Applications of Derivatives MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Applications of Derivatives - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

গণনা:

প্রদত্ত, f(x) [3, 4] এবং [6, 8] ব্যবধানে রোলের উপপাদ্য সিদ্ধ করে।

∴ [3, 4] ব্যবধানে, f(3) = f(4)

[6, 8] ব্যবধানে, f(6) = f(8)

∴ ${\int }_3^8{f}^{\prime }(x)dx$

= ${\int }_3^4{f}^{\prime }(x)dx$ + ${\int }_4^6{f}^{\prime }(x)dx$ + ${\int }_6^8{f}^{\prime }(x)dx$

= [f(4) - f(3)] + ${\int }_4^6{f}^{\prime }(x)dx$ + [f(8) - f(6)]

= 0 + ${\int }_4^6{f}^{\prime }(x)dx$ + 0

= ${\int }_4^6{f}^{\prime }(x)dx$

∴ ${\int }_3^8{f}^{\prime }(x)dx$ এর মান ${\int }_4^6{f}^{\prime }(x)dx$ এর সমান।

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 1.

গণনা:

প্রদত্ত, $f(x)=\underset{f_1(x)}{\underbrace{(x^2-2x+7)}}\underset{f_2(x)}{\underbrace{e^{(4x^3-12x^2-180x+31)}}}$

∴ f₁(x) = x2 - 2x + 7

⇒ $f_1^{\prime }(x)=2x-2$

⇒ x ∈ [-3, 0] এর জন্য, f₁'(x) < 0

⇒ f(x) [-3, 0] অন্তরালে হ্রাসমান

আবার,$f_2(x)=e^{4x^3-12x^2-180x+31}$

⇒ $f_2^{\prime }(x)=e^{4x^3-12x^2-180x+31}\cdot 12x^2-24x-180$

= $12(x-5)(x+3)e^{4x^3-12x^2-180x+31}$ < 0 x ∈ [-3, 0] এর জন্য

⇒ f2(x) [-3, 0] অন্তরালে হ্রাসমান এবং ধনাত্মক

∴ f(x) এর পরম সর্বোচ্চ মান x = -3 তে পাওয়া যায়

⇒ α = -3

∴ α এর মান -3।

সঠিক উত্তরটি হলো বিকল্প 2

গণনা

$f(x)={\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$

⇒ $f^{\prime }(x)=4{\sin }^{3}x\cos x+4{\cos }^{3}x(-\sin x)$

⇒ $4\sin x\cos x({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x)$

⇒ $-2\sin 2x\cos 2x$

⇒ $-\sin 4x$

$f(x)$ ক্রমবর্ধমান যখন $f^{\prime }(x)>0$

$\Rightarrow -\sin 4x>0$

$\Rightarrow \sin 4x<0$

$\Rightarrow 4x\in (\pi ,2\pi )$

$\Rightarrow x\in ({\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

অতএব, বিকল্প 3 সঠিক।

গণনা:

বক্ররেখা $y={\log }_{e}x$-এর $P(1,0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ নির্ণয় করার জন্য, আমরা অভিলম্বের নতি নির্ণয় করব এবং তারপর সরলরেখার নতি-বিন্দু রূপ ব্যবহার করব।

আমরা জানি যে, একটি বক্ররেখার একটি বিন্দুতে অভিলম্ব এবং স্পর্শক পরস্পর লম্ব হয়। সুতরাং,

$\text{Slope of the normal}=\frac{-1}{\text{Slope of the tangent}}=\frac{-1}{y^{\prime }(1)}$।

এখন, $y^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$। সুতরাং, $y^{\prime }(1)=1$।

অতএব, বক্ররেখা $y={\log }_{e}x$-এর $P(1,0)$ বিন্দুতে অভিলম্বের নতি হল $-1$।

লক্ষ্যণীয় যে, অভিলম্বটি $P$ বিন্দুগামী, এর সমীকরণ হল:

$y-0=-1\times (x-1)$।

অর্থাৎ, $x+y=1$।

অতএব, বিকল্প 4 সঠিক।

ধারণা:

'x' এর পরিবর্তনের হার দেওয়া হয় $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

গণনা:

প্রদত্ত, y = 2x – x ² এবং $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3 একক/সেকেন্ড

তারপর, বক্ররেখার ঢাল, $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2 - 2x = m

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{m}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 0 - 2 × $\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

= -2(3)

= -6 একক প্রতি সেকেন্ড

সুতরাং, বক্ররেখার ঢাল প্রতি সেকেন্ডে 6 একক হারে হ্রাস পাচ্ছে যখন x প্রতি সেকেন্ডে 3 একক হারে বাড়ছে।

অতএব, বিকল্প (2) সঠিক।

ধারণা:

প্রতি x ∈ R এর জন্য |x| ≥ 0

গণনা:

ধরুন f(x) = |x + 3| - 2

আমরা জানি যে প্রতি x ∈ R এর জন্য |x| ≥ 0

∴ |x + 3| ≥ 0

অপেক্ষকের সর্বনিম্ন মান অর্জিত হয় যখন |x + 3| = 0 হয়

সুতরাং, f(x) এর ন্যূনতম মান = 0 – 2 = -2

অনুসৃত ধারণা:

• যদি f′(x) > 0 তাহলে ফাংশনটি বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয়।
• যদি f′(x) <0 হয় তাহলে ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x - e^x

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

⇒ f'(x) = 1 - e^x

ফাংশন বাড়ানোর জন্য,

f'(x) > 0

⇒ 1 – ex > 0

⇒ ex < 1

⇒ ex < e0

∴ x < 0

সুতরাং, x ∈ (-∞, 0)

ধারণা:

ল্যাগ্রেঞ্জের গড় মান উপপাদ্য:
যদি একটি ফাংশন f বদ্ধ ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় [a, b] সন্তোষজনক:

• ফাংশন f বন্ধ ব্যবধানে অবিচ্ছিন্ন [a, b]
• ফাংশন f খোলা ব্যবধানে পার্থক্যমূলক (a, b)

তাহলে, x এর একটি মান আছে = c যেমন f'(c) = $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$ 

গণনা:

প্রদত্ত ফাংশন f(x) = $\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}$ ব্যবধানে [1, 3] উভয়ই পার্থক্যমূলক এবং অবিচ্ছিন্ন।

f'(x) = $1-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$

গড় মান উপপাদ্য দ্বারা, একটি c ∈ [1, 3] বিদ্যমান, যেমন:

f'(c) = $\frac{\mathrm{f}(\mathrm{b})-\mathrm{f}(\mathrm{a})}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}$

⇒ $1-\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=\frac{\mathrm{f}(3)-\mathrm{f}(1)}{3-1}$

⇒ $1-\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=\frac{(3+\frac{1}{3})-(1+\frac{1}{1})}{2}$

⇒ $1-\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=\frac{\frac{4}{3}}{2}=\frac{2}{3}$

⇒ $\frac{1}{{\mathrm{c}}^2}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

⇒ c = √3

অনুসৃত ধারণা:

অভিলম্ব হল স্পর্শকের সাথে লম্ব, যেমন mt × mn = -1

m t = dy/dx

গণনা:

একটি ফাংশন f(x) বিবেচনা করি, যেমন স্পর্শকের ঢাল m_t এবং অভিলম্বর ঢাল m_n

এখন, আমরা জানি যে, অভিলম্ব হল স্পর্শকের সাথে লম্ব, যেমন mt × mn = -1

mn × dy/dx = -1

⇒ mn = - dx/dy

এখন, প্রশ্ন অনুসারে, অভিলম্বটি x-অক্ষের সমান্তরাল, তাই অভিলম্বর ঢাল x-অক্ষের ঢালের সমান (অর্থাৎ শূন্য)

∴ mn = 0

⇒ - dx/dy = 0

⇒ dx/dy = 0

∴ একটি প্রদত্ত বক্ররেখার অভিলম্বটি x-অক্ষের সমান্তরাল হবে যদি dx/dy = 0 হয়

অনুসৃত ধারণা:

অনুসৃত সূত্র:

• cos-1 (cos x) = x
• sin^-1 (sin x) = x
• বক্ররেখার ঢাল = tan θ = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

গণনা:

প্রদত্ত: ঢাল = tan θ

y = sin-1 (cos x)

⇒ y = sin-1 (sin (π/2 -x))

⇒ y = π/2 – x (∵ sin-1 (sin x) = x)

x এর সাপেক্ষে উভয় পক্ষের পার্থক্য করে, আমরা পাই

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = -1

আমরা জানি, ঢাল = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ tan θ = -1

∴ θ = 3π/4

ধারণা:

• প্রথমে সমালোচনামূলক বিন্দুটির সন্ধান করুন যেখানে f’(x) = 0 হয়।
• যদি একটি ফাংশন ব্যবধান [a, b] তে ক্রমাগত অবস্থায় থাকে এবং (a, b) তে পার্থক্যযোগ্য হয়।

যদি (a, b) তে সমস্ত x এর জন্য f’(x) > 0 হয়, তাহলে f [a, b]-তে বৃদ্ধি পাবে।

যদি (a, b) তে সমস্ত x এর জন্য f’(x) <0 হয়, তাহলে [a, b] তে f হ্রাস পাবে।

যদি (a, b) তে সমস্ত x এর জন্য f’(x) = 0 হয়, তাহলে [a, b] তে f ধ্রুবক হয়।

গণনা:

প্রদত্ত যে,

⇒ f(x) = $\frac{x}{9}+\frac{4}{x}$ যেখানে x ∈ R

সমালোচনামূলক বিন্দুটিকে গণনা করার পর

⇒ f’(x) = $\frac{1}{9}-\frac{4}{x^2}$ 

⇒ f’(x) = 0

⇒ $\frac{1}{9}=\frac{4}{x^2}$

⇒ x2 = 36

⇒ x = ± 6

সমালোচনামূলক বিন্দু সহ সংখ্যারেখাটিকে অঙ্কন করার পর

দ্রষ্টব্য: আমরা ধনাত্মক চিহ্ন সহ ডান দিক থেকে শুরু করে সংখ্যা রেখার উপএ বিকল্প চিহ্নটিকে বসাবো।

সংখ্যা রেখা অনুযায়ী আমরা বলতে পারি যে

⇒ ব্যবধান (- ∞, - 6] ∪ [6, ∞) তে ফাংশন f কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

⇒ ব্যবধান [-6, 6] তে ফাংশন f কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে।

আমাদের প্রশ্নে প্রদত্ত ব্যবধান [-5, 2] হল সঠিক উত্তর কারণ এটি [-6, 6] এর উপ-ব্যবধান।

ধারণা:

দুটি বক্ররেখা y = f(x) এবং y = g(x) একটি বিন্দু x = a তে একে অপরকে নিম্নে প্রদর্শিতের রূপে ছেদ করছে:

• যদি f(a) = g(a) হয়, তাহলে বক্ররেখা একে অপরকে ছেদ করে।
• দুটি বক্ররেখার ছেদকের কোণকে প্রকাশ করা হয় নিম্নরূপে: $\tan \theta =\left|{\displaystyle \frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{a})-{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{a})}{1+{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{a}){\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{a})}}\right|$ .
• যদি f'(a) = g'(a) হয়, তাহলে বক্ররেখা একে অপরকে স্পর্শ করে।
• যদি f'(a) × g'(a) = -1 হয়, তবে বক্ররেখা একে অপরকে সমকোণে ছেদ করে বা লম্বভাবে ছেদ করে।

গণনা:

প্রদত্ত বক্ররেখা ay + x² = 7 এবং x³ = y

ধরি, f(x): ay + x² = 7

x এর পরিপ্রেক্ষিতে পার্থক্য করার পর, আমরা পাই

 $$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{a}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+2\mathrm{x}=0 \\ \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=-\frac{2\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \end{gathered}$$

ধরি, f'(a) = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{|}_{(1,1)}=-\frac{2\times 1}{\mathrm{a}}=-\frac{2}{\mathrm{a}}$

এখন, ধরি g(x): x³ = y

⇒ y = x³

x এর পরিপ্রেক্ষিতে পার্থক্য করার পর, আমরা পাই

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=3{\mathrm{x}}^2$

ধরি, g'(a) = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{|}_{(1,1)}=3{\mathrm{x}}^2=3\times 1=3$

আমরা যেমনটি জানি, যদি বক্ররেখা লম্বভাবে একে অপরকে ছেদ করে তবে f'(a) × g'(a) = -1 হবে

সুতরাং, $-\frac{2}{\mathrm{a}}\times 3=-1$

∴ a = 6

ধারণা:

একটি চলরাশি t এর সাপেক্ষে একটি ফাংশন f(x) এর মান পরিবর্তনের হার দ্বারা দেওয়া হয়: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

গণনা:

ঘনকের প্রদত্ত বাহু L = 10 সেমি এবং $\frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 4 সেমি/সে

এখন ঘনকের আয়তন V = L3

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ × $\frac{\mathrm{d}\mathrm{L}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = $\frac{\mathrm{d}{\mathrm{L}}^3}{\mathrm{d}\mathrm{L}}$ × 4

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 3L 2 × 4

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 12 × 10 2

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{V}}{\mathrm{d}\mathrm{t}}$ = 1200 সেমি3/সে

অনুসৃত ধারণা:

অবকলন ব্যবহার করে ম্যাক্সিমা খোঁজার ধাপ অনুসরণ করুন।

• ফাংশনের অবকলন খুঁজুন।
• অবকলন সমান 0 সেট করুন এবং সমাধান করুন। এটি সর্বাধিক এবং নূন্যতম বিন্দুর মান দেয়।
• এখন আমরা দ্বিতীয় অবকলন খুঁজে পেয়েছি।
  • f"(x) 0 এর কম হলে প্রদত্ত ফাংশনটিকে ম্যাক্সিমা বলা হয়

গণনা:

ধরুন f(x) = xy + 5,

2x + y = 4

⇒ y = 4 - 2x

সুতরাং, f(x) = x(4 - 2x) + 5

f(x) = 4x - 2x ² + 5

x এর সাথে পার্থক্য করে, আমরা পাই

f'(x) = 4 - 4x

f(x) = 0 সেট করুন

⇒ 4 - 4x = 0

⇒ x = 1

আবার x এর সাপেক্ষে পার্থক্য করে

f''(x) = -4 <0

অতএব ফাংশনকে বলা হয় ম্যাক্সিমা

সুতরাং, সর্বাধিক মান x = 1, এবং y = 4 - 2(1) = 2 এ প্রাপ্ত হবে

∴ xy + 5 = 1(2) + 5 = 7 এর সর্বোচ্চ মান

অতএব, বিকল্প (4) সঠিক।