिति 1:

कार A एक समतल पुल पर चल रही है जैसा कि दिखाया गया है -

लम्बवत बल FA = mg

स्थिति 2:-

कार B एक उत्तल पुल पर चल रही है जैसा कि दिखाया गया है -

अब यह एक समतल वृत्तीय गति की स्थिति है और इस स्थिति में, कुल अभिकेंद्र बल वक्रता केंद्र की ओर कार्य करता है।

तो लम्बवत बल

$\frac{m{V}^2}{r}=mg-F_B$

या, $F_B=mg-\frac{m{V}^2}{r}$

स्थिति 3:

कार C अवतल पुल पर चल रही है जैसा कि दिखाया गया है -

इस मामले में, वक्रता के केंद्र की ओर लगने वाला एक शुद्ध अभिकेंद्री बल भी होता है।

तो  बल FC

$\frac{m{V}^2}{r}=F_C-mg$

$F_C=mg+\frac{m{V}^2}{r}$

इसलिए, तीनों समीकरणों को देखते हुए,

F_C > F_A > F_B 

हम कह सकते हैं कि संपर्क बल FC तीनों बलों में सबसे अधिक है।

स्पर्शरेखीय त्वरण = r × कोणीय त्वरण

$\begin{array}{l}{\alpha }_t=r\alpha \\ \Rightarrow \alpha =\frac{3}{9}=\frac{1}{3}rad/s^2\end{array}$

अब

$\begin{array}{l}\omega ={\omega }_o+\alpha t\\ {\omega }_o=0\\ \Rightarrow \omega =\frac{1}{3}\times 2=\frac{2}{3}rad/s\end{array}$

अब

सामान्य त्वरण $\left({\alpha }_n\right)=r{\omega }^2$

$=9\times \frac{4}{9}=4m/s^2$

∴ परिणामी त्वरण $a=\sqrt{{\alpha }_t^2+{\alpha }_n^2}$

$=\sqrt{3^2+4^2}=5m/s^2$

व्याख्या:

व्याख्या:

रेडियल और अनुप्रस्थ निर्देशांक:

• इस प्रणाली में, कण की स्थिति ध्रुवीय निर्देशांक r और θ द्वारा परिभाषित की जाती है
• इसके अलावा, कण के वेग और त्वरण को घटकों में  और स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$के लंबवत हल किया जाता है। इन घटकों को कहा जाता है:

1. रेडियल घटक $\overrightarrow{r}$ द्वारा निरूपित किए जाते हैं
2. अनुप्रस्थ घटकों को $\overrightarrow{\theta }$ द्वारा दर्शाया जाता है

$\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{\theta }$ के इकाई सदिश को क्रमशः $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ द्वारा दर्शाया जाता है। यहां A1A2 और B1B2  x-अक्ष के लंबवत हैं और क्रमशः इकाई सदिश  $\hat{r}$ और $\hat{\theta }$ के अंतिम बिंदु A1 और B1 से खींचे जाते हैंइसके आलावा: PA1 = $\left|\hat{r}\right|=1$ और PB2 = $\left|\hat{\theta }\right|=1$ $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{P{A}_1}=\overrightarrow{P{A}_2}+\overrightarrow{A_2{A}_1}=(Cos\theta )i+(Sin\theta )j$
दिया गया है: A1A2 = Sin θ and B1B2 = Cos θ, PA2 = Cos θ and PB2 = Sin θ
सदिशों के योग का त्रिभुज नियम लागू करना $\overrightarrow{\theta }=\overrightarrow{P{B}_1}=\overrightarrow{P{B}_2}+\overrightarrow{B_2{B}_1}=-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{r})=[-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }$

वेग घटक: जब उपरोक्त सर्वसमिकाओं को समय t के संबंध में अवकलित किया जाता है। $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{r})=[-(Sin\theta )i+(Cos\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=\dot{\theta }\hat{\theta }$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\hat{\theta })=[(-\cos \theta )i+(-sin\theta )j]\frac{d\theta }{dt}=-\dot{\theta \hat{r}}$

$\left|\overrightarrow{r}\right|asr$ को निरूपित करते हुए, हम $\overrightarrow{r}=r\hat{r}$ लिख सकते हैं

स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}$ के संदर्भ में, वेग सदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$\overrightarrow{V}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r})=\frac{d}{dt}(r\hat{r})=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}$
ऊपर बताए अनुसार $\frac{d\hat{r}}{dt}by(\dot{\theta }\hat{\theta })$ को बदलना,

$\overrightarrow{V}=\frac{dr}{dt}(\hat{r})+r(\dot{\theta }\hat{\theta })=\dot{r\hat{r}}+r(\dot{\theta }\hat{\theta })$

रेडियल घटक , $V_r=\dot{r}=\frac{dr}{dt}$
अनुप्रस्थ घटक, $V_{\theta }=r\dot{\theta }=r\frac{d\theta }{dt}$

त्वरण:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{V})=\frac{d}{dt}[\dot{r}\hat{r}+(r\dot{\theta })\hat{\theta }] \\ =\frac{d\dot{r}}{dt}\hat{r}+\dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt}+\frac{d(r\dot{\theta })}{dt}\hat{\theta }+r\dot{\theta }\frac{d\hat{\theta }}{dt} \\ =\frac{d\dot{r}}{dt}\hat{r}+\dot{r}\frac{d\hat{r}}{dt}+(r\frac{d\dot{\theta }}{dt}+\dot{\theta }\frac{dr}{dt})\hat{\theta }+r\dot{\theta }\frac{d\hat{\theta }}{dt} \end{gathered}$$

त्वरण में $\frac{d}{dt}(\hat{r})$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta })$ के मानों को प्रतिस्थापित करना।

$\overrightarrow{a}=\ddot{r}\hat{r}+\dot{r}(\dot{\theta \hat{\theta }})+(r\frac{d\dot{\theta }}{dt}+\dot{\theta }\frac{dr}{dt})\hat{\theta }+r\dot{\theta }(-\dot{\theta \hat{r}})=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{r}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\theta }$

त्वरण का रेडियल घटक,

$a_r=\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2$

व्याख्या:

वेग:

वक्ररेखीय गति में वेग का केवल एक स्पर्शरेखीय घटक होता है।

माना स्पर्शरेखीय दिशा में इकाई सदिश को निम्न प्रकार निरुपित किया जाता है:

इसलिए, $\overrightarrow{V}=v\widehat{e_t}$

यहाँ, v कुछ नहीं है किन्तु एक धनात्मक सदिश का व्युत्पन्न है।

इसलिए, $\overrightarrow{V}=\dot{r}\widehat{e_t}$ 

त्वरण

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}$

$\overrightarrow{a}=\ddot{r}\widehat{e_t}+\dot{r}\frac{\dot{d}\widehat{e_t}}{dt}$

यहाँ, प्रथम पद त्वरण के स्पर्शरेखीय घटक को निरुपित करता है और द्वितीय पद त्वरण के त्रिज्य घटक को निरुपित करता है।

$\frac{d\widehat{e_t}}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\Delta }\widehat{e_t}}{\mathrm{\Delta }t}\\ \end{array}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\Delta }\theta }{\mathrm{\Delta }t}\widehat{e_n}=\dot{\theta }\\ \end{array}\widehat{e_n}$

इसलिए, त्वरण का त्रिज्य घटक = $\dot{r}\dot{\theta }$

और एक त्रिज्य दिशा में वेग घटक 0 होता है।

सही उत्तर 0 और $\dot{r}\dot{\theta }$ है।