Increasing and Decreasing Functions MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Increasing and Decreasing Functions - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা

⇒

⇒

⇒

⇒

ক্রমবর্ধমান যখন 0 \)

0 \)

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

গণনা:

প্রদত্ত,

⇒ 0 \quad f(x) \uparrow\)

⇒

⇒

∴ অন্তরালে f ক্রমবর্ধমান।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।

ধারণা:

• একভাবে ফাংশন হ্রাস করার জন্য ফাংশনটি,

f'(x)

গণনা

প্রদত্ত:

f(x) = tan-1 x - x

⇒ f'(x)

• সুতরাং, 0 ছাড়া x ϵ R-এর সমস্ত মানের জন্য রাশিটি সত্য, কারণ যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সবসময়ই ধনাত্মক হবে।

⇒ x ϵ R - {0}

• সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 3

ধারণা:

• একভাবে ফাংশন বৃদ্ধি করার জন্য ফাংশন,

f'(x) > 0

গণনা

প্রদত্ত:

f(x) = sin4 x + cos4 x

⇒ 4 sin3 x.cos x - 4 cos3 x . sin x > 0

⇒  sinx .cosx(sin2 x - cos2 x) > 0

⇒  2sinx .cosx ( cos2 x - sin2 x)/2

• 2 দ্বারা গুণ এবং ভাগ করে,

⇒ 2sin 2x. cos2x/2

⇒ sin 4x

∴ π

∴ π/4

• সুতরাং, সঠিক উত্তর হল বিকল্প 2

অনুসৃত ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x - e^x

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ f'(x) = 1 - e^x

ফাংশন বাড়ানোর জন্য,

f'(x) > 0

⇒ 1 – ex > 0

⇒ ex 

⇒ ex 0

∴ x

সুতরাং, x ∈ (-∞, 0)

অনুসৃত ধারণা:

অনুসৃত ত্রিকোণমিতিক সূত্র:

• sin 3x = 3sin x – 4sin ³ x

গণনা:

প্রদত্ত: f(x) = 3sin x – 4sin³ x

আমরা জানি, sin 3x = 3sin x – 4sin³ x

সুতরাং, f(x) = 3 sin x – 4 sin³ x = sin 3x

আমরা জানি যে, sin 3x একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।

যেহেতু, sin 3x -π/6 থেকে π/6 পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়।

ক্রমবর্ধমান ব্যবধানের দৈর্ঘ্য = π/6 – (-π/6)

= π/3

অনুসৃত সূত্র:

পার্থক্য সূত্র:

গণনা:

f(x) = x2 - kx

⇒ f ^' (x) = 2x - k

যেহেতু, f একঘেয়েভাবে বাড়ছে।

f ' (x) > 0

⇒ 2x - k > 0

⇒ k

যেহেতু, আমাদের 1

⇒ 2

(1) এবং (2) থেকে পাই,

k

∴ সঠিক সম্পর্কটি হল k

ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 হয় তাহলে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হয়।
• যদি f′(x) অপেক্ষকটি হ্রাস পায়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = cos x – x

x এর পরিপ্রেক্ষিতে পার্থক্য করার পর, আমরা পাই

⇒ f’(x) = -sin x – 1

আমরা জানি যে,

-1 ≤ sin x ≤ 1, x ∈ R এর জন্য

⇒ -1 ≤ -sin x ≤ 1, x ∈ R এর জন্য

⇒ -1 - 1 ≤ -sin x - 1 ≤ 1 - 1, x ∈ R এর জন্য

⇒ -2 ≤ f’(x) ≤ 0, x ∈ R এর জন্য

∴ f’(x) ≤ 0, x ∈ R এর জন্য

সুতরাং, x ∈ R বা x ∈ (-∞,∞) তে f(x) হ্রাস পেয়েছে।

ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত: f(x) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন এবং g(x) একটি হ্রাসকারী ফাংশন

∴ f'(x) > 0 এবং g'(x)

ধরি, h(x) = gof(x) = g(f(x))

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

⇒ h'(x) = g'(f(x)) × f'(x)

আমরা জানি, f'(x) > 0 এবং g'(x)

অতএব, h'(x) = (ঋণাত্মক) × (ধনাত্মক) = ঋণাত্মক

∴ h'(x)

সুতরাং, gof(x) ফাংশন হ্রাস করছে।

বিকল্প সমাধান:

ধরি, x₁ 2

প্রদত্ত: f(x) একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন এবং g(x) একটি হ্রাসকারী ফাংশন

∴ f(x ₁ ) 2 ) এবং g(x ₁ ) > g(x ₂ )

ধরি, h(x) = gof(x) = g(f(x))

আমরা জানি যে, f(x ₁ ) 2 )

⇒ g(f(x ₁ )) > g(f(x ₂ ))

সুতরাং, gof(x) ফাংশন হ্রাস করছে।

গণনা:

প্রদত্ত,

⇒ 0 \quad f(x) \uparrow\)

⇒

⇒

∴ অন্তরালে f ক্রমবর্ধমান।

সঠিক উত্তর হল বিকল্প 1।

ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = tan^-1 x

x এর সাথে পার্থক্য করে পাই,

আমরা জানি যে, x ∈ R এর জন্য x² > 0

x ∈ R এর জন্য ⇒ 1 + x² > 0

সুতরাং, 1 + x² x ∈ R-এর জন্য ধনাত্মক মান দেয়

অতএব, x ∈ R এর জন্য f'(x) > 0

তাই f(x) x ∈ R বা x ∈ (-∞,∞) এ বাড়ছে

ধারণা: 

ধরা যাক f(x) একটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত একটি অপেক্ষক (a, b), এই অপেক্ষকটিকে একটি ক্রমবর্ধমান অপেক্ষক বলা হয়:

• যদি x1 2 হয় তাহলে f(x1) ≤ f(x2 f(x1) ≤ f(x2) ∀ x1, x2 ∈ (a, b) হয়
• এখানে, 

একইভাবে, f(x) কে একটি হ্রাসকারী অপেক্ষক বলা হয়:

• যদি x1 2 হয় তাহলে f(x1) ≥ f(x2) ∀ x1, x2 ∈ (a, b হয়
• এখানে, 

গণনা:

প্রদত্ত:  f(x) = (x + 2) e-x 

এখানে আমাদের সেই ব্যবধানটিকে নির্ণয় করতে হবে যেখানে f(x) হ্রাস পেয়েছে।

প্রথমে f'(x) কে গণনা করা যাক

আমরা জানি যে,

আমরা যেমনটি জানি, 

আমরা জানি যে একটি হ্রাসকারী অপেক্ষক f(x) এর জন্য আমাদের কাছে f'(x) ≤ 0 আছে।

⇒ - (x + 1) ⋅ e- x ≤ 0

⇒ (x + 1) ⋅ e- x ≥ 0

⇒ x + 1 ≥ 0 ---------(∵ e- x > 0)

⇒ x ≥ - 1

সুতরাং, যে ব্যবধানে প্রদত্ত অপেক্ষকটি হ্রাস পাচ্ছে তা হল [- 1, ∞)

ধারণা:

একটি ফাংশনের জন্য y = f(x):

• স্থানীয় ম্যাক্সিমা বা মিনিমার বিন্দুতে, f'(x) = 0।
• যেসব অঞ্চলে f(x) বাড়ছে, f'(x) > 0।
• যেসব অঞ্চলে f(x) কমছে, f'(x)

গণনা:

ফাংশন f(x) = x2 + 2x - 5 যথাযথভাবে বৃদ্ধি করার জন্য, f'(x) > 0।

⇒ f'(x) = 2x + 2 > 0

⇒ x > -1

⇒ x ∈ (-1, ∞)

অনুসৃত ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x - e^x

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ f'(x) = 1 - e^x

ফাংশন বাড়ানোর জন্য,

f'(x) > 0

⇒ 1 – ex > 0

⇒ ex 

⇒ ex 0

∴ x

সুতরাং, x ∈ (-∞, 0)