(p2+q2+r2$)$ किसके बराबर है?

गणना:

दिया गया है,

सरल करने के लिए व्यंजक है \(p^2 + q^2 + r^2\), जहाँ:

\(p^2 + q^2 + r^2\)

\(q = \sin(25^\circ) \)

\(r = \sin(-95^\circ) = -\cos(5^\circ) \)

हमें दिया गया है कि p + q + r = 0. योग के वर्ग के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:

\( (p + q + r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + rp) \)

चूँकि p + q + r = 0, हम इसे सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:

\( 0 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + rp) \)

पिछली गणनाओं से, हम जानते हैं कि:

\( pq + qr + rp = -\frac{3}{4} \).

इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

\( 0 = p^2 + q^2 + r^2 + 2\left( -\frac{3}{4} \right) \)

सरलीकरण करने पर:

\( 0 = p^2 + q^2 + r^2 - \frac{3}{2} \)

\( p^2 + q^2 + r^2 = \frac{3}{2} \).

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।