Solutions of Partial Differential Equations MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Solutions of Partial Differential Equations - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jul 3, 2025
Latest Solutions of Partial Differential Equations MCQ Objective Questions
Solutions of Partial Differential Equations Question 1:
yp + xq + pq = 0 এর সম্পূর্ণ সমাধান হবে:
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Partial Differential Equations Question 1 Detailed Solution
ধারণা:
f(x, p) = g(y, q) আকারের বিভাজনযোগ্য সমীকরণ
ধরা যাক f(x, p) = g(y, q) = a (ধ্রুবক)
p এবং q-এর জন্য f(x, p) = a এবং g(y, q) = a সমাধান করে পাই
p = ϕ(x, a) এবং q = ψ(y, a)
আমাদের আছে dz = p dx + q dy
অনুকলন করে আমরা নিম্নলিখিত সমাধান পাই,
z = ∫ ϕ(x, a) dx + ∫ ψ(y, a) dy + b
যেখানে a, b হল নির্বিচার ধ্রুবক।
গণনা:
প্রদত্ত PDE হল yp + xq + pq = 0
এটি এভাবে লেখা যেতে পারে
p (y + q) = - qx;
\( \Rightarrow \frac{p}{x} = - \frac{q}{{y + q}} = a\)
\( \Rightarrow p = ax,\;q = - \frac{{ay}}{{1 + a}}\)
dz = p dx + q dy-তে p এবং q-এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই;
\( \Rightarrow dz = ax\;dx - \frac{{ay}}{{1 + a}}dy\)
উভয় দিকে অনুকলন করে পাই,
\(z = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{a}{{1 + a}}\frac{{{y^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow 2z = a{x^2} - \frac{a}{{1 + a}}{y^2}\)
Solutions of Partial Differential Equations Question 2:
সমীকরণ √p + √q = 2x-এর সম্পূর্ণ সমাধান হবে:
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Partial Differential Equations Question 2 Detailed Solution
ধারণা:
f(x, p) = F(y, q) আকারের সমীকরণগুলি f(x, p) = F(y, q) = a (চলকের বিভাজনযোগ্য) অনুমান করে সমাধান করা যেতে পারে।
গণনা:
প্রদত্ত PDE হল √p + √q = 2x
⇒ 2x - √p = √q
এখন এটি f(x, p) = F(y, q) আকারে আছে।
একটি গতানুগতিক সমাধান হিসাবে, f(x, p) = F(y, q) = a ধরে নেওয়া যাক,
⇒ 2x - √p = a ⇒ p = (2x - a)2;
⇒ √q = a ⇒ q = a2;
এখন z হবে
z = ∫ p dx + ∫ q dy
⇒ z = ∫ (2x - a)2 dx + ∫ a2 dy
⇒ \(z = \frac{1}{6}{\left( {2x - a} \right)^3} + {a^2}y + b\), যেখানে a এবং b হল অনির্দিষ্ট ধ্রুবক।
Top Solutions of Partial Differential Equations MCQ Objective Questions
Solutions of Partial Differential Equations Question 3:
সমীকরণ √p + √q = 2x-এর সম্পূর্ণ সমাধান হবে:
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Partial Differential Equations Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
f(x, p) = F(y, q) আকারের সমীকরণগুলি f(x, p) = F(y, q) = a (চলকের বিভাজনযোগ্য) অনুমান করে সমাধান করা যেতে পারে।
গণনা:
প্রদত্ত PDE হল √p + √q = 2x
⇒ 2x - √p = √q
এখন এটি f(x, p) = F(y, q) আকারে আছে।
একটি গতানুগতিক সমাধান হিসাবে, f(x, p) = F(y, q) = a ধরে নেওয়া যাক,
⇒ 2x - √p = a ⇒ p = (2x - a)2;
⇒ √q = a ⇒ q = a2;
এখন z হবে
z = ∫ p dx + ∫ q dy
⇒ z = ∫ (2x - a)2 dx + ∫ a2 dy
⇒ \(z = \frac{1}{6}{\left( {2x - a} \right)^3} + {a^2}y + b\), যেখানে a এবং b হল অনির্দিষ্ট ধ্রুবক।
Solutions of Partial Differential Equations Question 4:
yp + xq + pq = 0 এর সম্পূর্ণ সমাধান হবে:
Answer (Detailed Solution Below)
Solutions of Partial Differential Equations Question 4 Detailed Solution
ধারণা:
f(x, p) = g(y, q) আকারের বিভাজনযোগ্য সমীকরণ
ধরা যাক f(x, p) = g(y, q) = a (ধ্রুবক)
p এবং q-এর জন্য f(x, p) = a এবং g(y, q) = a সমাধান করে পাই
p = ϕ(x, a) এবং q = ψ(y, a)
আমাদের আছে dz = p dx + q dy
অনুকলন করে আমরা নিম্নলিখিত সমাধান পাই,
z = ∫ ϕ(x, a) dx + ∫ ψ(y, a) dy + b
যেখানে a, b হল নির্বিচার ধ্রুবক।
গণনা:
প্রদত্ত PDE হল yp + xq + pq = 0
এটি এভাবে লেখা যেতে পারে
p (y + q) = - qx;
\( \Rightarrow \frac{p}{x} = - \frac{q}{{y + q}} = a\)
\( \Rightarrow p = ax,\;q = - \frac{{ay}}{{1 + a}}\)
dz = p dx + q dy-তে p এবং q-এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই;
\( \Rightarrow dz = ax\;dx - \frac{{ay}}{{1 + a}}dy\)
উভয় দিকে অনুকলন করে পাই,
\(z = \frac{{a{x^2}}}{2} - \frac{a}{{1 + a}}\frac{{{y^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow 2z = a{x^2} - \frac{a}{{1 + a}}{y^2}\)