एक गोले के वेग 'v' का अनुवाद 'h' ऊँचाई के प्रवृत्त समतल के आधार पर क्या होगा? ('k'  घूर्णन की त्रिज्या है)

संकल्पना:

गतिज ऊर्जा (K.E): 

• किसी निकाय द्वारा अपनी गति के आधार पर प्राप्त की जाने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।
• गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति निम्न है

\(KE = \frac{1}{2}m{v^2}\)

जहाँ m = निकाय का द्रव्यमान और v = निकाय का वेग

घूर्णन गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा, जो निकाय में घूर्णी गति के कारण होती हैं,उसे घूर्णी गतिज ऊर्जा कहा जाता है।
• एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन करने वाले निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, यद्यपि पूर्ण रुप में  निकाय एक जगह पर रहता है।
• गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा के रूप में लिखा जा सकता है

\(KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्व आघूर्ण और ω = कोणीय वेग

गणना:

• वेल्लन में फिसले बिना दूरी L के माध्यम से नीचे ढाल पर वेल्लित वस्तु की ऊँचाई "h" से परिवर्तित हो जाती है। 
• इसलिए गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा mgh से परिवर्तित होती है।

⇒ P.E = K.Etranslation + KErotational

\(\Rightarrow mgh = \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}I{\omega ^2} \)

\(\Rightarrow mgh= \frac{1}{2}m{v^2} + \frac{1}{2}I{\left( {\frac{v}{r}} \right)^2}\)

\(\Rightarrow 2mgh = m{v^2}\left( {1 + \frac{I}{{m{R^2}}}} \right)\)

\( ⇒ v = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\left( {1 + \frac{I}{{m{R^2}}}} \right)}}}\)      

• जड़त्व आघूर्ण और घूर्णन की त्रिज्या के बीच संबंध निम्न द्वारा दिया जाता है।

\(K= \sqrt{\frac{I}{m}} \)

\( ⇒ v = \sqrt {\frac{{2gh}}{{\left( {1 + \frac{K^2}{{{R^2}}}} \right)}}} \)

• ठोस गोले का वेग √[2gh/(1 + k2/R2)] है।इसलिए विकल्प 3 सही है।