0 < θ < π/2 எனில், (sin²θ - 4 sin θ + 3)(4 - cos²θ + 4 sin θ) = 0 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் θ-ன் மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை எத்தனை?

Question

Question

This question was previously asked in

CDS Elementary Mathematics 3 Sep 2023 Official Paper

Answer 1

கொடுக்கப்பட்டது:

(sin²θ - 4 sin θ + 3)(4 - cos²θ + 4 sin θ) = 0, 0 < θ < π/2

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் படி,

(sin²θ - 4 sin θ + 3) = 0 அல்லது (4 - cos²θ + 4 sin θ) = 0

முதல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

(sin²θ - 4 sin θ + 3) = 0

⇒ (sin θ - 1)(sin θ - 3) = 0

⇒ sin θ = 1 அல்லது sin θ = 3

sin θ = 1 ⇒ θ = π/2. ஆனால், கொடுக்கப்பட்டிருப்பது 0 < θ < π/2. எனவே, sin θ = 1 என்பது சாத்தியமில்லை.

sin θ = 3 என்பது சாத்தியமில்லை, ஏனெனில் -1 ≤ sin θ ≤ 1.

இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

(4 - cos²θ + 4 sin θ) = 0

⇒ 4 - (1 - sin²θ) + 4 sin θ = 0

⇒ sin²θ + 4 sin θ + 3 = 0

⇒ (sin θ + 1)(sin θ + 3) = 0

⇒ sin θ = -1 அல்லது sin θ = -3

sin θ = -1 ⇒ θ = 3π/2. ஆனால், கொடுக்கப்பட்டிருப்பது 0 < θ < π/2. எனவே, sin θ = -1 என்பது சாத்தியமில்லை.

sin θ = -3 என்பது சாத்தியமில்லை, ஏனெனில் -1 ≤ sin θ ≤ 1.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் 0 < θ < π/2 என்ற எந்த θ மதிப்பும் இல்லை.