Acceleration Analysis MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Acceleration Analysis - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

घूर्णन करती हुई लिंक में त्वरण का विश्लेषण:

• घूर्णन करती हुई लिंक में किसी बिंदु के त्वरण का विश्लेषण करते समय, त्वरण के विभिन्न घटकों पर विचार करना आवश्यक है जो समग्र गति में योगदान करते हैं।
• सापेक्ष त्वरण समीकरण इस विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला एक मौलिक उपकरण है, जो त्वरण को विभिन्न घटकों में विभाजित करता है जो प्रश्न में बिंदु पर कार्य करते हैं।

त्वरण के घटक: सापेक्ष त्वरण समीकरण आम तौर पर निम्नलिखित घटकों पर विचार करता है:

• स्पर्शीय त्वरण: यह घटक बिंदु के वेग के परिमाण में परिवर्तन के कारण होता है। यह बिंदु के पथ के स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करता है और कोणीय त्वरण और घूर्णन की त्रिज्या के उत्पाद द्वारा दिया जाता है।
• अभिकेंद्रीय (या रेडियल) त्वरण: यह घटक बिंदु के वेग की दिशा में परिवर्तन के कारण होता है। यह घूर्णन के केंद्र की ओर रेडियल रूप से कार्य करता है और कोणीय वेग के वर्ग को घूर्णन की त्रिज्या से गुणा करके दिया जाता है।
• कोरिओलिस त्वरण: यह घटक तब उत्पन्न होता है जब कोई बिंदु घूर्णन करते हुए संदर्भ फ्रेम में गति करता है। यह बिंदु के वेग और घूर्णन की धुरी के लंबवत कार्य करता है। यह घूर्णन फ्रेम में बिंदु के कोणीय वेग और सापेक्ष वेग के दो गुना उत्पाद द्वारा दिया जाता है।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण

• सापेक्ष त्वरण समीकरण का उपयोग करके घूर्णन करती हुई लिंक में किसी बिंदु के त्वरण का विश्लेषण करते समय, गुरुत्वाकर्षण त्वरण को सीधे नहीं माना जाता है। सापेक्ष त्वरण समीकरण त्वरण के उन घटकों पर केंद्रित है जो घूर्णन गति और घूर्णन लिंक के भीतर बिंदु की सापेक्ष गति के कारण उत्पन्न होते हैं। गुरुत्वाकर्षण त्वरण, बिंदु पर कार्य करते हुए, एक स्थिर त्वरण है जो सभी बिंदुओं को समान रूप से प्रभावित करता है और विश्लेषण की जा रही घूर्णन गति के लिए विशिष्ट नहीं है।

अवधारणा:

• एकसमान वृत्तीय गति को एक वृत्त में नियत चाल से गतिमान किसी वस्तु की गति के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब कोई वस्तु एक वृत्तीय पथ पर गति करती है, वह निरंतर अपनी दिशा परिवर्तित कर रही होती है।
  • सभी क्षणों पर, वस्तु वृत्त की स्पर्शरेखा की ओर गति कर करती है। चूँकि वेग सदिश की दिशा, वस्तु की गति की दिशा के समान होती है, इसलिए वेग सदिश भी वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में निर्दिष्ट होता है।

• अभिकेंद्री त्वरण, एक वृत्ताकार पथ पर गतिमान पिंड का त्वरण होता है।
  • क्योंकि वेग एक सदिश राशि है (अर्थात, इसमें परिमाण और दिशा दोनों होती है), जब कोई पिंड एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है, तो उसकी दिशा निरंतर बदलती रहती है और इस प्रकार उसका वेग बदल जाता है, जिससे त्वरण उत्पन्न होता है।
• इसे निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है, \(a_c = {v^2 \over r}\)
  • जहाँ v पिंड का वेग है और r वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
• अभिकेंद्री त्वरण के अलावा, एक और त्वरण होता है जिसे स्पर्शरेखीय त्वरण कहा जाता है, a_t = rα 
  • जहाँ α पिंड का कोणीय त्वरण है और r वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है:

प्रारंभ में, a₁ = a और v₁ = v,

⇒ \(a_1 = {v_1^2 \over r} = {v^2 \over r}\)

अंत में, a₂ = जिसकी गणना करनी है और v₂ = 2v,

\(a_2 = {v_2^2 \over r} = {4v^2 \over r}\)

फिर, अनुपात लेने पर, हमें प्राप्त है:

\({a_2 \over a_1} = {{4v^2 \over r}\over {v^2\over r}} = {4\over 1}\)

a₂ : a₁ = 4 : 1

अवधारणा:

रैखिक त्वरण (a) और कोणीय त्वरण (अल्फा) के बीच संबंध समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है:

a = α  * r

जहाँ:

a रैखिक त्वरण है,

α कोणीय त्वरण है, और

r त्रिज्या है

हम अल्फ़ा को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

α   = a / r

गणना:

दिया गया है

इस स्थिति में, a = 3 m/s², और r = 750 mm = 0.75 m (चूँकि 1 m = 1000 mm)

α   = 3 m/s² / 0.75 m = 4 rad/s²

तो, सही उत्तर विकल्प 3 है।

अवधारणा:

• एकसमान वृत्तीय गति को एक वृत्त में नियत चाल से गतिमान किसी वस्तु की गति के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब कोई वस्तु एक वृत्तीय पथ पर गति करती है, वह निरंतर अपनी दिशा परिवर्तित कर रही होती है।
  • सभी क्षणों पर, वस्तु वृत्त की स्पर्शरेखा की ओर गति कर करती है। चूँकि वेग सदिश की दिशा, वस्तु की गति की दिशा के समान होती है, इसलिए वेग सदिश भी वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में निर्दिष्ट होता है।

• अभिकेंद्री त्वरण, एक वृत्ताकार पथ पर गतिमान पिंड का त्वरण होता है।
  • क्योंकि वेग एक सदिश राशि है (अर्थात, इसमें परिमाण और दिशा दोनों होती है), जब कोई पिंड एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है, तो उसकी दिशा निरंतर बदलती रहती है और इस प्रकार उसका वेग बदल जाता है, जिससे त्वरण उत्पन्न होता है।
• इसे निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है, \(a_c = {v^2 \over r}\)
  • जहाँ v पिंड का वेग है और r वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
• अभिकेंद्री त्वरण के अलावा, एक और त्वरण होता है जिसे स्पर्शरेखीय त्वरण कहा जाता है, a_t = rα 
  • जहाँ α पिंड का कोणीय त्वरण है और r वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।

गणना:

दिया गया है:

प्रारंभ में, a₁ = a और v₁ = v,

⇒ \(a_1 = {v_1^2 \over r} = {v^2 \over r}\)

अंत में, a₂ = जिसकी गणना करनी है और v₂ = 2v,

\(a_2 = {v_2^2 \over r} = {4v^2 \over r}\)

फिर, अनुपात लेने पर, हमें प्राप्त है:

\({a_2 \over a_1} = {{4v^2 \over r}\over {v^2\over r}} = {4\over 1}\)

a₂ : a₁ = 4 : 1

वर्णन:

त्वरण का कॉरिऑलिस घटक:

• जब एक संपर्क पर बिंदु तीव्र वापसी गति तंत्र जैसे दूसरे घूर्णी संयोजन पर फिसलता है, तो त्वरण का कॉरिऑलिस घटक क्रिया में आता है। 
• यह संयोजन पर अनुरूप बिंदु के संबंध में स्लाइडर के त्वरण का स्पर्शीय घटक है।
• गणितीय रूप से त्वरण का कॉरिऑलिस घटक, ac = 2vω
• त्वरण के कॉरिऑलिस घटक की दिशा को घूर्णी संयोजन के कोणीय वेग की दिशा में 90° से स्लाइडर के वेग को घुमाकर ज्ञात किया गया है। 

संकल्पना​:

त्वरण का कॉरिओलिस घटक – जब एक लिंक पर एक बिंदु दूसरे घूर्णन लिंक के साथ फिसल रहा है जैसे कि द्रुत परिवर्तन गति तंत्र में, तो त्वरण का कोरिओलिस घटक ध्यान में आता है। यह लिंक पर संपाती बिंदु के संबंध में सर्पक के त्वरण का स्पर्शरेखीय घटक है।

गणितीय रूप से,

त्वरण का कॉरिओलिस घटक, ac = 2vω

घूर्णन लिंक के कोणीय वेग की दिशा में सर्पक के वेग को 90° घुमाकर त्वरण के कॉरिओलिस घटक की दिशा दी जाती है।

संकल्पना:

स्पर्शीय त्वरण (at):

\(\overrightarrow {{a_t}} = \vec \alpha \times \vec r \)

जहाँ, α = कोणीय त्वरण और r = त्रिज्या 

at = rα

अभिकेंद्री त्वरण (ac):

ac = ω2r

जहाँ, ω = कोणीय वेग 

गणना:

दिया गया है:

α = कोणीय त्वरण = 1 rad/s2

r = क्रैंक की त्रिज्या = 1 m

ω = कोणीय वेग = 1 rad/s

\(\overrightarrow {{a_t}} = \vec \alpha \times \vec r \)

∴ at = rα = 1 × 1 = 1 m/s2 

∴  ac = ω2r = (1)2 × 1 = 1 m/s2 

\(\therefore\ \text{Total acceleration a} = \sqrt {a_t^2 + a_c^2} = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 =1.41 \;{m}/{{{s^2}}}\)

संकल्पना:

माना कि त्रिज्या r वाला एक क्रैंक OA दक्षिणावर्त्त दिशा में एक वृत्ताकार पथ में घूमता है। इसमें एक तात्कालिक कोणीय वेग ω है और कोणीय त्वरण α समान दिशा में है। 

A का स्पर्शीय वेग v_a और v_a = ωr है। 

समय के छोटे अंतराल 'dt' में माना कि OA छोटे कोण 'dθ' के माध्यम से घूमकर एक नयी स्थिति OA' है। 

OA' का कोणीय वेग ω' और ω' = ω + αdt है। 

A' का स्पर्शीय वेग va' और va' = (ω + αdt)r है। 

A' के स्पर्शीय वेग को दो घटकों वाला माना जा सकता है, एक OA के लंबवत और दूसरा OA के समानांतर होता है। 

विभिन्न स्थानों में इन वेग अंतरों के कारण त्वरण के भी दो घटक होंगे। 

OA के ⊥ का त्वरण = O के सापेक्ष A का स्पर्शीय त्वरण। 

इसे f^t_ao द्वारा दर्शाया गया है। 

स्पर्शीय त्वरण = αr.

A / से OA तक का त्वरण = O के सापेक्ष A का अभिकेंद्री या रेडियल त्वरण जो केंद्र की ओर निर्देशित है। 

इसे f^c_ao द्वारा दर्शाया गया है। 

अभिकेंद्री या रेडियल त्वरण = v²/r.

कॉरिऑलिस त्वरण:

इसका प्रयोग तब किया जाता है जब एक बिंदु गतिमान निकाय के सापेक्ष गति में होती है, उदाहरण के लिए, घूर्णन संयोजन पर स्लाइडर की गति। 

गणना:

दिया गया है:

क्रैंक कोणीय गति के साथ घूमती है अर्थात् गति एक निर्दिष्ट निकाय के सापेक्ष है, ∴ कोई कॉरिऑलिस त्वरण मौजूद नहीं होगा। 

स्पर्शीय त्वरण = αr

∵ α = 0, स्पर्शीय त्वरण शून्य है। [α = dω/dt और ω = स्थिरांक]

अभिकेंद्री या रेडियल त्वरण = v²/r.

∴ रेडियल/अभिकेंद्री त्वरण = ω²r (∵ v = ωr).

∴ एकसमान गति के साथ घूमने वाले क्रैंक में केवल रेडियल त्वरण होता है। 

स्पष्टीकरण:

क्लेन का निर्माण:

• इसका उपयोग एकल स्लाइडर क्रैंक तंत्र के लिए वेग और त्वरण आरेख बनाने के लिए किया जाता है।
• एक प्रत्यागामी इंजन तंत्र के पिस्टन का वेग और त्वरण नीचे दिए गए आकृति से निर्धारित किया जा सकता है।

वेग आरेख:

• स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के लिए विन्यास आरेख OAB रेखांकित करें।
• OB के लिए लंबवत OI रेखांकित करें और C पर OI से मिलने के लिए BA का निर्माण करें। फिर निर्मित त्रिभुज को क्लेन के वेग आरेख के रूप में जाना जाता है।
  • संयोजी रॉड AB का वेग, VBA = ω × AC।
  • पिस्टन B का वेग, VP = VBO = ω × OC।
  • क्रैंकपिन A का वेग, VAO = ω × OA।

त्वरण आरेख:

• केंद्र के रूप में A और त्रिज्या के रूप में AC के साथ, एक वृत्त बनाएं।
• AB के मध्य बिंदु के रूप में D को स्थापन करें।
• केंद्र के रूप में D और DA के रूप में त्रिज्या के साथ, H और E पर पहले से खींचे गए वृत्त को प्रतिच्छेदित करने के लिए एक वृत्त बनाएं।
• F पर AB को प्रतिच्छेदित करनेवाली HE को जोड़ें।
• HE को G पर OB से मिलाने के लिए निर्माण करें।
• तब OAFG क्लेन का त्वरण आरेख है।
  • पिस्टन का त्वरण (स्लाइडर B), fBO = ω2 × OG।
  • संयोजी रॉड का स्पर्शरेखा त्वरण, ftBA = ω2 × FG।
  • संयोजी रॉड का लंब त्वरण, fnBA = ω2 × AF।
  • संयोजी रॉड का कुल त्वरण, fBA = ω2 × OG।
• संयोजी रॉड का कोणीय त्वरण, AB \(\alpha_{AB}=f^{t}_{BA}/AB=ω^{2}\frac{FG}{AB}\;\;\;\;(ccw)\)
• AB में किसी भी बिंदु x के त्वरण का पता लगाने के लिए, X पर प्रतिच्छेदित करने के लिए OB के समानांतर एक रेखा X-X खींचें। OX से जोड़ें।
• फिर, बिंदु x का त्वरण, fx = ω2 × OX।

हालांकि, हम क्लेन के निर्माण के माध्यम से वेग और त्वरण दोनों की गणना कर सकते हैं लेकिन मुख्य रूप से इसका उपयोग पिस्टन के रैखिक त्वरण की गणना में किया जाता है।

संकल्पना:

रैखिक वेग V को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

\(V=r×ω\)

जहाँ ω कोणीय वेग है। 

बिना-फिसलन स्थिति में स्पर्शीय त्वरण निम्न है

\(\frac{{dv}}{{dt}} = r\frac{{dω }}{{dt}} = r×α \)

a_t = r × α

अभिकेंद्री त्वरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

a_c = r × ω²

संपर्क के बिंदु का तात्कालिक वेग शून्य है। 

इसलिए संपर्क के बिंदु पर तात्कालिक स्पर्शीय त्वरण भी शून्य है। 

∴ केवल अभिकेंद्री त्वरण संपर्क एक बिंदु पर है। 

∴ संपर्क के बिंदु का शुद्ध त्वरण निम्न है 

ac = r × ω2

स्पष्टीकरण:

कॉरिऑलिस त्वरण

• यदि दो बिंदुओं के बीच की दूरी तय नहीं होती है और दूसरी बिंदु स्लाइड करता है तो कुल त्वरण में त्वरण का एक अतिरिक्त घटक होगा, जिसे कॉरिऑलिस त्वरण के रूप में जाना जाता है।
• त्वरण का कॉरिऑलिस घटक 2vω के बराबर है, जहां, v सर्पी वेग है और ω कोणीय गति है।
• कॉरिऑलिस त्वरण की दिशा इस तरह है जैसे कड़ी के कोणीय वेग के समान सर्पी वेग वेक्टर को घुमाने के लिए।
• यह त्वरण एक कड़ी पर एक बिंदु द्वारा अनुभव किया जाता है जो एक ओर घूर्णन कड़ी के साथ सर्पी कर रहा है।

संकल्पना:

• एकसमान वृत्ताकार गति: वृत्ताकार पथ पर किसी पिंड की गति को वृत्ताकार गति कहते हैं।
  • वृत्ताकार पथ पर स्थिर गति से गतिमान पिंड की गति को एकसमान वृत्ताकार गति कहते हैं।
  • यहाँ, गति स्थिर है लेकिन वेग बदल जाता है।
  • एक कण को वृत्ताकार पथ पर गति करने के लिए केंद्र की ओर कार्य करने वाला त्वरण होना चाहिए, जिससे वह एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
  • चूँकि त्वरण प्रत्येक क्षण कण के वेग के लंबवत होता है, यह केवल वेग की दिशा बदल रहा है, परिमाण नहीं और इसीलिए गति एकसमान वृत्ताकार गति है।
  • यह त्वरण अभिकेंद्रीय त्वरण (या रेडियल त्वरण) है और केंद्र की ओर कार्य करने वाला बल अभिकेन्द्रीय बल कहलाता है। रेडियल त्वरण कण के वेग के लंबवत है।

आरेख:

• अभिकेंद्री त्वरण (ac) : यह केंद्र की ओर त्वरण है जब कोई वस्तु एक वृत्त में घूम रही होती है।
  • हालांकि गति स्थिर हो सकती है, दिशा में परिवर्तन के परिणामस्वरूप गैर-शून्य त्वरण होता है।

सूत्र:

ac = v2/r

जहाँ, v = वेग (m/s), r = त्रिज्या

संकल्पना:

कोरिओलिस प्रभाव तब होता है जब सीधे रास्ते में यात्रा करने वाली वस्तु को गतिमान निर्देश फ्रेम से देखा जाता है। गतिमान निर्देश ​फ्रेम वस्तु को ऐसे प्रकट करती है जैसे कि वह एक वक्रतापूर्ण रास्ते पर यात्रा कर रही हो।

कोरिओलिस त्वरण की दिशा: कोणीय वेग के अर्थ में वेग वेक्टर को 90° घुमाकर दिशा निर्धारित की जाती है।

कोरिओलिस त्वरण का परिमाण = 2 × v × ω

गणना:

दिया गया है, ω = 20 rad/s, v = 1.5 m/s

a = 2 × 1.5 × 20

a = 60 m/s²

लिंक के कोणीय वेग के अर्थ में वेग वेक्टर को 90° घुमाकर कोरिओलिस त्वरण की दिशा प्राप्त की जाती है, दिशा नीचे दिखाई गई है

ऐसा लगता है कि कोरिओलिस घटक लिंक के कोणीय वेग की दिशा में स्लाइडर को घुमाने की कोशिश कर रहा है।

किसी झुकाव या वक्र के निकट एक रेलवे पटरी का बाहरी भाग सामान्यतौर पर उठा होता है अर्थात् झुकाव की बाहरी पटरी आंतरिक पटरी से थोड़ी ऊँची होती है। इसे रेल या पटरी के बैंकिंग के रूप में जाना जाता है, इस पर निम्नलिखित प्रकार के तीन बल लगते हैं:

1. ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर लगने वाला ट्रेन का वजन,
2. ट्रेन के वजन का समर्थन करने के लिए ऊपर की दिशा में कार्य करने वाले पटरी द्वारा प्रदान की गयी सामान्य प्रतिक्रिया, और 
3. पहिये और पटरी की सतह के संपर्क क्षेत्रफल के बीच लगाया जाने वाला घर्षण बल जो ट्रेन को आगे बढ़ने में मदद करता है। 

जब एक तीव्र गति से चलने वाली ट्रेन किसी घुमावदार पथ पर चलती है, तो इसमें पटरी से स्पर्शीय रूप से दूर होने की प्रवृत्ति होती है। इसे रोकने के लिए घुमावदार पटरियों को अभिकेन्द्र बल के रूप में संदर्भित आवश्यक अतिरिक्त बल को उत्पादित करने के लिए बाहर की ओर बनाया जाता है, जो ट्रेन को घुमावदार पथ में चलाने के लिए आवश्यक होता है। यदि पटरी का कोई बैंकिंग नहीं होता है, तो यह अभिकेन्द्र बल जो पहिये के रिम और रेल के बीच घर्षण से प्राप्त होता है और जो सामान्यतौर पर ट्रेन के पटरी से हटने का कारण बन सकता है। 

इसलिए रेलवे पटरी को घुमावदार बनाया जाता है, जिससे आवश्यक अभिकेन्द्र बल ट्रेन के क्षैतिज घटक और ट्रेन के वजन से प्राप्त किया जा सकता है।